Diskussion:Polynom

Reziproke Polynome

Ich habe das Gefühl, hier wird zu viel in zu kurzer Form abgehandelt. Ein eigener Artikel Reziprokes Polynom scheint mir sinnvoll.--Gunther 11:20, 26. Mai 2005 (CEST)

Darüber habe ich auch schon nachgedacht. Aber ich bin mir nicht sicher, ob es für einen eigenen Artikel reicht. Ralf Pfeifer 11:41, 26. Mai 2005 (CEST)

Habe einen Artikel angelegt und die verschiedenen Varianten mit Minuszeichen klarer getrennt. Ich würde schon denken, dass das ausreichend Stoff ist, selbst wenn man die Varianten nicht in dieser Ausführlichkeit abhandelt. Weitere Kommentare vielleicht am besten dort.--Gunther 13:36, 26. Mai 2005 (CEST)

In dem Artikel Reziprokes Polynom ist ja doch eine ganze Menge zusammengekommen - das hätte ich jetzt nicht gedacht. Hat es eigentlich einen Grund, dass Du die Variable x imer in Großbuchstaben setzt? Ach ja, wer räumt jetzt hier auf? Ralf Pfeifer 15:03, 26. Mai 2005 (CEST)

Im Artikel wird der Grad des Nullpolynoms als minus unendlich defniert. Den Sinn dieser Definition sehe ich nicht ein. --Hanfried.lenz 12:26, 6. Nov. 2007 (CET).

Das mit der Großschreibung ist ein technischer Punkt: $X$ ist die Unbestimmte des Polynomrings, während $x$ eine Variable ist und für eine konkrete Zahl steht. Ist das Aufräumen so ok? Ist jetzt etwas knapp, aber der wesentliche Punkt und der Link stehen da.--Gunther 20:10, 26. Mai 2005 (CEST)

Ach ja, wichtiger Punkt: Von meiner Seite aus sind die Varianten Theoriefindung. Hattest Du da irgendwelche Quellen?--Gunther 20:20, 26. Mai 2005 (CEST)

Fundamentalsatz

Unter 1.3.1 steht zum Fundamentalsatz: "... dass ein Polynom vom Grad n höchstens n reelle und genau n komplexe Nullstellen hat ..."

Aus dieser Aussage läßt sich der Schluß ableiten, das ein Polynom n-ten Grades bis zu 2n Nullsten haben kann, nämlich mindestens n komplexe plus die reellen, von denen es 0 bis n geben kann. Das scheint mir nicht richtig zu sein. Kann dass mal jemand nachprüfen? Ralf Pfeifer 11:41, 26. Mai 2005 (CEST)

Jede reelle Nullstelle ist auch eine komplexe Nullstelle.--Gunther 11:45, 26. Mai 2005 (CEST)

Schon klar - aber ist die Formulierung so sauber? Ralf Pfeifer 15:04, 26. Mai 2005 (CEST)

Ich fand sie ok. Allerdings hat der erste Teil nichts mit dem Fundamentalsatz zu tun, deshalb habe ich ihn nach oben verschoben. Damit sollte die Formulierung jetzt unmissverständlich sein.--Gunther 20:10, 26. Mai 2005 (CEST)

Reell oder nicht?

Man sollte eine Entscheidung treffen, ob man nur über reelle Polynome oder über den allgemeinen Fall spricht. Derzeit ist die Definition allgemein, aber beispielsweise die Aussagen über Nullstellen oder Wertebereich nehmen stillschweigend an, dass es sich um reelle Polynome handelt.--Gunther 12:12, 26. Mai 2005 (CEST)

Nullstellenschranken

Ich habe bei den Nullstellenschranken ein ungutes Gefühl. Eine ergibt keinen Sinn:

• $\min\{x\in \mathbb {R} _{+}:f^{(i)}\geq 0$ für $i=1,\ldots ,n\}$ ist eine obere reelle Nullstellenschranke (Newton-Regel);

denn die Rolle von $x$ ist fragwürdig. Ich sehe auch keine Definition der in manchen Formeln auftretenden Menge $N$, wahrscheinlich ist $\{0,1,\ldots ,n\}$ oder $\{0,1,\ldots ,n-1\}$ gemeint. Aufrund dieser Ungereimtheiten ist mein Vertrauen in die restlichen Schranken nicht allzu groß. Kann das mal jemand nachkontrollieren?--MKI 12:14, 27. Sep 2005 (CEST)

Keine Angst, die Nullstellenschranken sind alle koscher. Aber du hast recht, die Definition von N (Menge aller Indizes von negativen Koeffizienten) wird erst bei der letzten aller Schranken definiert. Das ändere ich gleich ab.--JFKCom 22:46, 27. Sep 2005 (CEST)

Ich verstehe es trotzdem nicht. Für $x^{2}-4$ bekomme ich da 0 heraus.--Gunther 23:13, 27. Sep 2005 (CEST)

O ja, die hat eine Macke. Die hatte ich vor einem Jahrzehnt entweder aus "Mignotte, M.: Mathematics for Computer Algebra, Springer, Berlin 1992" oder aus "Mignotte, M.: Some Useful Bounds, Computing, Suppl. 4, 259-263 (1982)" . Dummerweise komme ich jetzt nicht schnell an die beiden Quellen ran und weiss nicht mehr, wie die Definition richtig lautet. Vielleicht kann da jemand helfen. Ich such mal nach Alternativquellen. Die Newton-Regel ist jedenfalls eine der besten überhaupt bekannten Nullstellenschranken, nur wegen der komplizierten Berechnung in der Praxis fast wertlos.--JFKCom 23:30, 27. Sep 2005 (CEST)

Hm, die Regel sieht extrem merkwürdig aus. Mit $i\geq 1$ ist sie invariant unter Addition von Konstanten und damit automatisch falsch. Mit $i\geq 0$ wird sie irgendwie ziemlich trivial, weil man dann auch einfach $n=0,1$ nehmen könnte: kurz unterhalb der größten positiven Nullstelle ist entweder das Polynom oder seine Ableitung negativ.--Gunther 23:41, 27. Sep 2005 (CEST)

Jetzt hab ich die Quelle [1] gefunden. Demnach muss ich einfach i=0 mit einschließen. Die Wahl $0\leq i\leq 1$ wie von dir vorgeschlagen wäre aber nicht genügend, es könnte rechts davon durch Wendepunkte höherer Ordnung noch die x-Achse geschnitten werden.--JFKCom 00:27, 28. Sep 2005 (CEST)

Ja, das war kompletter Unsinn.--Gunther 00:39, 28. Sep 2005 (CEST)

Genauer gesagt: Ich dachte an $\min\{x\mid \forall x'\geq x\colon f^{(i)}(x')\geq 0,\ i=0,1\}$, aber "kompletter Unsinn" ist trotzdem eine zutreffende Beschreibung.--Gunther 00:44, 28. Sep 2005 (CEST)

Auch in der veränderten Version bleibt die Newton-Schranke unklar. Heißt es für ein $i$ oder für alle $i$?--MKI 01:21, 28. Sep 2005 (CEST)

Für alle. Heißt das eigentlich immer bei "für $i=0,\ldots ,n$".--Gunther 01:42, 28. Sep 2005 (CEST)

Vorzuziehen weil zweifelsfrei eindeutig ist meiner Meinung nach die Schreibweise "für alle $i\in \{0,\ldots ,n\}$". Ich habe es im Artikel abgeändert.--MKI 02:34, 28. Sep 2005 (CEST)

Es ist nur unüblich, es so umständlich aufzuschreiben.--Gunther 10:07, 28. Sep 2005 (CEST)

Ich perönlich mag die Schreibweise $i=0,\ldots ,n$ nicht so gern, denn auf den beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht nicht das gleiche. Das liegt daran, dass das Gleichheitszeichen hier eigentlich eine Element-Beziehung umschreibt (vergleiche $f=O(x)$). Aber da diese Schreibweise ja nicht unüblich ist, kann ich wohl nicht viel dagegen sagen. An Alternativen kenne ich noch $i\in {\overline {0,n}}$ (prinzipiell schöner, aber nicht sehr verbreitet) und $i\in n+1$ (sehr kompakt und nach dem Standard-Modell der natürlichen Zahlen in der Mengenlehre völlig korrekt, aber ziemlich missverständlich und unüblich.)--MKI 12:06, 28. Sep 2005 (CEST)

Ja, mengentheoretisch korrekte Formeln sind so eine Sache. Ich würde auch nicht empfehlen, bei einem Vektorraum $V=\bigcup V/0$ zu schreiben, auch wenn das richtig sein mag. Auch mathematische Sprache dient primär der Kommunikation.--Gunther 13:10, 28. Sep 2005 (CEST)

Ich schaue mir die Schranken gerade auch an und habe doch meine Zweifel bzgl. der Richtigkeit.
1.: Bei der ersten Schranke (Cauchy-Regel) steht im Exponent ${\frac {1}{n-i}}$ für $i\in N$. Da aber $n\in N$ ist, so wie ich die Menge N verstanden habe, lautet der Exponent am Ende ${\frac {1}{0}}$, was aber nicht sein darf. Wo ist hier der Fehler?

2.: Bei der dritten Schranke (mit $B\in \mathbb {R} _{+}$) geht die Summe ja bis $n-1$. Es kann aber ja auch gut $N=\{0\}$ sei, dann ist die Summe = 0, aber $B^{n}$ ergibt für jedes B 1, wodurch die Ungleichung dann immer erfüllt wäre, aber B nicht zwangsläufig eine Schranke darstellt. Was stimmt hier nicht? --134.60.66.76 13:05, 25. Jan. 2012 (CET)

edit: Ich habe gemerkt, dass zwei verschiedene $n$ gemeint sind. Man sollte im Text vielleicht deutlicher erwähnen, welches $n$ jeweils gemeint ist. --134.60.66.76 13:09, 25. Jan. 2012 (CET)

In den Abschnitten über komplexe und reelle Nullstellenschranken werden die Ausdrücke $\mathbb {R} [X]$ und $\mathbb {C} [X]$ benutzt. Leider wird erst weiter unten im Abschnitt über Polynome in der abstrakten Algebra erklärt, was damit gemeint ist. Könnte man hier durch eine Vertauschung von Abschnitten oder einen Verweis mehr Klarheit schaffen ? Ein Link wie $\mathbb {R} [X]$ scheint leider nicht gut zu funktionieren. --BannSaenger (Diskussion) 01:41, 19. Nov. 2014 (CET)

Ich habe $\mathbb {R} [X]$ und $\mathbb {C} [X]$ hier jetzt einfach herausgenommen, besser? -- HilberTraum (d, m) 20:41, 19. Nov. 2014 (CET)

Lösungsformel Binome

Auf mich wirkt die Lösungsformel für Binome X^n+c irgendwie falsch.--JFKCom 17:31, 2. Dez 2005 (CET)

WP:SM! Vor allem ist das i rechts nicht dasselbe wie das i links :-) --Gunther 18:15, 2. Dez 2005 (CET)

Sortierung von Polynomgliedern

Gibt es eine allgemein anerkannte Konvention, wie man Polynomglieder von Polynomen mit zwei Variablen sortiert? --RokerHRO 08:47, 25. Apr 2006 (CEST)

Ich nehme an, du meinst den Fall, dass beide Variablen "gleichberechtigt" sind. Dann wird wohl üblicherweise nach dem totalen Grad der einzelnen Summanden sortiert; für die Sortierung aller Monome mit gleichem totalen Grad sortiert man dann nach dem Grad in einer ausgewählten von den beiden Variablen. Beispiel: $x^{2}+xy+y^{2}+x+y+1$. Wie weit diese Konvention "allgemein anerkannt" ist, kann ich nicht sagen.--JFKCom 09:02, 25. Apr 2006 (CEST)

Monomordnung nennt sich sowas, braucht man für Gröbner-Basen.--Gunther 12:02, 25. Apr 2006 (CEST)

Faktor der mehrfachen Ableitung bis zur Konstante

Wenn man von z.B. n*x^3 (Monom) oder auch ein Polynom mit diesem Monom als erstem Term mehrfach die Ableitung bildet bis man zu einer Konstanten kommt ergeben sich die Schritte

$y=n*x^{3}$

$y'=n*3*x^{2}$

$y''=n*3*2*x$

$y'''=n*3*2*1$

Dies lässt sich generalisieren durch die allgemeine Formel:

$y=n*x^{m}$

$y'^{m}=n*(m!)$

Gib es für diesen Wert: Also y so oft abgeleittet bis es eine Konstante ergibt (m = Hochzahl mal) eigentlich einen Namen ?

Bernhard Kraft 21:00, 19 May 2006 (CET) [www.think-open.at]

Meines Wissens nicht; es ist ja einfach Leitkoeffizient * (Grad !). Gruß, Wasseralm 22:17, 10. Apr. 2007 (CEST)

Polynomringe in der abstrakten Algebra

Polynomringe in einer Variablen

Mathematisch ist es nicht besonders schön, ein formales Symbol $X$ einzuführen und dann zu sagen, dass ein Polynom eine Linearkombination von "abstrakten" Potenzen dieses Symbols ist. Normalerweise wird der Polynomring in einer Variablen über einem kommutativen (!!!) Ring $R$ als Menge $P$ aller Folgen

$(a_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$ mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Komponenten

definiert, wobei $\mathbb {N} _{0}:=\mathbb {N} \cup \{0\}$. Man definiert dann eine Addition auf $P$ durch

$((a_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}+(b_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}})_{k}=a_{k}+b_{k}$

und eine Multiplikation durch

$((a_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}\cdot (b_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}})_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}$.

Natürlich lässt sich dann zeigen, dass $P$ somit ein Ring ist. Es ist $(0,0,\dots )$ das neutrale Element der Addition, und $(1,0,\dots )$ ist das neutrale Element der Multiplikation. Setzt man nun

$X:=(0,1,0,\dots )$,

so sieht man leicht, dass $X^{2}=(0,0,1,0,\dots )$ gilt und so weiter. Entsprechend nennt man dann

$R[X]:=P$

den Polynomring in einer Variablen über $R$.

Sehr schön, diesen Zugang habe ich in dem Artikel vermisst! DrLemming 17:00, 12. Jul 2006 (CEST)

Die Frage ist, was bedeutet es, zu sagen, ein mathematisches Objekt ist .... Bestimmt man es durch seine Eigenschaften (und das ist der typische Zugang in der abstrakten Algebra), oder dadurch, wie es sich mengentheoretisch realisieren lässt (das ist Dein Zugang)? Ich halte es mit dem ersten. --Digamma 11:53, 28. Jan. 2007 (CET)

Polynomringe in beliebig vielen Variablen

Ich denke, hier sollte die Definition so allgemein wie möglich gehalten werden. Warum soll man sich auf die Definition eines Polynomringes in endlich vielen oder gar abzählbar vielen Variablen beschränken. Natürlich wird es schwierig eine sinnvolle und vor allem mathematisch korrekte Definition eines Polynomringes in beliebig vielen Variablen so zu formulieren, dass sie allgemein verständlich ist. Deshalb schlage ich vor, dass zwar die abstrakte Definition verwendet, dann aber mit Bespielen von Polynomringen in endlich oder abzählbar vielen Variablen ergänzt wird. Die Frage ist, ob man Wikipedia im Bereich Mathematik zu einem vollwertigen Fachlexikon ausbauen soll oder nicht. Polynomringe sind extrem wichtige Objekte im Bereich der abstrakten Algebra, und es gibt bereits Artikel, die den Begriff des Polynomrings in mehreren Variablen benutzen, wie zum Beispiel der Artikel über quadratische Formen (Na ja, dieser Artikel sollte auch noch einmal grundlegend überarbeitet werden. Das, was da als quadratische Form bezeichnet wird, ist auch nur ein winziger Spezialfall der algebraischen Definition quadratischer Formen.). Deshalb denke, ich dass es durchaus sinnvoll ist eine so allgemein wie möglich gehaltene Definition in diesen Artikel aufzunehmen. Wenn niemand etwas gegenteiliges äußert, werde ich in ein paar Tagen den Artikel entsprechend überarbeiten. --Ktruehl 18:11, 10. Mai 2006 (PST)

Die Idee ist, dass dieser Artikel hier elementar ist und die abstrakte Sichtweise in Polynomring steht. Dort steht zwar auch nichts über Polynome in unendlich vielen Veränderlichen, aber es dürfte ein karger Verweis genügen wie: "Analog ist für eine beliebige Menge $I$ der Polynomring $R[X_{i}\mid i\in I]$ definiert als der Monoidring $R[\mathbb {N} _{0}^{(I)}]$; dabei bezeichnet $\mathbb {N} _{0}^{(I)}$ die direkte Summe. Die Notation von Polynomen ist wie im Fall endlich vieler Variablen."--Gunther 09:52, 11. Mai 2006 (CEST)

Ach ja, zu Deinen drei Ausrufezeichen: Ich sehe nicht, wieso der Grundring kommutativ sein müsste.--Gunther 09:55, 11. Mai 2006 (CEST)

Danke für die Antwort. Das macht Sinn. Ich habe mir den Artikel über Polynomringe nicht genau angesehen. Wegen dem "kommutativ". Könnte es sein, dass man über nichtkommutativen Ringen Probleme mit der Multiplikation bekommt? Ich weiß nicht, ob Du den Wittring kennst? Da geht es ja auch um Multiplikation von homogenen Polynomen. Bisher ist es jedenfalls (soweit ich weiß) nicht einmal gelungen den Wittring über Schiefkörpern vernünftig zu definieren. Die Definition eines Polynomringes habe ich jedenfalls bisher nur über kommutativen Ringen gesehen. Ich habe da einfach mal meiner ehemaligen Professorin vertraut. --Ktruehl 20:24, 12. Mai 2006 (CEST)

Ich kenne den Wittring als das K₀ für quadratische Formen oder als Ring von Wittvektoren, aber ich sehe für keine der beiden Möglichkeiten so recht, was das direkt mit Polynomringen zu tun hat. (Auch nicht, was man für nichtkommutative Grundringe tun könnte.)

Für Polynome über einem nichtkommutativen Ring kann man schlicht formal Polynome hinschreiben und miteinander multiplizieren; dabei kommutieren Unbestimmte mit Ringelementen, dann geht das problemlos. In der Faltungsdefinition muss man ja auch nirgendwo irgendwelche Faktoren vertauschen.--Gunther 20:45, 12. Mai 2006 (CEST)

Ich sehe da auch keine Probleme, habe es mir aber angewöhnt sehr vorsichtig zu sein. Im Artikel über Polynomringe wird auch ein kommutativer Grundring vorausgesetzt. Zum Wittring: Ursprünglich wurde der Wittring als Menge von (gewissen) Äquivalenzklassen von quadratischen Formen definitiert (ich werde dazu noch einen Artikel mit der genauen Definition schreiben; deshalb habe ich auch den Artikel über homogene Polynome geschrieben). Über kommutativen Ringen ist dieser Ring isomorph zu $K_{0}$. Da ich über K-Theorie nicht allzu viel weiß, wäre es natürlich gut, wenn Du den entsprechenden Text an den zukünftigen Artikel anfügen könntest. --Ktruehl 21:29, 12. Mai 2006 (CEST)

"reelles"/"komplexes" Polynom

Ich komme mit der Definition am Anfang des Artikels nicht wirklich klar: Es wird gesagt dass rein reelles Polynom relle Koeffizienten und reelle Veränderliche besitzt und ein komplexes eben komplexe Koeffizienten und komplexe Veränderliche; In allen Lehrbüchern, die ich benutze versteht man unter einem reelen Polynom aber ein Polynom mit reellen Koeffizienten und komplexen Veränderlichen; Diese Spezifikation ist meiner Meinung nach auch Wichtig (und hier gibt es keinen Namen dafür), da bestimmte Sachverhalte nur für solche Polynome gelten wie beispielsweise die Aussage, dass Nullstellen dessen Imaginärteil ungleich Null ist, immer paarweise auftreten. --Δελτα 9:56, 2. November 2006 (CEST)

Hi, natürlich ist ein reelles Polynom auch ein komplexes Polynom, man kann den Grundring immer durch einen erweiterten, größeren Ring ersetzen. Der Fundamentalsatz wird auch üblicherweise für komplexe Polynome formuliert, die Struktur der Nullstellen reeller Polynome ist dann eine Folgerung.--LutzL 12:52, 2. Nov. 2006 (CET)

Das ist i.w. das Problem der Unterscheidung zwischen Polynom und Polynomfunktion. Beim Polynom ist die Unbestimmte lediglich ein Symbol, das keinen Wertebereich hat. Man kann reelle oder komplexe Zahlen dafür einsetzen, aber z.B. auch Matrizen. Formal: Ein reelles Polynom (d.h. mit reellen Koeffizienten) definiert eine Polynomfunktion auf jeder $\mathbb {R}$-Algebra.--Gunther 12:56, 2. Nov. 2006 (CET)

Ganzrationale Funktionen

In der Schulmathematik heißen die Poynomfunktionen "ganzrationale Funktionen". Sollte man dies hier irgendwo erwähnen?

Im Text des Artikels wird der Grad des Nullpolynoms als minus Unendlich defniert. Den Sinn dieser "Definition" verstehe ich nicht. --Hanfried.lenz 12:32, 6. Nov. 2007 (CET).

Das macht man (nicht immer) so, damit die Gradbeziehungen für Produkt und Summe von Polynomen auch für das Nullpolynom richtig sind, d.h. es soll insbesondere ${}^{\deg(0\cdot p(X))=\deg(0)+\deg(p(X))}$ gelten, was nur minus Unendlich als deg(0) zuläßt.--LutzL 15:07, 6. Nov. 2007 (CET)-Edit/Korrektur--10:35, 7. Nov. 2007 (CET)

Die richtige Ungleichung lautet $\deg(0\cdot p(X))\leq \deg(0)+\deg(p(X))$. Und mit der Definition, dass das Nullpolynom den Grad minus unendlich hat, wird daraus, wenn ich mich nicht täusche, sogar eine Gleichung, wenn man vereinbart, dass die Summe einer Zahl mit minus Unendlich wieder minus Unendlich ergibt.--Digamma 18:20, 6. Nov. 2007 (CET)

Stimmt, habe ich mit der Ungleichung in ${}^{\deg(p+q)\leq \max(\deg p,\deg q)}$ verwechselt. Diese UG ist „echt“, da man q=-p wählen kann.--LutzL 10:35, 7. Nov. 2007 (CET)

Nochmal Grad

Irgendwo in Wikipedia (weiß leider nicht mehr, wo) habe ich gelesen, dass es für den Grad des Nullpolynoms drei konkurrierende Definitionen gibt: Minus Eins, minus Unendlich und undefniert. Das sollte m.E. hier erwähnt werden. -- UKoch (Diskussion) 03:16, 10. Dez. 2017 (CET)

Ich habe gelernt und empfehle: minus Unendlich. Dann kann man die (manche) Gradsätze auch auf gebrochen-rationale erweitern. Dort müsste deg(1/X)=-1 herauskommen. undefniert ist unbefriedigend, weil die Gradsätze dann so umständlich zu formulieren sind.

Eine entsprechende Literaturstelle müsste zu finden sein. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:05, 10. Dez. 2017 (CET)

Wenn es mehrere verbreitete Definitionen gibt, dann sollten wir alle darstellen, und uns nicht für eine entscheiden. --Digamma (Diskussion) 09:55, 10. Dez. 2017 (CET)

Endlichkeit von n.

Kann n (Polynom: Definition) auch unendlich sein? Feldkurat Katz sagte, es sei so definiert, aber ich finde diese Definition nirgends. --Xjs 23:18, 9. Jan. 2008 (CET)

Wenn n unendlich wäre, dann wäre das Gebilde kein Polynom mehr, sondern eine formale Potenzreihe. Insbesondere könnte dann nicht mehr ohne weitere Einschränkungen eine Polynomfunktion definiert werden.--LutzL 23:35, 9. Jan. 2008 (CET)

Lösungsformeln

In der Encarta habe ich mal gelesen, dass es bis zum Grad 5 Lösungsformeln aufgrund ihrer Koeffizienten gibt. Ich dachte, dass dort bis einschließlich Grad 5 gemeint ist.

mfg --91.5.186.215 20:49, 19. Jan. 2008 (CET)

Oja, das meine ich aber auch, das war doch eins der Ergebnisse von Galois, dass einschließlich 5. Grad stets Wurzelterme für die Lösung existieren, oder? Würd ich aber mit meinem Halbwissen ungern in den Artikel einbauen --χario 01:39, 20. Jan. 2008 (CET)

Nein, ab Grad 5 gibt es nur noch in Spezialfällen Lösungsformeln. Ein Beispiel eines Spezialfall ist die primitive 17. Einheitswurzel, die von Gauß zur geometrischen Konstruktion des regulären 17-Ecks bestimmt wurde. (Das 5-Eck zählt hier nicht, da man es auf ein symmetrisches Polynom 4. Grades reduzieren kann.)--LutzL 10:52, 21. Jan. 2008 (CET)

Bist du da ganz sicher? (No offence :-)) Könnstest du mir ne Lit-Empfehlung zu Galois und Lösungen von Polynomen geben? Würd ich mich gern mal etwas reinlesen. --χario 21:12, 21. Jan. 2008 (CET)

Im Artikel Niels Henrik Abel findest du das Buch „Abels Beweis“. Dieses Buch ist angenehm zu lesen und gibt einen guten Überblick. Es ist ein Einführungsbuch, das kein Wissen in Gruppentheorie voraussetzt. --Stefan Birkner 07:12, 22. Jan. 2008 (CET)

Danke für den Tip! --χario 12:36, 24. Jan. 2008 (CET)PS: Im von dir verlinkten Artikel steht auch das, was LutzL gesagt hat. Damit dürfte sich das hier auf alle Fälle erledigt haben. Ich werds mir merken :-) --χario 12:39, 24. Jan. 2008 (CET)

der grund warum ich den laden nicht mag

wofür mache ich mir die mühe, wenn irgend so ein profi anfängt begriffe aufzuzählen ohne sie zu erklären?

"Der Koeffizient a0 heißt Absolutglied. a1x wird als lineares Glied bezeichnet, a2x2 als quadratisches Glied und a3x3 als kubisches."

was soll das?

Da wird einfach nur gesagt, wie die einzelnen Dinge heißen - was gibt's da zu erklären???--91.65.208.71 19:41, 25. Jan. 2010 (CET)

Unterschied zwischen elementarer und abstrakter Algebra

Daß der Artikel zwei unterschiedliche (!) Polynomdefinitionen (Polynom in der elementaren und in der abstrakten Algebra) enthält, ist nicht nur unsinnig, sondern auch faktisch unsinnig. Ein Polynom ist ein Polynom, eine Polynomfunktion ist eine Polynomfunktion. Empfehle daher, den Abschnitt über das "elementare Polynom" in einen Abschnitt über Polynomfunktionen umzuwandeln und den Abschnitt über das "abstrakte Polynom" den Begriff Polynom definieren zu lassen.Nieper 17:59, 2. Okt. 2008 (CEST)

Zitat:In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion oder kurz Polynom eine Funktion P(x) der Form [...] wobei als Definitionsbereich für die Variable x jede beliebige R-Algebra in Frage kommt, wenn R der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten).

Ich weiss nicht, welche elementare Algebra hier gemeint ist, aber in der Schule hatten unsere Polynome keine R-Algebren... Dass es grundsaetzlich gut ist, die beiden Begriffe zu trennen, ist nicht schlecht, damit Schueler auch was ueber Polynome lernen koennen, ohne vorher Ringe, Koerper, Moduln verstanden haben zu muessen. Aber so richtig geklappt hat die Trennung hier wohl nicht :(

Zweifelhafte Nullstellenschranke

die beiden Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung bilden ein Paar aus einer unteren und einer oberen reellen Nullstellenschranke:

$n\cdot x^{2}+2\cdot a_{n-1}\cdot x+2\cdot (n-1)\cdot a_{n-2}-(n-2)\cdot a_{n-1}^{2}=0$

Das würde bedeuten, dass jedes Polynom $x^{n}\pm x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-1}+\dots +a_{0}$ unabhängig von den Werten der unspezifizierten Koeffizienten nur reelle Nullstellen zwischen $\pm {\sqrt {\frac {2(n-1)}{n}}}$ habe dürften. Im Falle des positiven Vorzeichens darf es sogar gar keine Nullstelle geben. Das erscheint absurd, betrachtet man z.B. das Polynom $x^{4}+x^{2}-100$. Gibt es eine Quelle dazu mit einer korrekteren Version dieser Schranke? Ich nehme diesen Abschnitt vorerst aus dem Artikel raus.--LutzL 12:10, 3. Nov. 2008 (CET)

In Diskussion:Nullstelle wurde nun eine korrekte Version dieses Kriteriums gefunden. Es gilt, wenn alle n Nullstellen des Polynoms reell sind. Sowas könnte mit Sturmschen Ketten an sehr viel größeren Schranken geprüft werden. Der Nachweis ist eher eine Übungsaufgabe zu Extrema mit Nebenwerten. Wenn jemand eine Literaturstelle dazu findet, kann es auch wieder mit korrekten Voraussetzungen in den Artikel eingebaut werden. Hat das Kriterium irgendwelche praktischen Anwendungen?--LutzL 09:42, 24. Mär. 2009 (CET)

Frage

Was bedeutet dieser Pfeil → wie z.B. bei x→f(x) (nicht signierter Beitrag von 85.182.38.154 (Diskussion) )

Das bezeichnet die Funktion, die jedem x den Wert f(x) zuordnet. Beispielsweise ist $x\mapsto x^{2}$ die Quadratfunktion. --Tolentino 17:26, 17. Dez. 2008 (CET)

WAS ist ein Polynom wird nicht erklärt

Es wird zwar die übliche Fachsprache genutzt um zu zeigen, dass man nur Definitionen weiß, aber WAS ein polynom ist wird nicht im geringsten erklärt. (Damit hier jetzt keine falschen Fachkommentare auftauchen: Ich bin vom Fach!)

Es geht mir darum, das man Polynom doch erklären können muss. Und zwar abseitz der Definitionen wie Ein Polynom ist eine Summe von Monomen. Diese Sätze sagen eigentlich soviel, das derjenige nichts verstanden hat, sondern nur Zusammenhänge ohne bedeutung auswendig kann. So wie fast alle Mathematiker.

Also an die Mathematiker: Was ist ein Polynom? ich mache mal einen Anfang: Ein Polynom ist die Summe der Inhalte von beliebigdimensionalen Körpern (Hyperwürfeln). Ein Polynom 3ten grades ist somit das Volumen eines Würfels plus der Fläche eines Quadrates plus einer Länge meist in abhängigkeit einer variablen. 77.134.178.91 20:40, 19. Mär. 2009 (CET)

Bitte die chronologische Reihenfolge der Diskussion nicht unnötig durcheinanderbringen. Und was hat ein Polynom über einem endlichen Körper mit irgendwelchen Volumina zu tun? Oder ein Polynom mit komplexen Koeffizienten? Die mathematisch exakte Definition findet sich unter Polynomring, das sollte aus dem Artikel auch hervorgehen.--LutzL 10:54, 20. Mär. 2009 (CET)

Ich vermute meine Frage wurde nicht ganz verstanden. Ich möchte einfach eine weltliche anschauliche bildhafte Beschreibung, was ein Polynom ist. Die Beschreibung, das es eine Funktion in einem Koordiantensystem ist reicht nicht, die diese Beschreibung nichts beschreibt.

Ich suche da ehen nach soetwas: Ein Monom 0-ten grades ist ja einfach eine Anzahl. Ein Monom 1-ten Grades ist dann schon eine Linie im 1-dimensionalen Raum. Ein Monom 2-ten Grades ist eine Fläche. Ein Monom 3-ten Grades ist das Volumen eines gleichseitigen Würfels. usw. Wenn ich jetzt aber ein Polynom beispielsweise 2*x^3+4*x+14*x+1 derart betrachte, dann ergibt das zwar eine Menge an Punkten (Funktion) aber ich kann mir eine geometrische Representation nicht mehr Vorstellen. 77.134.119.32 23:17, 20. Mär. 2009 (CET)

Eben. Dieser Interpretationsversuch ist eine Sackgasse. Bitte eine wenigstens etwas seriöse Literaturquelle angeben, wenn diese Diskussion weitergeführt werden soll. Dies ist nicht der Ort für philosophische Spekulation, sondern für Diskussionen zur Artikelverbesserung. Und das geht in dieser Richtung nicht ohne zitierbare Quellen.

Ansonsten bleibt ein Polynom einfach eine besonders einfach exakt und in endlicher Zeit auswertbare Funktion. Rechenoperationen mit Polynomen können von den Funktionswerten (d.h. der Verknüpfung von möglicherweise unendlich vielen Punkten der Funktionsgraphen) auf die Koeffizientenfolgen (also endliche Objekte und endliche Rechnungen) zurückgeführt werden, was die Faszination der algebraischen Behandlung von Polynomen begründet.--LutzL 10:51, 21. Mär. 2009 (CET)

Ich denke "LutzL" hat die Frage nicht verstanden, da auf die Frage mit der Art geantwortet wurde, die der Fragende ausgeschlossen hat. Ein Polynom ist eine Menge an Wörtern aus der regulären Sprache "Mathematik". Sprache braucht der Mensch, um zu Kommunizieren, d.h. Repräsentationen in zwei oder mehr neuronalen Netzwerken miteinander zu verbinden (seriell über Wörter einer SPrache). Somit bezeichnen die Wörter der Wortklasse "Polynom" komplexe Zusammenhänge zwischen Mengen von Elementen in dieser Welt. Polynome sind Wörter, die vielfache Zusammenhänge in der Welt kompakt repräsentieren. Die Physik, mithilfe der Mathematik, versucht in der Welt den beobachtbaren Zusammenhängen Wörter zu geben, mit denen man rechnen kann. Rechnen heißt dann nichts anderes, als die Grammatik (Logik) dieser Welt auf die Wörter der Sprache Mathematik anzuwenden. Die Grammatik der Sprache Mathematik sagt somit, welche Symbole wie verschoben werden dürfen, damit es mit der beobachtbaren Welt übereinstimmt. In einer nichtdeterministischen, chaotischen oder stochastischen Welt wird das schwieriger bis unmöglich, da in einer chaotischen Welt per Definition keine Regeln exisitieren. (Ich habe soweit ausgeholt, weil es für das Verständnis von Polynomen meines erachtens entscheidend ist.)77.134.136.9 16:04, 21. Mär. 2009 (CET)

</schwurbel>

Die Frage ist sinnlos, genauso wie die Frage "Was ist ein Vektor" oder die luftigen Überlegungen meines Vorposters. WAS Polynome sind, ist die Frage nach der exakten Definition. Sie sind per se nicht anschaulich. Es gibt viele verschiedene Anwendungen mit Polynomen, generell haben sie aber nix mit Volumina zu tun (das sind Determinanten). Es sind die allgemeinen Eigenschaften, die LutzL angeschnitten hat, die erklären, warum Polynome betrachtet werden: Sie sind einfacher zu handhaben als Potenzreihen (= Polynome mit unendlich vielen Termen) und werden dadurch zu einem Grundpfeiler für algebraische, numerische und analytische Überlegungen. Das Wissen über endlich viele Punkte und den Grad des Polynoms reicht schon aus, um es eindeutig zu charakerisieren (über R und auch C). DAS ist was besonderes, was es für sonstige, ähnlich große Funktions-Familien nicht gibt. --χario 17:05, 21. Mär. 2009 (CET)

Wenn ich etwas definiere, erkläre ich dann auch, was es ist? Der Mathematiker braucht da keine Gewissheit, denn er definiert und schliesst dann logisch daraus. Der Jurist würde sofort entgegnen: Ist die Prämisse falsch sind alle Schlüsse daraus falsch. In der Mathematik ist es hilfreich einen Fixpunkt zu setzen ("wenn, dann"), generell Bedarf es doch ein wenig mehr?77.134.136.9 19:56, 21. Mär. 2009 (CET)

Ja, wenn du etwas definierst, erklärst du damit was es ist, es muss halt nicht anschaulich sein. Und nein, der Mathematiker würde genau das Gleiche sagen wie der Jurist, Mathematik ist die Wissenschaft der Folgerungen, Axiome werden hingenommen und dann geht die Mathematik los. Das ändert nichts an der Tatsache, dass Axiome auch diskutiert werden und dass es normalerweise eine anschauliche Herleitung oder Motivation zu einer abstrakten Definition gibt. Nur ist die Polynom-Definition nicht sonderlich abstakt: endliche Summen deren Summanden Variablen in natürlicher Potenz enthalten, jeweils mit festen Koeffizienten. In einem gewissen Sinn ist das einfach der nächste Schritt nach Linearkombinationen. Ein Polynom kann als Potenzgleichung gesehen werden, somit die Verallgemeinerung einer linearen Gleichung. Hilft das was? --χario 20:29, 21. Mär. 2009 (CET)

Ja das hilft. Nur dann frage ich mich, warum ein Polynom "muss halt nicht anschaulich sein", wenn man im Artikel "Lösen von Gleichungen" genau das macht (das Bild mit der Waage).77.134.136.9 21:11, 21. Mär. 2009 (CET)

Das hab ich nicht ganz verstanden, die Motivation für das Lösen von Gleichungen kommt natürlich direkt ausm täglichen Leben! Polynome als Menge und ihre generellen Eigenschaften zu betrachten, ist schon ein etwas höherer Level an Abstraktion. Falls mir eine anschauliche Anwendung für Polynome einfallen sollte, die sich nicht nur auf eine bestimmte Sorte von Polynomen bezieht (wie Parabeln oder nur ein-variabliege) poste ich's hier :-) --χario 20:38, 23. Mär. 2009 (CET)

Ich bin 77.134.136.9 -> Vielen vielen Dank! (nicht signierter Beitrag von 77.134.77.74 (Diskussion | Beiträge) 13:44, 25. Mär. 2009 (CET))

Summe oder Differenz

„In der Mathematik ist ein Polynom („mehrnamig“ – von griech. πολύ/polý = „viel“ und lat. nomen = „Name“) eine Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen, die in den meisten Fällen mit x bezeichnet wird.“

Müsste es nicht „[...] eine Summe oder Differenz von Vielfachen von Potenzen [...]“ heißen? --Seth Cohen 23:54, 26. Okt. 2009 (CET)

In der höheren Arithmetik können die Faktoren, die die Vielfachheit ausdrücken, auch negativ sein, so dass "Differenz" in "Summe von Vielfachen" schon enthalten ist.--LutzL 11:07, 27. Okt. 2009 (CET)

Abschnitt Polynomfunktion

$X^{3}-{\bar {3}}X^{2}+{\bar {2}}X=X^{3}-X$

das ist aber doch wohl ein Fehler, oder? --seismos 17:52, 27. Okt. 2009 (CET)

Nein, die Koeffizienten sind Restklassen modulo 3. Diese Gleichheit gilt also auch für die Polynome, d.h. die Koeffizientenfolgen. Als Polynomfunktionen sind beide Ausdrücke identisch zum Nullpolynom, d.h. wenn man eine Restklasse für X einsetzt, kommt immer die Nullrestklasse raus, d.h. etwas durch 3 teilbares.--LutzL 09:54, 28. Okt. 2009 (CET)

Ah... --seismos 11:01, 28. Okt. 2009 (CET)

nicht gerade gut geeignet für Schüler... lieber eigenen Artikel für ganzrationale Funktionen anlegen?

Hallo, ich bin Mathelehrer und wollte mir mal anschauen, was Wikipedia so zu ganzrationalen Funktionen sagt. Und wo gerate ich hin? Auf eine Seite, die Polynome allgemein und an vielen Stellen reichlich abstrakt erklärt; das für die Schüler wichtige kommt zwar zwischendrin auch irgendwo vor, wird von diesen aber sicher nicht gefunden werden, weil sie es schon nach den ersten paar Zeilen entnervt aufgeben.

Vorschlag zur Sache: einen eigenen Artikel zu "ganzrationalen Funktionen" anlegen, die evtl. auf den Artikel "Polynome" verweist, aber nicht einfach dahin umleitet. Auf die Seite zu den ganzrationalen Funktionen könnte man dann noch einiges schreiben, was im Polynom-Artikel eher fehl am Platz wäre wie z. B. die Vielfachheit von Nullstellen und deren Bedeutung für den Graph, wie man das Verhalten für x gegen plus minus unendlich oder für x gegen 0 herausbekommt, die maximale Anzahl von Extrem- und Wendestellen usw.

Ich würde eine solchen Artikel auch selber versuchen zu gestalten, habe aber nicht viel Erfahrung mit Wikipedia - wäre also für etwas Hilfe dankbar. Vorausgesetzt natürlich, dieser Vorschlag wird überhaupt allgemein akzeptiert... --91.65.208.71 19:41, 25. Jan. 2010 (CET)

Ich kann meinem Vorredner nur beipflichten. Insbesondere vermisse ich Quellenangaben, die die Unterscheidung zwischen elementarer und abstrakter Algebra rechtfertigen. In welchem (für Mathematiker geschriebenen) Mathematik-Buch gibt es diese Unterscheidung? Dass es prinzipiell auch die Möglichkeit gibt, Polynome als Funktionen zu definieren, kann schon sein, und dass es mindestens ein Buch gibt, in dem das so gemacht wird, wird bestimmt auch stimmen. (Ich persönlich wundere mich allerdings über diese komplizierte Definition, da von den Funktionen die Definitions- und Wertemenge ja festgelegt werden müssen, und das schränkt dann die Allgemeinheit sehr ein. Oder ist ein Polynom definiert als eine Klasse von Abbildungen, für jede R-Algebra eine, wobei jedes Element der Klasse jeweils von einer R-Algebra in sich selbst abbildet?) Aber erstens sollten diese Bücher bei den Quellen dann auch genannt und darauf genau verwiesen werden und zweitens Frage ich mich, ob dies dann wirklich ein Unterschied zwischen "Elementarer" und "Abstrakter" Algebra ist. Im Studium bin ich dieser Unterscheidung von "Elementarer Algebra" und "Abstrakter Algebra" nicht begegnet (Das muss natürlich nichts heißen!) und kenne daher selbst keine geeignete Quelle, dies zu belegen.

Eine Lösung wäre es aber vielleicht tatsächlich, im Artikel über Polynome nur zu erwähnen, dass Polynome auch als Funktionen definiert werden können, und auf den - inzwischen existierenden - Artikel über Polynomfunktionen bzw. ganzrationale Funktionen über $\mathbb {R}$ zu verlinken. --henning1000 14:08, 21. Jul. 2011 (CEST)

Hi, könntet ihr mal bei Polynomfunktion nachschauen, ob das nicht schon euren Erwartungen näher kommt?--LutzL 14:44, 21. Jul. 2011 (CEST) -- Sorry, Daten und Links nicht näher angeschaut. Polynomfunktion leitet ja schon auf ganzrationale Funktion weiter. Polynomring sollte ganz der algebraischen Sicht dienen, Polynomfunktion der analytischen und das hier könnte eigentlich ein kurzer Übersichtsartikel mit Verweisen sein. Quellen gibt es so spärlich, weil das eigentlich in jedem Algebra- bzw. Analysisbuch drinsteht. (Wer ist eigentlich auf die Idee gekommen, diesen absolut verkorksten Begriff "ganzrational" in der Schulmathematik zu verankern?)--LutzL 14:52, 21. Jul. 2011 (CEST)

Wieso findest du den Begriff "absolut verkorkst"? Ist halt eine Analogie zu den ganzen Zahlen - die kann man alle als Produkt von Primzahlen darstellen. Ebenso kann man jede ganzrationale Funktion (na ja, zumindest im Komplexen) als Produkt von Linearfaktoren darstellen. Die gebrochenrationalen Funktionen dagegen kann man als Quotient zweier ganzrationaler Funktionen darstellen, genauso wie man einen Bruch als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen kann. Begeisternd finde ich den Begriff zwar auch nicht - aber eine gewisse Logik steckt schon dahinter...--BFeuerbacher 16:19, 23. Jul. 2011 (CEST)

Also bei Polynomfunktion/ganzrationale Funktion steht inzwischen auch meiner Meinung nach eigentlich das Gewünschte. Die Informationen zu Polynomen stehen schon in vielen Büchern, aber wie sieht das mit der Unterscheidung zwischen den Begriffen "Elementare Algebra" und und "Abstrakter Algebra" und der hier in diesem Artikel behaupteten unterschiedlichen Definition von Polynomen in diesen beiden Fachgebieten aus? Wo steht das, dass das in diesen unterschiedlichen Fachgebieten so gehandhabt wird? Könnte man nicht hier jeweils eine Quelle angeben, also eine Quelle aus der "elementaren Algebra" mit der entsprechenden Definition von Polynomen und eine aus der "abstrakten Algebra". Ich habe die hier so genannte "abstrakte Algebra" einfach als "Algebra" kennengelernt. Eine Quelle hierfür wäre im Prinzip ja dann jedes beliebige Buch, auf dem Algebra steht, z. B. der Falko Lorenz oder der Serge Lang. Ein Buch über "Elementare Algebra" kenne ich nicht.--henning1000 18:07, 23. Jul. 2011 (CEST)

Ich denke, dass es sich hier eher um eine ad-hoc-Begriffsbildung handelt. Es gibt keine verschiedenen Fachgebiete "elementare Algebra" und "abstrakte Algebra", aber verschiedene Zugänge zur Algebra. Unter "elementarer Algebra" ist wohl das zu verstehen, was man in der Schule unter "Algebra" versteht. "Elementar" ist der Zugang, Terme als äquivalent zu bezeichnen, wenn sie bei jeder Einsetzung denselben Wert liefern, wenn also die durch sie definierten reellen Funktionen übereinstimmen. -- Digamma 20:51, 23. Jul. 2011 (CEST)

ganzrational

Ich muss mich revidieren, ganzrational in "ganzrationale algebraische Funktion" ist ein altehrwürdiger Begriff, der den lateinischen Ausdruck "functiones algebraicae integrae" wie u.a. von Gauß 1799 verwendet, ins deutsche übersetzt. Diese Übersetzung gibt es aber in keiner anderen Sprache, weshalb die Frage, ob dieser deutsche Sonderweg nach 1850 noch angebracht ist, bestehen bleibt. Gauss selbst verwendet in seiner deutschen Festrede 1849 ausschließlich "algebraische Function" oder "Funktion" oder "Funktion ... Grades". Weierstraß 1889 verwendet "(ganze (rationale)) Function". -- "Polynom" im Sinne von Summe algebraischer Terme war sporadisch seit Vieta 1591 in Gebrauch, nachdem vorher ca. 1585 Stevin den Begriff "Multinom" für die Verallgemeinerung von "Binom" und "Trinom" prägte. "Polynom" im heutigen Sinne scheint aus der Diskussion von Taylorreihen und -polynomen Anfang des 19. Jh. zu stammen (Quelle: Cajori (1919): A History of Mathematics" und (1928): A History of Mathematical Notations). -- Die Weiterleitung zu "rationale Funktion" ist nicht ganz korrekt, wenn man dem originalen Sprachgebrauch folgt. Dann steht "algebraisch" für die Verwendung von ausschließlich Wurzeln und Potenzen und "ganz (rational)" schränkt auf natürliche Exponenten ein. Irgendwann um 1900, vor Noether 1908, fand dann die Fixierung auf den heutigen Sprachgebrauch auf, dass ganze rationale Funktionale algebraisch ganze Koeffizienten haben müssen und Polynome mit rationalen Koeffizienten zu den gebrochen-rationalen Funktionalen gehören.--LutzL (Diskussion) 13:51, 29. Okt. 2013 (CET)

Den letzten Satz verstehe ich nicht. Meines Wissens ist der heutige Sprachgebrauch, dass bei ganzrationalen Funktionen die Koeffizienten beliebige reelle Zahlen sein dürfen. --Digamma (Diskussion) 14:52, 29. Okt. 2013 (CET)

Das meinte ich ja ursprünglich. Das heutige "ganzrational" ist ein Neologismus, der von jeglicher Sprachlogik Lichtjahre entfernt ist. Von Gauß ausgehend wäre "ganzalgebraische Funktion" zulässig, Noether nannte ein Polynom (einen Bruch von Polynomen) "ganze rationale Funktion", wenn es Lösung einer Polynomgleichung mit algebraisch ganzen Koeffizienten ist. Ab diesem Zeitpunkt hätte "ganz" wie in anderen Sprachen auch für über einem Ring algebraisch ganze Elemente oder Elemente eines Ganzheitsringes reserviert bleiben können, und Polynome einzig als "Polynom" bezeichnet worden sein. Aber irgendwer hat die (lateinische) Begrifflichkeit von Gauß wieder rausgekramt, evtl. im Zusammenhang der 1000 Jahre, und das eigentlich bestimmende "algebraisch" wegfallen lassen gegen das bei Gauß bis Weierstraß selten gebrauchte "rational". Wobei damals "rational" wohl eher weniger mit Brüchen zu tun hatte als mit der direkten Übersetzung "vernünftig" oder "begreifbar".--LutzL (Diskussion) 16:15, 29. Okt. 2013 (CET)

Da kann ich wenig dazu sagen, da ich deine Quellen nicht kenne und selbst keine geschichtlichen Quellen habe. Als rationale Funktionen kenne ich aber auf jeden Fall aus der Algebra die Quotienten von Polynomen (Körper der rationalen Funktionen). Aus der Funktionentheorie kenne ich die auf ganz \C definierten holomorphen Funktionen als "ganze Funktionen". --Digamma (Diskussion) 16:32, 29. Okt. 2013 (CET)

Eben. Rationale Funktionen sind Brüche von Polynomen. Und von dem Körper der rationalen Funktionen kann man den Ganzheitsring betrachten und landet wieder bei den Polynomen.Und gibt es in irgendeinem Zusammenhang mehr (oder weniger) als Polynome im Ganzheitsring rationaler Funktionen? Wenn man für die rationalen Funktionen rationale Koeffizienten verwendet $\mathbb {Q} (X)$, dann haben die Polynome im Ganzheitsring ganze Koeffizienten $\mathbb {Z} [X]$. Aber das ist Universitätsalgebra. Was hat diese Begrifflichkeit in der allgemeinen Schulbildung zu suchen? Gibt es da irgendwelche Texte, die die pädagogischen Vor- und Nachteile von "Polynom" und "ganzrationale Funktion" vergleichen?--LutzL (Diskussion) 09:39, 30. Okt. 2013 (CET)

Ich kenne keine didaktische Literatur dazu. "Polynom" bezeichnet aber für mich eher den Term als die Funktion. Ich würde dann eher von "Polynomfunktion" sprechen. "Ganzrational" drückt für mich eher aus, dass man den Funktionswert aus dem Argument durch wiederholtes Anwenden von Addition und Multiplikation erhält, bei "Polynom" denke ich eher an die Normalform. Das ist aber meine persönliche Einschätzung. Zu Beginn meiner Lehrerlaufbahn hatte ich auch Probleme mit dem Begriff "ganzrationale Funktion", weil ich bei "rational" immer automatisch an "gebrochen-rational" dachte, inzwischen habe ich mich daran gewöhnt. --Digamma (Diskussion) 15:46, 30. Okt. 2013 (CET)

Ja eben, um mal ganz in die Plauderei abzugleiten, Du brauchtest das Studium und die ersten Lehrerjahre, um Dich an diesen Begriff zu gewöhnen. Schülern verlangt man ein Verständnis dieses Leerbegriffs zum Abitur ab. Und ja, das Gegenstück zu "g.-rat. Fkt." ist dann Polynomfunktion, "Polynom" bezeichnet die algebraische Entität, das Element eines Polynomrings.--LutzL (Diskussion) 19:11, 30. Okt. 2013 (CET)

Quellen

(LutzL (Diskussion) 16:50, 29. Okt. 2013 (CET))

• Florian Cajori (1919): A History of Mathematics https://archive.org/details/ahistorymathema03cajogoog
• Florian Cajori (1928): A History of Mathematical Notations https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp
• Emmy Noether (1915): Die allgemeinsten Bereiche aus ganzen transzendenten Zahlen http://link.springer.com/article/10.1007/BF01456823
• dasselbe in "Collected Papers" http://books.google.de/books?id=bsm5lmprAQQC&pg=PA195

Definition

Ich halte die kürzlich von Benutzer 89.0.128.117 gemachte Änderung bzgl der Definition in $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}x^{n-i}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},n\geq 0$ für zwar richtig aber verwirrend gerade für Schüler_Innen. $\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}x^{n-i}$ ist mathematisch gleichbedeutend mit $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$, zäumt die Summe bloß nur von der anderen Richtung auf. Wäre für Revert. --Skygazer (Diskussion) 13:22, 2. Jun. 2012 (CEST)

Offenbar erledigt. --Digamma (Diskussion) 16:36, 2. Jun. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Digamma (Diskussion) 16:36, 2. Jun. 2012 (CEST)

univariat - multivariat

Die Definition in en:Polynomial benutzt gleich mehrere Variablen und erwähnt die Attribute univariate und multivariate. Mm Deutschen erscheinen die multivariaten Polynome erst weit unten und nicht besonders explizit. Wenn niemand etwas dagegen hat, würde ich diese Attribute mehr herausstellen und auch Redirects univariates Polynom und multivariates Polynom in die Liste spezieller Polynome einfügen. --Gfis (Diskussion) 12:02, 20. Aug. 2015 (CEST)

Binome

Im Artikel heißt es

" Binome haben die Form $f(x)=x^{n}+c\,$ ".

Das ist im allgemeinen falsch. Z.B. nach www.zeno.org/Zeno/0/Suche?q=binom&k=Bibliothek und dictionary.reference.com/browse/binomial?s=t können Binome auch ganz anders aussehen. Wenn man sich auf Ausdrücke der Form $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ beschränkt, also nur Polynome in einem engeren Sinne betrachtet, sollten eigentlich auch z.B. x²+x und x^7+x^3 Binome sein. -84.161.19.32 01:07, 22. Dez. 2015 (CET)

Grad eines Polynoms

Bsp.: x^3+(xy)^2 Hat das Binom den Grad 3 oder den Grad 4? Das wird aus dem Artikel nicht deutlich. Ronny Michel (Diskussion) 14:01, 17. Mai 2016 (CEST)

Das Polynom hat den Grad 4. Warum meinst du, dass dies aus dem Artikel nicht deutlich wird? Weil der vor allem Poynome in einer Unbestimmten behandelt? Im Abschnitt "Verallgemeinerung" werden die Polynome mit mehreren Unbestimmten behandelt. Dort steht:

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form $a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}$ als Polynom (in mehreren Unbestimmten):

$P(X_{1},\dotsc ,X_{n})=\sum _{i_{1},\dotsc ,i_{n}}a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}$

Lies: „Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“

Die Größe $i_{1}+\dotsb +i_{n}$ heißt der Totalgrad eines Monoms $X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}$. Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms.

--Digamma (Diskussion) 16:19, 17. Mai 2016 (CEST)

Sorry, ich hätte aufmerksamer lesen müssen. Danke für den schnellen Hinweis. Ronny Michel (Diskussion) 17:32, 17. Mai 2016 (CEST)

Mengenschreibweise: Polynome und Polynome vom Grad n

Man sollte meiner Meinung nach eine einheitliche Schreibweise einführen für die Mange aller Polynome und auch für Polynome vom maximalen Grad $n$. Vor allem sollten auch noch die gebräuchlichen Abkürzungen genannt werden, denn oft wird später nur noch so etwas wie ${\mathcal {P}}_{2}$ geschrieben und keine Erläuterung bzw. Link auf diesen Artikel mit angegeben (s. Hermiteinterpolation#Motivation).

Meine Vorschläge: $P[X],P_{n}[X],P,P_{n}$. HerrHartmuth (Diskussion) 12:30, 26. Aug. 2017 (CEST)

Die Schreibweise ${\mathcal {P}}_{2}$ ist sicher keine allgemein übliche, sie sollte deshalb in dem Artikel, wo sie verwendet wird, erklärt werden. Es ist Konsens, dass Wikipedia keine eigenen Bezeichnungen einführt, sondern die in der Literatur üblichen darstellt. Die in der Algebra übliche Bezeichnung für die Menge aller Polynome in der Unbestimmten $X$ über dem Körper $K$ ist $K[X]$, für die Menge aller reellen Polynome also $\mathbb {R} [X]$. Ob es übliche Bezeichnungen für die Menge aller Polynome vom Grad $n$ oder Grad $\leq n$ gibt, weiß ich nicht.

Es gibt außerdem einen Unterschied zwischen Polynomen und Polynomfunktionen. Im Artikel Hermiteinterpolation geht es wohl eher um Polynomfunktionen. --Digamma (Diskussion) 21:43, 26. Aug. 2017 (CEST)

Genitiv

"Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variable."

Ist das abweichende Fachsprache der Mathematik oder ein kleiner Grammatikfehler: einer Variable_n_? Delabarquera (Diskussion) 12:55, 12. Jan. 2018 (CET)

Der Duden lässt beides zu. --Digamma (Diskussion) 19:38, 12. Jan. 2018 (CET)

Der 1. Satz ist evtl didaktisch schlecht:

" Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variable. "

Grund: Ich bin darüber kurz gestolpert und habe die Richtigkeit des Satzes erraten müssen, und nur können weil ich den Aufbau der Formel schon vorher kannte. Sollen wir deshalb was ändern und/oder umdenken? (nicht signierter Beitrag von 2A02:908:8AB:DC0:419A:6C28:CC75:A224 (Diskussion) 19:23, 26. Aug. 2019 (CEST))

Ist etwa (x + sin y + cos z) auch ein Polynom?

Der eingangs gegebenen Definition nach: ja (denn es handelt sich um "durch Plus- oder Minuszeichen miteinander verbundenen Glieder"). Meiner bisherigen Meinung nach: nein (die Glieder dürfen nur aus einer potenzierten Variable und einem Koeffizienten bestehen). Was ist richtig? --Bleckneuhaus (Diskussion) 18:01, 19. Aug. 2023 (CEST)

Das sehe ich auch so. Ich habe den Edit revertiert. Die Aussage, dass es mehr als zwei durch Plus oder Minus verbundene Glieder sein müssen, ist auch falsch. --Digamma (Diskussion) 20:58, 19. Aug. 2023 (CEST)

Welche Polynomfunktion ist abgebildet?

Kurz nach dem Beginn des Artikels ist rechts ein "Graph einer Polynomfunktion 5. Grades" abgebildet. Ich finde es sinnvoll, zu diesem Graphen auch die zugehörige Polynomfunktion 5. Grades mit anzugeben. So haben es Leser*innen es leichter, den Graphen nachvollziehen zu können. Könnte die bitte jemand hinzufügen? Danke!--Wikilaser (Diskussion) 18:55, 25. Apr. 2024 (CEST)

Es ist eine .svg-Datei, da stehen um die 20 Koordinaten von Stützpunkten drin. Fleißige Menschen können daraus die Koeffizienten bestimmen – vermutlich sind die rational mit kleinen Nennern. Vielleicht statt Sudoku am Wochenende. Was mir aber auffiel: die x-Achse und die y-Achse haben einen verschiedenen Maßstab, d. h. die Gitterlinien bilden Rechtecke, die keine Quadrate sind. Wozu das gut sein soll, weiß ich nicht; es verwirrt eher. Sollte sich aber korrigieren lassen. Wie die Bezier-Kurven zwischen den Stützstellen berechnet wurden, weiß ich nicht. Den Benutzer Geek3 gibts noch; vielleicht wäre es am einfachsten, ihn zu kontaktieren. --Lantani (Diskussion) 09:59, 26. Apr. 2024 (CEST)

Auf der Commonsseite ist der Funktionsterm angegeben: $f(x)={(x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) \over 20}+2$ --Digamma (Diskussion) 20:13, 26. Apr. 2024 (CEST)