Diskussion:Quadratwurzel

Programmiersprachen

Es kommt aber auch die Bezeichnung sqr anstatt sqrt vor. Z.B. in Zeilen-Basic, Turbo-Basic, Visual Basic. Gruss Boris Fernbacher 01:15, 16. Apr 2005 (CEST)

Und in anderen Programmiersprachen (Pascal) ist sqr das Quadrieren. Ich finde den Satz ohnehin eher entbehrlich, also bitte keine Auflistung aller Varianten...-- Gunther 01:40, 16. Apr 2005 (CEST)

Quadratwurzel, 10. April

• pro Sicher nicht jedermanns Sache, aber ein mathematischer Genuss! --Saum 08:56, 10. Apr 2005 (CEST)
• pro Etwa bis zur Hälfte konnte ich folgen. Also wurde auch Reihung nach Schwierigkeitsgrad eingehalten. --Zahnstein 07:32, 11. Apr 2005 (CEST)
• contra Eigentlich wirklich schön, aber lesenswert? Viel Fachsimpelei am Ende und für Nicht-Mathematiker spätestens nach den ersten Formeln uninteressant, ebenfalls nicht besonders "spannend", insofern das bei Mathe überhaupt geht ;) --Roger Zenner -!- 13:06, 11. Apr 2005 (CEST)
• deutliches contra, schon der erste Satz ist falsch. --Kliv 22:20, 14. Apr 2005 (CEST)
• :Was soll daran falsch sein ? 62.246.29.25 10:18, 15. Apr 2005 (CEST)

Unter der Quadratwurzel einer Zahl x versteht man in der Mathematik eine Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl x ist. Die Formulierung impliziert, dass es zu jeder Zahl x eine Quadratwurzel gibt. Weiterhin, dass sie eindeutig ist, bzw. "der Quadratwurzel" impliziert eindeutig während "eine Zahl" sich da schon wieder zurückhält. Dass dies nicht so ist, wird im Artikel später auch gesagt. Besser: "Eine Zahl, deren Quadrat gleich einer gegebenen (reellen) Zahl x ist, nennt man Quadratwurzel von x." oder, wenn man nur die positiven Zahlen als Quadratwurzel definieren möchte "Eine positive reelle Zahl, deren Quadrat..."

• deutliches contra, schon der erste Satz ist falsch. Leider geht es lustig mit Fehlern weiter. Elementare Dinge der Analysis haben die Schreiber nicht verstanden (z.B. den Funktionsbegriff). -- Frank Klemm, 4.5.2005

--Kliv 11:11, 15. Apr 2005 (CEST)

Um mich hier mal einzumischen, Kliv hat vollkommen recht. Schon die Formulierung am Anfang ist verwirrend. Ist mit Quadratwurzel nun x^2 von x gemeint oder x von x^2. Klar weiß ich, was gemeint ist, aber es kommt nicht heraus. Zudem hat jede reele Zahl (ausser 0) genau zwei Quadratwurzeln, und jede komplexe Zahl derer sogar 4 Quadratwurzeln. --Arbol01 12:22, 15. Apr 2005 (CEST)

Die Formulierung am Anfang ist nicht verwirrend, sondern einfach falsch. Die Lösung der Gleichung y² - x = 0 und die Funktion (Mathematik) der Quadratwurzel y = f(x) = sqrt(x) sind zwei unterschiedliche Dinge. Jede Zahl hat zwei Lösungen der Gleichung y² - x = 0. Im Fall der Entartung ist es eine Doppellösung. 4 Quadratwurzzel ??? Was soll der Unsinn.

Kubikwurzel enthält den gleichen Satz an Fehlern.

Quadratwurzel-Symbol

Ich wäre dafür, das Wurzelzeichen für alles andere als die positive Wurzel einer positiven Zahl komplett zu verbannen: hab' grad' versucht, das schlimmste durch mehrere Kommentare zu vermeiden, find's aber eine sehr schlechte idee, hier überall dieses Zeichen zu verwenden. Da ich nicht weiß, ob dies in gewissen (welchen?) Kreisen dennoch so gebräuchlich ist (würde mich jedoch wundern, wenn diese nicht die allergrößten Probleme hätten, jemals ein korrektes und eindeutiges Ergebnis zu erhalten...), wollte ich nicht allzu radikal (haha...) vorgehen und hab' ide Wurzeln einstweilen stehen lassen. — MFH 16:06, 19. Okt. 2006 (CEST)

Man kann das Quadratwurzelsymbol schon auch im Komplexen "vernünftig" (und einigermaßen elementar, also ohne Riemann-Flächen) verwenden, wenn man klar vereinbart, welche Lösung von $z^{2}=c$ mit ${\sqrt {c}}$ gemeint ist. Üblicherweise ist das der „Hauptwert“, also die komplexe Lösung, die das kleinste Argument (orientierter Winkel zwischen 0->1 und 0->z in der Zahlenebene) hat. Damit sind die reellen (nichtnegativen!) Quadratwurzeln ein Spezialfall der Hauptwerte.--KleinKlio 13:15, 21. Okt. 2006 (CEST)

Habe eine Klarstellung (Zweige, Hauptzweig, Hauptwert) versucht, das Wurzelziehen in kartesischen Koordinaten erschien mir zu technisch. Wer Wurzeldarstellungen von komplexen Wurzeln sucht, sollte IMHO die Konstruktion der Winkelhalbierenden algebraisieren (Vektormittelwert von z und |z| hat den richtigen Winkel, normieren und mit der reellen Wurzel aus dem Betrag strecken richtet den Rest).

Man beachte zu dieser Diskussion: Auch die reelle Quadratwurzel ist nicht "einfach" die Umkehrfunktion der Quadratfunktion, sondern nur von deren Einschränkung auf die nichtnegativen reellen Zahlen. Alle Umformungsfehler, die auf diesem Missverständnis basieren, können im Reellen genauso passieren und begegnen mir in meiner Unterrichtspraxis mit unschöner Regelmäßigkeit!

Wichtigste Beispiele (reell):

1. ${\sqrt {(x^{2})}}=|x|$ ist korrekt für alle reellen x, aber ${\sqrt {(x^{2})}}=x$ nur für nichtnegative x.
2. $({\sqrt {x}})^{2}=x$ ist im reellen korrekt für alle nichtnegativen x, sonst ist die linke Seite reell nicht mal definiert. Im Komplexen stimmt es für jeden Zweig der Quadratwurzel per definitionem.

--KleinKlio 14:16, 21. Okt. 2006 (CEST)

Rechenregeln fehlen

Leider fehlt bis dato ein Abschnitt mit den einschlägigen Rechenregeln für Quadratwurzeln, die ja zum Mittelstufenstoff der Schulmathematik gehören. Wer nimmt das in Angriff? --Wolfgang1018 23:06, 12. Nov. 2006 (CET)

Notfalls ich:Quadratwurzel#Eigenschaften und Rechenregeln. --KleinKlio 00:55, 13. Nov. 2006 (CET)

Bezeichnung für das Verfahren der Berechnung durch Kettenbruch

Ich würde gerne zum Abschnitt Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen noch folgendes Verfahren hinzufügen (bzw einen eigenen Artikel darüber schreiben):

${\sqrt {a^{2}+b}}\approx a+{\frac {b}{\displaystyle 2a+{\frac {b}{\displaystyle 2a+{\frac {b}{\displaystyle 2a+{\frac {b}{\displaystyle 2a+\dots +{\frac {b}{2a}}}}}}}}}}$

also z.B.

${\sqrt {7}}={\sqrt {2^{2}+3}}\approx 2+{\frac {3}{\displaystyle 4+{\frac {3}{\displaystyle 4+{\frac {3}{4}}}}}}$

Leider habe ich aber keine Ahnung wie man dieses Verfahren nennt, weiß das vielleicht jemand? --Galadh 14:40, 13. Jan. 2007 (CET)

Du könntest einfach "Kettenbruchentwicklung" schreiben. --Digamma 12:07, 14. Jan. 2007 (CET)

Multiplikation von Ergebnissen

Ist das schon jemandem aufgefallen oder bin ich der erste? Wenn man das Ergebnis einer Quadratwurzel (sagen wir sqrt{y}) mit x multiplizieren will, kann man stattdessen auch die Wurzel aus x * x * y nehmen. Das wird in der Schachmathematik angewandt, um die Länge eines Zuges zu bestimmen. (Der Läuferzug hat die Länge von sqrt{2} mal der Anzahl der Felder bzw. Wurzel aus 2, 2*2*2, 3*3*2, 4*4*2, 5*5*2, 6*6*2 und 7*7*2) --Gruß, Con^structor 21:52, 24. Mär. 2007 (CET)

Ich glaube nicht, dass du der erste bist, dem das aufgefallen ist. Das ergibt sich aus $x\cdot {\sqrt {y}}={\sqrt {x^{2}}}\cdot {\sqrt {y}}={\sqrt {x\cdot x\cdot y}}$ --Galadh 19:34, 25. Mär. 2007 (CEST)

Und gilt nur, wenn $x$ nicht negativ ist. :-) --Digamma 19:48, 28. Mär. 2007 (CEST)

Quadratwurzeln aus Matrizen

Unter "Anzahl existierender Wurzeln" steht:

"Wie auch bei der Wurzel aus reellen oder komplexen Zahlen ist die Wurzel aus Matrizen nicht unbedingt eindeutig. So besitzt die Nullmatrix nur eine Wurzel, während beispielsweise die Einheitsmatrix unendlich viele Wurzeln besitzt, nämlich unter anderem ..."

Stimmt das? Hat nicht die Nullmatrix auch unendlich viele Wurzeln? Z. B. alle der Bauart (0 a; 0 0)!

Ich denke du hast Recht und hab den Satz daher entfernt. Danke für den Hinweis!--Galadh 15:48, 12. Okt. 2007 (CEST)

"So besitzt die Einheitsmatrix $I={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ unendlich viele Wurzeln", richtig. "Betrachtet man nur positiv definite symmetrische Matrizen, so ist die Wurzelbildung eindeutig", die Einheitsmatrix ist also nicht symmetrisch und positiv definit? Wäre vll. gut klarzustellen, dass die Wurzel auch symmetrisch und positiv definit sein soll. --87.79.46.200 (01:59, 12. Sep. 2012 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Das steht einen Satz weiter genau so da, wie die Eindeutigkeit gemeint ist.--LutzL (Diskussion) 09:49, 12. Sep. 2012 (CEST)

Schreibt "man" eigentlich tatsächlich $A^{\tfrac {1}{2}}$ für ein beliebige Matrixquadratwurzel auch in nicht eindeutigen Fällen, wie im Artikel steht? Ich halte das zumindest für ein wenig gefährlich. Man schreibt ja auch nicht $9^{\tfrac {1}{2}}=\pm 3$. -- HilberTraum (Diskussion) 11:04, 12. Sep. 2012 (CEST)

Uneindeutigkeit des Wurzelsymbols

Das Symbol ${\sqrt {a}}$ für reelles a bezeichnet immer eine nicht-negative Zahl, siehe zum Beispiel I.N. Bronstein, S.8 usw. Eine Gleichung ${\sqrt {9}}=-3$, wie Du sie in die Einleitung geschrieben hast, wirst Du deshalb in der mathematischen Literatur nicht finden und gehört damit auch nicht in das Lemma. Die Behauptung, dass eine solche Definition von Wurzelausdrücken etwa bei den sogenannten Wurzelgleichungenzu verheerenden Folgen führen kann wie etwa die absurde Konsequenz, daß korrekt errechnete Lösungen sich bei der Probe nicht als Lösungen erweisen lassen, ist Deine Meinung; Du schreibst ja selbst, dass Dir da "Generationen von Schulbüchern" widersprechen. Für die "verheerenden Folgen" der nicht-negativen Definition brauchst Du Belege in der mathematischen Literatur, sonst ist so eine Aussage POV. Die "Quadratwurzel von a" ist natürlich nicht eindeutig, wenn man sich nicht auf einen Zweig beschränkt, aber das wurde im Artikel vor Deinen Änderungen auch schon ausgeführt. Präziser abgrenzen, wie im en-Lemma vorgeführt, ließe sich das natürlich noch, aber Deine Änderungen sind teilweise - wie oben begründet - schlicht falsch. Ach ja: Auf sachliche Argumente in meiner Kommentarzeile - im Wesentlichen die, die ich hier aufführe - kam bei Deinem Revert als Begründung nur "Bitte sachlich bleiben!", die Aufforderung musst Du mir schon genauer erklären.--Sommerkom 14:36, 12. Okt. 2007 (CEST)

Entschuldige bitte, aber Du wirst wohl kaum einen forschenden Universitätsmathematiker finden, der Dir darin zustimmt, daß meine Argumente schlicht falsch seien. Mathematik ist so eine schöne Sache, weil es dabei nicht um Willkür geht, sondern ausschließlich um Vereinbarungen, die seit hunderten ja sogar seit mehreren tausend Jahren getroffen worden sind, um das Gebäude der Mathematik widerspruchsfrei aufzubauen. Es geht mir immer wieder darum, die Mathematik von Willkür frei zu halten. Und Du bezeichnest meine Bemühungen als POV, obwohl sie genau das Gegenteil davon sind. Ich muß allerdings sagen, daß ich ja bisher immer an die Überzeugungskraft von sachlichen Argumenten geglaubt habe, Du nimmst mir nun allmählich diesen Glauben. Vielleicht liest Du Dir ja einmal die Ausführungen durch, die ich im Diskussionsteil zum Lemma Wurzelgleichung geschrieben habe. Wenn ich Dich dann nicht überzeugt habe, dann wird mir wohl kaum noch irgend ein Argument einfallen, es sei denn Du hast gute persönliche Gründe dafür, an bestimmte Autoritäten zu glauben und nicht auf Argumente zu bauen. Das würde mir allerdings einiges an Kopfschmerzen bereiten, obwohl natürlich jeder seinen eigenen Weg zu gehen hat, von dem er nun mal überzeugt ist, daß er ihn zu einem sinnvollen Leben verhilft. Sei also in jedem Falle herzlich gegrüßt von Wolfgang Deppert 22:17, 12. Okt. 2007 (CEST)

Das Wurzelziehen im Sinne der Loesung von $x^{2}=a$ ist in der Tat nicht eindeutig, das Symbol ${\sqrt {a}}$ ist es dagegen, einfach deshalb, weil es so definiert ist (mit Wurzelfunktion hat das nichts zu tun). Es gibt auch keinerlei Schwierigkeiten, wenn das konsequent beruecksichtigt wird (die Loesungsmenge der Gleichung ist $\{{\sqrt {a}},-{\sqrt {a}}\}$, und die Gleichung, an der du dich in Wurzelgleichung aufhaengst, hat unter dieser Konvention tatsaechlich nur eine einzige Loesung). Fuer unseren Artikel in der Wikipedia ist aber vor allem wichtig, dass diese Konvention allgemein getroffen und akzeptiert wird, und deshalb wird sie hier auch verwendet. Wenn dir das nicht gefaellt, dann ist das dein gutes Recht, aber unerheblich fuer WP, die als Enzyklopaedie in gewissem Sinne tatsaechlich autoritaetsglaeubig sein muss.--Wrongfilter ... 23:03, 12. Okt. 2007 (CEST)

Lieber Wrongfilter das ist nun tatsächlich ein ehrliches Bekenntnis zum Autoritätsglauben, bloß das ist in der Mathematik ein Novum. So etwas haben wir bisher erfolgreich aus der Mathematik raushalten können, und nur durch den Zufall, daß ich indirekt durch Schüler eines Gymnasiums auf den Unsinn in den Mathematikbüchern aufmerksam gemacht worden bin, weil auch diese das nicht für möglich gehalten haben, bin ich aktiv geworden. Daraufhin habe ich nämlich bei Wikipedia nachgeschaut, und ich kann Dir sagen, daß meine vier Wände durch das dröhnende Lachen in Gefahr geraten sind, in das ich spontan ausbrach, als ich las, daß hier der gleiche mathematische Murks ausgeführt ist. Aber nun noch ein letzter Versuch, um die argumentative Klarheit in der Mathematik zu retten. Auch wenn unglaublich viele Autoren voneinander abgeschrieben haben, daß das Wurzelzeichen so definiert sei, daß es nur die positive Wurzel zulasse, müssen wir uns doch wenigstens darüber einigen können, daß das Wurzelzeichen ein Operationszeichen ist, welches die inverse Operation zum Potenzieren kennzeichnet. Das Wurzelzeichen ist also eine Aufforderung, die Zahl oder auch die Zahlen aufzuzsuchen, die mit sich selbst multipliziert den Ausdruck ergeben, der unter dem Wurzelzeichen steht. Und nun wird hier von äußerst zweifelhaften Autoritäten behauptet, daß das Wurzelzeichen keine derartige Aufforderung sei, sondern daß das Wurzelzeichen selbst bereits eine Auswahl der möglichen Zahlen vornähme, die mit sich selbst multipliziert den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ergeben. Solch eine Vermengung von Operationszeichen und Vorwegbeurteilung der Operation kennen wir in der Mathematik bei keinem einzigen Operationszeichen, oder wollt Ihr etwa auch das Integralzeichen so definieren, daß es nur Ergebnisse besitzen darf, die durch das Einsetzen von positiven Randbedingungen entstehen? Oh je, was können wir da alles anrichten, wenn wir nicht dabei bleiben, unsere Zeichen in der Mathematik durch eindeutige Kennzeichnung ihrer Funktion zu bestimmen. Diese Eindeutigkeit der Operationsfunktion unserer Operationszeichen darf aber nicht damit verwechselt werden, daß diese Zeichen auch noch die Eindeutigkeit des Operationsergebnisses vorschreiben sollen. Ich bitte doch darum, diesen Unterschied zu beherzigen. Mit herzlichen Grüßen Wolfgang Deppert 14:05, 13. Okt. 2007 (CEST)

Ich wiederhole mich: Deine Unzufriedenheit mit der Situation in allen Ehren, aber wenn du das aendern willst dann musst du in die Mathematik gehen, einen wissenschaftlichen Aufsatz dazu verfassen und versuchen, Mathematiker oder Mathematikdidaktiker zu ueberzeugen. Aufgabe der Wikipedia ist es, den Stand der Dinge zu referieren, nicht ihn zu aendern, deshalb ist das hier das falsche Forum fuer deinen Kreuzzug.--Wrongfilter ... 16:34, 13. Okt. 2007 (CEST)

Wolfgang, wenn du so sehr davon überzeugt bist, dass deine Meinung von der Mehrheit der Mathematiker geteilt wird, dürfte es für dich doch ein leichtes sein, Belege dafür zu liefern, dass du im Recht bist. Mit "Belege" meine ich hier nicht ausschweifende glossenhafte Diskussionsbeiträge deinerseits, sondern ein paar zitierfähige Quellen. Wenn du nur halb so viel Elan in eben diese Quellensuche gesteckt hättest, wie du sie hier auf der Diskussionsseite steckst, wären wir schon viel weiter. :-) --RokerHRO 23:16, 13. Okt. 2007 (CEST)

Lieber RokerHRO, ich habe es nicht glauben wollen, daß sich hier in dieser Diskussion keine Mathematiker finden, die noch ein ordentliches Mathe-Lehrbuch im Schrank haben, und offenbar Du auch nicht. Aber es gibt doch Bibliotheken. Könntest Du nicht vielleicht auch einmal von Deinem hohen Roß heruntersteigen und mal eine mathematische Fachbibliothek aufsuchen. Falls Dir das zu schwierig ist, dann schau doch wenigstens mal in die Diskussion unter Wurzelgleichung und sorge mit dafür, daß die ungezählten Schüler, die sich über Wurzelgleichungen Klarheit verschaffen wollen, diese in Wikipedia auch so finden, wie sie von den autoritätsungläubigen, vereinbarungstreuen und konsistent argumentierenden Mathematikern seit eh und je verbreitet und vertreten wird. Mit herzlichen Grüßen Wolfgang Deppert 00:48, 23. Okt. 2007 (CEST)

Klar könnte ich das. Mag ich aber nicht. Wenn du hier einen Standpunkt vertrittst, der anscheinend von der Mehrheit der Wikipedianer nicht kommentarlos geteilt wird, bist du auch in der Beweispflicht, deinen Standpunkt zu belegen. Warum sollte ich mir die Mühe machen, in Bibliotheken zig Bücher zu durchsuchen, um Belege für deine Meinung zu finden?

Da du ja anscheinend auch über Literatur verfügst, die deinen Standpunkt teilt, dürfte es für dich auch viel leichter fallen, deinen Standpunkt mit entsprechenden Quellen zu belegen, oder nicht? --RokerHRO 15:30, 23. Okt. 2007 (CEST)

Wenn es denn schon zu viel verlangt ist, einmal auf eine andere Diskussionsseite rüberzuklicken, dann mache ich das nun ausnahmsweise einmal für DIch, also bitte:

Die Quadratwurzel einer Zahl wird in der Mathematik allgemein als die positive Lösung definiert. Dabei handelt es sich um eine reine Definition. Man hat sich darauf geeinigt, dass man unter dem Symbol ${\sqrt {u}}$ immer die positive Zahl versteht. Wenn man beide Lösungen der Gleichung x² = u beschreiben möchte, schreibt man dann $\pm {\sqrt {u}}$. Die Quadratwurzel ist also nach dieser Definition nicht die Umkehroperation zum Quadrieren.

Nach deiner Definition würde ${\sqrt {u}}$ schon beide Lösungen bezeichnen, und $\vert {\sqrt {u}}\vert$ wäre die eindeutige, positive, Lösung. Deine Definition hätte zum Beispiel den Vorteil, dass das Quadratwurzelziehen wirklich die Umkehroperation zum Quadrieren wäre, aber den Nachteil, dass vermehrt Betragsstriche eingesetzt werden müssten, wenn man nur dass positive Ergebnis meint. --Galadh 17:19, 13. Okt. 2007 (CEST)

Lieber Galadh Du tust mir zu viel Ehre an, wenn Du von meiner Lösung sprichst; denn es ist die in der Wissenschaft der Mathematik allgemein verwendete Lösung, weil ja die Vermengung von Operationszeichen und Operationsergebnis zu viel Unheil anrichtet, wie es ja in den sogenannten Wurzelgleichungen der Schulmathematik so offenkundig wird. Nun bist Du hier der erste, der überhaupt etwas ausweist. Aber Dein erster Satz ist dennoch schlicht falsch, wenn Du nicht dazu schreibst: "in der Schulmathematik". Leider werden anscheinend auch die Lexikaschreiber von Schulmathematikern beherrscht, bei denen ganz offensichtlich die Neigung zum Autoritätsglauben stark ausgeprägt ist. Um die Falschheit Deines ersten Satzes festzustellen, brauchst Du nur irgend ein anerkanntes Lehrbuch der Mathematik zur Hand zu nehmen, wie etwa den Erwe (Friedhelm Erwe, Differential- und Integralrechnung I, Hochschultaschenbücher, Bibliographisches Institut AG, Mannheim 1962, S. 123), nach dem Generationen von Mathematikern Mathematik gelernt haben. Dort heißt es unter dem Abschnitt 3. Die allgemeinen Potenzen und Wurzeln auf S. 123:

"An Stelle von $a^{\frac {1}{m}}$ schreibt man für natürliche Zahlen $m\geq 2$ auch ${\sqrt[{m\,}]{a}}$, für $m=2$ auch kurz ${\sqrt {a}}$. Wir können uns nun mit den Lösungen von x der Gleichung $x^{m}=c$ bei vorgegebener reeller Zahl c und natürlicher Zahl $m\geq 2$ beschäftigen. Jedes solche x heißt eine m-te Wurzel (für m = 2 Quadrat-, für m = 3 Kubikwurzel) aus c. Der Fall c = 0 gestattet nur die Lösung x = 0. Sei nun c ≠ 0. Wegen $|x|^{m}$ = ${\sqrt[{m\,}]{|c|}}$, gibt es höchstens zwei sich nur durch das Vorzeichen unterscheidende Lösungen. Die Vorzeichenregeln führen nun zu folgenden Möglichkeiten:

$m\ gerade{\begin{cases}c<0{\text{ : keine Loesung}}\\c>0{\text{ : genau zwei Loesungen}}\ x=\pm {\sqrt[{m\,}]{c}}\end{cases}}$

. . ."

Dem ist im Prinzip nichts hinzuzufügen; denn hier wird das Wurzelzeichen ausschließlich als Operationszeichen verstanden, so daß die Vorzeichendoppeldeutigkeit des Ergebnisses der Operation des Wurzelziehens, die durch das Wurzelzeichen verlangt wird, durch das Voranstellen des vereinigten Plus-Minus-Zeichens dargestellt wird. Nun sollte sich doch bitte schön jeder Mal die Zeit und ein ordentliches Mathematiklehrbuch zur Hand nehmen, um sich davon zu überzeugen, was seit vielen, vielen hundert Jahren in der Mathematik vereinbart wurde. Da lohnt es z. B. einmal den Gericke zur Hand zu nehmen (Helmuth Gericke, Mathematik in Antike und Orient oder ders. Mathematik im Abendland, Fourier Verlag, Wiesbaden 1992, ISBN3-925037-64-0). Im ersteren (S.192) findet sich z. B. ein Zitat des indischen Mathematikers aus dem 7. Jahrhundert Brahmagupta: "Das Quadrat von Negativem und Positivem ist dasselbe, das von Null ist Null. Die Wurzel hat dasjenige (Vorzeichen), woraus das Quadrat (entstanden ist).", und Gericke fügt dort hinzu: "Fraglich ist, wie man das erkennen soll, vielleicht aus der Art der gestellten Aufgabe. Vollständige Klarheit über das doppelte Vorzeichen der Wurzel finden wir später bei Bhaskara II."

Wenn hier immer wieder so dahergeredet wird, es wäre eine Vereinbarung in der Mathematik, das Vorzeichen einer Wurzel stets als positiv zu betrachten, so fehlt mir dafür jeder Beleg. Nirgendwo wird angegeben, welche Mathematiker wann und wo diese Vereinbarung getroffen haben sollten. Es werden hier lediglich fragliche Autoritäten von Formelsammlungen zitiert. Tatsächlich gilt die Notwendigkeit einer eindeutigen Interpretation des Wurzelzeichens ausschließlich für die Definition der Wurzelfunktion, die als Funktion die Bedingung der Eindeutigkeit zu erfüllen hat. Dehnt man diese Eindeutigkeitsforderung auf das allgemeine Operationszeichen der Wurzel aus, so werden auf diese Weise die Vereinbarungen über den Begriff der Wurzel und über die Multiplikationsregeln von Zahlen mit Vorzeichen verletzt. Insbesondere wird der in der nicht nur in der Schulmathematik wichtige Begriff der Probe unbrauchbar gemacht; denn Proben werden deshalb gemacht, weil durch sie die Richtigkeit des Rechenganges überprüft werden soll. Und wenn nun hier bei den Proben der Lösungen von Wurzelgleichungen festgestellt, daß man beim Einsetzen der Lösungen, aus einer ursprünglichen Gleichung eine Ungleichung gemacht hat; dann kann dies nach dem Begriff einer Probe nur heißen: Es ist falsch gerechnet worden! Und tatsächlich ist dies ja auch der Fall, weil sich mathematisch die Zweideutigkeit der Wurzelausdrücke nicht wegdefinieren läßt. Eine Probe zu machen, um aus zwei Lösungen eine angebliche Scheinlösung auszusondern, geht gegen den Begriff der Probe. Außerdem sind ja die sogenannten Scheinlösungen samt und sonders ganz korrekte Lösungen. Aber darauf habe ich hier ja schon bis zum Überdruß hingewiesen. Es bleibt also unerfindlich, warum eine derartig falsche Definition des Wurzelausdruckes überhaupt vorgenommen werden soll, entsteht doch zu allem Überfluß auch nocht die Möglichkeit, eine Gleichung in eine Ungleichung zu verwandeln. Vor allem aber werden unsere genau denkenden Schulkindern damit gänzlich verwirrt, soll ihnen denn etwa damit suggeriert werden, daß es sich bei der Mathematik um eine Geheimwissenschaft handelt, die nur einem kleinen Zirkel von Gläubigen vorbehalten ist? Oder hält man aus obskuren Gründen das "Negative" für verdammungswürdig und hält sich deshalb nur an das "Positive". Dabei hat schon Immanuel Kant in der Einleitung zu seiner "Transzendentalen Methodenlehre" seiner Kritik der reinen Vernunft schon mit aller Deutlischkeit darauf hingewiesen, daß wir negative Ergebnisse ebenso zu schätzen haben, wie positive.

Zum Abschluß noch eine neuere Literaturstelle, die mir hier zufällig zur Hand ist. In dem Büchlein von Peter Dörsam, Mathematik zum Studienanfang - die wichtigsten Grundlagen aus der Schulzeit verständlich erklärt, 4. überarbeitete Aufl., PD-Verlag, Heidenau 2003, ISBN 3-930737-54-X heißt es auf Seite 10:

" - die zweite Wurzel ist mehrdeutig, wenn es eine Lösung gibt, so gibt es immer eine positive und eine negative Lösung, nur die zweite Wurzel von Null ist eindeutig, denn +0 ist das gleiche wie -0."

Wer unterstützt mich nun, um meine Veränderung dieses Artikels wieder einzusetzen? Mit immer noch hoffnungsvollen Grüßen Wolfgang Deppert 20:35, 22. Okt. 2007 (CEST)

Vielleicht hättest Du die zitierte Seite 123 im Lehrbuch von Friedhelm Erwe vollständig lesen sollen. Erwe definiert ${\sqrt {a}}$ als gleichwertige Schreibweise für $a^{1/2}$. Wenige Zeilen oberhalb dieser Stelle wird definiert, was unter $a^{1/2}$ zu verstehen ist.

"Wir sind nun nicht mehr gehindert, für beliebiges reelles $b$

$a^{b}=e^{b\log a}$

zu definieren. ... $a^{b}$ ist stets positiv."

Damit erweist sich Dein Zitat als Eigentor. Für einen Kreuzzug gegen eindeutige Rechenausdrücke liefert das Buch von F. Erwe keine Begründung. 84.155.240.42 14:35, 23. Okt. 2007 (CEST)

Liebe(r?) Unbekannte(r?), Dein Zitat kenne ich natürlich, aber es hat eine gänzlich andere Bedeutung - und das müßtest Du eigentlich auch wissen - als Du sie hier unterstellst. Der ganze Abschnitt 2 heißt ja: Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz. Unter 2.1 macht die Darstellung der Exponentialfunktion keine Schwierigkeiten, und wegen e > 0 ist die e-Funktion auf dem gesamten Wertebereich der reellen Zahlen selbst immer positiv. Und da nun nach 2.2 die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, kann sie nur für positive a definiert sein, weil die e-Funktion eben keine negativen Wertzuweisungen kennt. Und darum zieht Erwe diesen Sachverhalt noch in seinen Unterabschnitt 2.3 hinein, indem er mit der Bemerkung beginnt: "Sei a eine reelle Zahl > 0." Diese Voraussetzung a > 0 gilt freilich für die Betrachtungen zu Beginn von 2.3 und mithin auch für $a^{b}$, das unter der Voraussetung a > 0 auch nicht anders als positiv sein kann.

Hier geht es aber ausschließlich um die Darstellung von Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen, die aufgrund des Funktionsbegriffes die Bedingungen der Eindeutigkeit zu erfüllen haben. Und darauf habe ich für die Wurzelfunktion unablässig hingewiesen - hast Du das denn überlesen?

Die Ausführungen, die Erwe nach der Rechenregel (47) anstellt, beziehen sich nun auf einzelne Lösungen also auf einzelnen Rechenausdrücke und nicht mehr auf Funktionen, und dort findest Du dann seine Darlegungen darüber, daß hier die Zweideutigkeit der Wurzeln für gerade und ungerade m immer vorliegt. Wir haben sie darum immer zu beachten, sobald es um einzelne Lösungen von Wurzelausdrücken und nicht um Wurzelfunktionen geht.

Dürfte ich also um etwas mehr Wahrhaftigkeit bitten, und vor allem darum, nicht mehr in eine Verbindung gebracht zu werden, mit einem der abscheulichsten Verbrechen der Christenheit, mit den Kreuzzügen?

Das läßt sich aus der Beschäftigung mit der Mathematik doch lernen, daß man sich durch Wahrhaftigkeit sehr gut verstehen kann. Warum willst Du uns die Freude am gegenseitigen Verstehen nehmen? mit herzlichen Grüßen Wolfgang Deppert 15:53, 23. Okt. 2007 (CEST)

Lies einfach mal genauer, was Du selbst als Beleg eingestellt hast:

"für x gerade gibt es genau zwei Loesungen: $x=\pm {\sqrt[{m\,}]{c}}$ "

Dass die Gleichung x² = u mehrere Lösungen haben kann, bestreitet hier niemand. Zu Deiner Behauptung, das Wurzelsymbol sei uneindeutig: Wäre der Ausdruck ${\sqrt[{m\,}]{c}}$ zweideutig, stünde davor nicht $\pm$, um die beiden Lösungen zu kennzeichnen. Wenn Du weiter der Ansicht bist, dass der Ausdruck ${\sqrt {c}}$ nach üblicher Definition auch negativ sein kann, ist das Deine Meinung; das wirst Du weder belegen noch jemanden hier davon durch weitere ausschweifende Ausführungen überzeugen können. Falls Du so etwas in den Artikel schreibst, werde ich das einfach revertieren. Damit von meiner Seite aus EOD, denn alle Argumente wurden Dir hier von verschiedener Seite mehrfach genannt.--Sommerkom 16:33, 23. Okt. 2007 (CEST)

Ich denke, Wolfgang stützt seine Argumentation auf eine andere Stelle im Zitat, nämlich folgende: "Wir können uns nun mit den Lösungen von x der Gleichung $x^{m}=c$ bei vorgegebener reeller Zahl c und natürlicher Zahl $m\geq 2$ beschäftigen. Jedes solche x heißt eine m-te Wurzel (für m = 2 Quadrat-, für m = 3 Kubikwurzel) aus c." Nach dieser Definition ist die Quadratwurzel nicht eindeutig. Warum aber dann als Lösungen $x=\pm {\sqrt[{m\,}]{c}}$ angegeben wird, ist mir nicht verständlich. --Galadh 19:26, 23. Okt. 2007 (CEST)

Da sehe ich keinen Widerspruch: Der Begriff "Quadratwurzel" wird halt oft im Sinne der Lösung der Gleichung x² = u verwendet (so auch hier), während das Symbol ${\sqrt {c}}$ immer eindeutig definiert ist. Wolfgang hat ein Problem mit dem Lemma Wurzelgleichungen, und dort geht es nur um das Wurzelsymbol. Was üblicherweise mit dem Begriff "Quadratwurzel" bezeichnet wird - das Symbol oder die Lösung der Gleichung-, darüber lässt sich wohl streiten; im besagten Lemma stehen aber nur mathematische Gleichungen, an denen es nichts zu deuteln gibt, deswegen wäre eine solche Diskussion da ziemlich fruchtlos. Ich habe nur keine Lust, das weiter mit ihm auszudiskutieren. Darauf war auch mein EOD bezogen, wenn er wieder etwas wie ${\sqrt {9}}=-3$ in den Artikel schreibt, kommt das einfach wieder raus.--Sommerkom 19:42, 23. Okt. 2007 (CEST)

@Wolfgang Deppert sagt etwas von einem Mathe-Lehrbuch im Schrank.

Ich habe eins:

Hilbert, Dr. Alfred, 1987: Mathematik. (= Nachschlagewerke für Grundlagenfächer, Bd. 1) Leipzig: Fachbuchverlag

Auf Seite 130 dieses Buches findet sich die folgende Definition:

»Wenn a eine nichtnegative reelle Zahl und n eine natürliche Zahl mit n ≧ 1 ist, so gibt es stets genau eine nichtnegative reelle Zahl b, für die bⁿ = a gilt. Diese eindeutig bestimmte Zahl b heißt n-te Wurzel aus a und wird mit ⁿ√(a) bezeichnet, d. h. ⁿ√(a) (a ≧ 0, n ∊ ℕ*) ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b, für die bⁿ = a gilt.«

Mit ℕ* ist ℕ\0 gemeint.

Viele Grüße -- Jake2042 (Diskussion) 02:20, 25. Aug. 2024 (CEST)

Mein lieber Sommerkom, wenn Du Dich nicht auf eine eindeutige Symbolik einigen möchtest, dann drehst Du Dich hier immer weiter im Kreis. Das Wurzelzeichen ist ganz eindeutig ein Zeichen für eine Operation, die auszuführen ist und die eindeutig als Umkehroperation zur Operation des Potenzierens zu begreifen ist. Die Operation des Wurzelziehens hat dann für m gerade genau zwei mögliche Ergebnisse, so wie es etwa bei Erwe nachzulesen ist. Mit diesem Ergebnis der Wurzeloperation haben wir die Zweideutigkeit zu akzeptieren, die für Wurzelausdrücke (, die keine Wurzelfunktion darstellen !!!) immer besteht und die durch das Symbol des zusammengeschriebenen Plus-Minus-Zeichens (welches ja selbst gar keine Operation beinhaltet, sondern nur auf die beiden Lösungen hinweist) lediglich gekennzeichnet wird. Wenn Du behauptest: "das Symbol ${\sqrt {c}}$ (sei) immer eindeutig definiert", dann ist das in bezug auf eine Vorzeichenfestlegung nicht nur irreführend, sondern sogar falsch; denn dieses Symbol ist lediglich die Aufforderung, die Wurzel aus c zu ziehen, das Symbol selbst hat noch gar kein Vorzeichen, weil es für Operationen keine Vorzeichen gibt. Das Ergebnis der Operation des Wurzelziehens ist dann allerdings zweideutig, und genau deshalb mußt Du auch akzeptieren, daß die Gleichung x² = u zwei Lösungen hat. Wie anders als durch Wurzelziehen bekommen wir diese Lösung heraus? Ganz offensichtlich nur durch die Umkehrfunktion des Quadrierens, die wir als das Wurzelziehen bezeichnen und mit dem Wurzelzeichen symbolisieren. Darum haben wir zu schreiben ${\sqrt {x^{2}}}=+x$ oder ${\sqrt {x^{2}}}=-x$, und wenn x² = 9 ist, ${\sqrt {9}}=+3$ oder ${\sqrt {9}}=-3$. Sind wir uns nun endlich einig? Mit herzlichen Grüßen Wolfgang Deppert 23:08, 23. Okt. 2007 (CEST)

${\sqrt {9}}$ ist ein Symbol fuer eine Zahl, nicht fuer eine Operation, und schon gar nicht fuer eine Funktion. ${\sqrt {9}}$ ist die positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert 9 ergibt. Die Gleichung ${\sqrt {9}}=-3$ ist falsch, weil die Zahl ${\sqrt {9}}$ einfach nicht gleich der Zahl $-3$ ist. Das aendert natuerlich nichts an der Tatsache, dass $(-3)\cdot (-3)=9$. Wenn man das einfach mal akzeptiert, dann muss man doch auch sehen, dass die Wurzelgleichung tatsaechlich nur eine Loesung haben kann. Die zweite, falsche Loesung tritt auf, weil die Operation die (eindeutige) Vorzeicheninformation frisst.

Steht da bei Erwe: $|x|={\sqrt[{m}]{|c|}}$? In deinem Zitat scheint da ein m zu viel (ich kenne das Buch nicht). Wenn das so da steht, dann ist doch eindeutig, dass er unter ${\sqrt {c}}$ in der Tat eine positive Zahl versteht.

Fuer die Verwendung des Begriffes Kreuzzug bitte ich um Entschuldigung, der ruft bei dir offensichtlich Assoziationen hervor, die ich nicht beabsichtigt hatte.--Wrongfilter ... 00:17, 24. Okt. 2007 (CEST)

Lieber Wolfgang,

eine Operation ist immer eindeutig, sonst handelt es sich nicht um eine Operation. Das Quadrieren als Funktion auf der Gesamtheit aller reellen Zahlen besitzt keine Umkehrfunktion, da die Funktion nicht injektiv ist. --Digamma 07:17, 24. Okt. 2007 (CEST)

Meine lieben Freunde des mathematischen Denkens,

es ist mir wahrhaft unbegreiflich, warum Ihre an etwas Falschem, was sich aus unerfindlichen Grünen in der Schulmathematik eingebürgert hat, festhalten wollt. Zweifellos werden damit die Schulkinder regelmäßig verwirrt, und sie können dadurch den Glauben an die Vernünftigkeit der Mathematik verlieren oder zu der Überzeugung kommen, daß Mathematik für sie eben unverständlich bleibt. Dadurch aber würden wir die Mathematiker unter den Schülern entgültig von der Mathematik fern halten, was wir ganz bestimmt nicht verantworten können.

Nun noch einmal - wahrscheinlich ein letztes Mal; denn mehr als klar argumentieren kann ich nicht - zur Sache. Zuerst zu Dir, lieber Digamma, natürlich muß eine Operation eindeutig bestimmt sein, nur das Ergebnis, das durch die Operation hervorgebracht wird, kann mehrdeutig sein, wie es beim Wurzelziehen seit Jahrhunderten der Fall ist. Aber bitte verwechsele doch eine einzelne mathematische Operation, nicht mit einer Funktion! Mathematische Operationen sind mathematische Werkzeuge, mit denen sich Funktionen, die stets als Abbildungen zu begreifen sind, definieren lassen. Beim Ausführen von Operationen kann es aber zu Mehrdeutigkeiten kommen, die für die Konstruktion von Funktionen freilich auszubügeln sind. Die Operation, die auszuführen, von einem Wurzelzeichen verlangt wird, heißt: Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert, die Zahl ergibt, die unter dem Wurzelzeichen steht. Die Operationsaufforderung, die mit der Schreibweise ${\sqrt {9}}$ gegeben ist, heißt also - und das ist die Vereinbarung, die seit Jahrhunderten besteht, und die Ihr hier nicht einfach abändern solltet - suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl 9 ergibt. Die Ausführung der Operation liefert nun das Ergebnis, daß es genau zwei Zahlen gibt, die diese Bedingung erfüllen, und das sind die Zahlen +3 und -3. Also gibt es die beiden Ergebnisse ${\sqrt {9}}=+3$ und ${\sqrt {9}}=-3$.

Und nun zu Dir, lieber Wrongfilter, in Deiner ersten Bemerkung irrst Du ein wenig; denn einerseits, tun wir in unseren mathematischen Ausdrücken stets so, als ob sie für irgendwelche Zahlen stünden, anderseits aber gewinnen wir diese Zahlen erst durch das Ausführen der Operationen, die auszuführen, von den mathematischen Zeichen herausgefordert werden, die in diesen mathematischen Ausdrücken stehen. So steht auch der Ausdruck (5 - 7) gewiß für eine Zahl, die aber erst nach der Durchführung der Operation erkannt werden kann, die in diesem Fall durch die Operation der Subtraktion gegeben ist, so daß wir schließlich zu dem Operationsergebnis kommen: (5 - 7) = -2 . Und so ist das auch mit dem Wurzelausdruck, und darum irrst Du ganz und gar, wenn Du das Ergebnis ${\sqrt {9}}=-3$ für falsch erklärst. Jedem Studenten, der so etwas hinschriebe, würde das als die Verbreitung von grobem Unfug angekreidet werden. Da Du Dich aber so nett entschuldigt hast für Deinen verbalen Ausrutscher, wofür ich mich herzlich bedanke, will ich mich hier derartiger verbaler Attacken enthalten.

Übrigens, das Zitat aus dem Erwe habe ich korrekt so wiedergegeben, und es entspricht ganz und gar dem mathematischen Standpunkt, den ich hier vertrete und den jeder andere Mathematiker ebenso vertreten würde wie ich. Es ist also überhaupt nicht meine subjektive Meinung, die ich hier äußere und noch viel weniger mein Verdienst. Tatsächlich bin ich ja nur durch verwirrte Gymnasialschüler auf den Umstand gestoßen, daß hier offenbar in der Schulmathematik sich ein unbegreiflicher elementarer Fehler eingeschlichen hat, den ich bisher nicht für möglich gehalten habe. Dieses Dilemma können wir hier gewiß nicht lösen, aber ich würde mich freilich darüber freuen, wenn doch wenigstens die mathematisch einwandfreie Argumentation hier Anerkennung fände. Das Schulbuchproblem ist gewiß nur "höheren Orts" zu lösen, wofür ich mich allerdings vehement einsetzen werde. Bis dahin alles Gute und herzliche Grüße von Eurem Wolfgang Deppert 11:51, 24. Okt. 2007 (CEST)

(1) Auf der zitierten Seite (Erwe, S.123) steht, dass $a^{b}$ für jede reelle Zahl $a>0$ und jede beliebige reelle Zahl $b$ positiv ist.

(2) ${\frac {1}{2}}$ ist eine reelle Zahl.

(3) Aus (1) und (2) folgt, dass $a^{\frac {1}{2}}$ für reelles $a>0$ positiv ist.

(4) Auf der zitierten Seite wird ${\sqrt {a}}$ als gleichwertige Schreibweise für $a^{\frac {1}{2}}$eingeführt.

(5) Aus (3) und (4) folgt, dass ${\sqrt {a}}$ für reelles $a>0$ positiv ist.

(6) Weil ${\sqrt {a}}$ nach (5) positiv ist, kann es nicht negativ sein.

Wenn Du behauptest, das Buch von Erwe sei ein Beleg für zweideutige Wurzelausdrücke, dann solltest Du auch in der Lage sein anzugeben, welche(r) der Schritte (1) bis (6) falsch ist (sind).

Übrigens: Welchen Sinn hätten Terme wie $\pm {\sqrt {a}}$, wenn ${\sqrt {a}}$ wirklich zweideutig wäre? Wfstb 14:10, 24. Okt. 2007 (CEST)

In dem Zitat von Wolfgang gibt es Übrigens doch einen Fehler, richtig heißt es:

Wegen $|x|^{m}=|c|$ , also $|x|=$${\sqrt[{m\,}]{|c|}}$, gibt es höchstens zwei sich nur durch das Vorzeichen unterscheidende Lösungen.

Galadh 15:00, 24. Okt. 2007 (CEST)

Wolfgang:

es ist mir wahrhaft unbegreiflich, warum Ihre an etwas Falschem, was sich aus unerfindlichen Grünen in der Schulmathematik eingebürgert hat, festhalten wollt. Was meinst Du mit Schulmathematik? Die Mathematik, die an der Schule unterrichtet wird oder (analog zum Begrif "Schulmedizin") die Mathematik, die an den Universitäten gelehrt wird? Hast Du Dir mal überlegt, dass der "Fehler" in der Schulmathematik evtl. keiner ist, sondern dass Du nur etwas falsch verstanden hast? Das wäre doch immerhin eine Möglichkeit?

Zuerst zu Dir, lieber Digamma, natürlich muß eine Operation eindeutig bestimmt sein, nur das Ergebnis, das durch die Operation hervorgebracht wird, kann mehrdeutig sein, wie es beim Wurzelziehen seit Jahrhunderten der Fall ist.

Wir streiten hier über den Begriff "Operation", den es so in der Mathematik gar nicht gibt. Es gibt in der Mathematik in verschiedenen Bereichen unterschiedliche Dinge, die "Operation" genannt werden, aber einen einheitlichen Begriff "Operation" gibt es nicht.

Aus dem, was Du weiter schreibst, glaube ich aber zu verstehen, was Du damit meinst:

Suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert, die Zahl ergibt, die unter dem Wurzelzeichen steht.

Nun, diese Aufgabe ist so nicht lösbar, denn es gibt hier nicht "diese Zahl ...". Es gibt nämlich, wie Du richtig schreibst, i.A. zwei Zahlen mit dieser Eigenschaft. Richtig gestellt könnte die Aufgabe also lauten: "Finde alle Zahlen, ...", "Finde eine Zahl, ..." oder "Finde die nicht-negative Zahl, ...". Alles drei sind sinnvolle Aufgaben. Die Mathematiker haben sich darauf geeinigt, dass das Wurzelzeichen die dritte der drei Aufgaben beschreibt.

Man kann natürlich auch die andern beiden Aufgaben stellen (und tut es). Aber es wäre nicht sinnvoll, dafür das Wurzelzeichen zu verwenden, da ${\sqrt {a}}$, damit man sinnvoll damit rechnen kann, eine wohlbestimmte Zahl sein sollte.

Also gibt es die beiden Ergebnisse ${\sqrt {9}}=+3$ und ${\sqrt {9}}=-3$.

Wenn die beiden Aussagen richtig wären, dann würde daraus folgen $-3=3$.--Digamma 19:04, 24. Okt. 2007 (CEST)

Liebe Wikipedia-Freunde, lange habe ich mich hier nicht mehr beteiligt, weil ich doch gehofft hatte, daß sich noch einige Benutzer finden werden, die sich gründlich mit den Grundlagen der Mathematik beschäftigt haben. Das ist aber offensichtlich nicht der Fall, sonst wären sie über den fundamentalen Fehler gestolpert, der hier von Digamma schon vor 8 Wochen hingeschrieben worden ist. Jedem Mathematiker sollte doch bekannt sein, daß sich leider eingebürgert hat, das Gleichheitszeichen in zwei verschiedenen Bedeutungen zu verwenden: zum einen als das Zeichen, durch das die Gleichheit der Ausdrücke behauptet wird, zwischen denen das Zeichen steht und zum anderen als Zuordnungszeichen, indem durch das Zeichen, einem mathematischen Ausdruck ein Wert zugeordnet wird. So ordnen wir etwa einer Variablen x verschiedene Werte zu, um ihnen über eine Funktion f(x) andere Werte zuzuordnen. Wer aber wollte uns der Zumutung aussetzen, zu behaupten, daß dies nicht erlaubt sein könne, weil die Zuordnungen von x = +3 und x = -3 zu der Folgerung führte, daß auch +3 = -3 sein müßte; denn schließlich gelte ja der Satz: Wenn zwei Größen einer dritten gleich sind, dann sind sie auch untereinander gleich. Dieser Satz gilt jedoch nur für die zuerst genannte Bedeutung des Gleichheitszeichens nicht aber für die zweite. Und das, was uns hier Digamma vorgeführt hat, ist genau so eine Zumutung, da er es unterschlägt darauf hinzuweisen, daß es sich bei seinem angegebenen Beispiel um die zuordnende Bedeutung des Gleichheitszeichens handelt; denn sobald wir Mehrdeutigkeiten mathematischer Ausdrücke zu beachten haben, werden diese zu Variablen, denen verschieden Werte zugewiesen werden können, ohne daß dies zu dem von Digamma behaupteten Widerspruch führt. Na denn alles Gute weiterhin vor allem zum kommenden Weihnachtsfest von Eurem Wolfgang Deppert 17:21, 18. Dez. 2007 (CET)

das hat sich ja mittlerweile zum glück totgelaufen. hier wurde ja mehrmals das schulargument gebracht, aber nochmal der vollständigkeit halber da ich das hier grad zufällig lese und das buch zur hand hab: das ist natürlich deppert ^^ im heuser, 15. auflage, seite 77 steht, dass mit ${\sqrt {a}}$ die positive lösung der quadratischen gleichung bezeichnet wird. anerkanntermaßen ein lehrbuch für den universitäten einsatz. --93.219.163.245 02:15, 10. Mär. 2010 (CET)

Um hier niemanden von der Deutschen Schulmathematik zu beleidigen, habe ich bisher damit hinterm Berg gehalten, daß es mit der völlig irrwitzigen positiven Definition des Wurzelzeichens um die letzten Zuckungen der Deutschen Mathematik handelt, die auch immer noch in Deutschen Mathematikbüchern vor allem in der Deutschen Schulmathematik ihre fröhliche Urständ feiert; denn das Deutsche, das muß doch positiv sein! Na denn Prost! Wann hört das denn nun endlich mal auf? -- Wolfgang Deppert 20:12, 16. Aug. 2011 (CEST)

Sapperlot! Sie hat es inzwischen sogar in englische Fachliteratur geschafft, so dass sogar die englische Wikipedia darüber berichtet und das Wurzelzeichen genauso definiert, wie wir hier in der toitschen WP! </zyn> --RokerHRO 23:42, 16. Aug. 2011 (CEST)

Diese Diskussion ist so öde und braucht daher nicht archiviert werden.

Solche gänzlich blödsinnigen Kommentare sind freilich extrem öde, und ich weiß nicht, was sich der Autor dabei gedacht hat. Jedenfalls ist mir das auch schon aufgefallen, daß Argumente der Deutschen Mathematik in England, freilich zu einem sehr kleinen Teil, aber überhaupt verfangen haben. Wahrscheinlich liegt es an dem international doch hoch geachteten Ludwig Bieberbach, von dem auch ich eine Menge in der Funktionentheorie gelernt habe, ohne zu der Zeit damals zu wissen, daß er einer der wesentlichen Begründer der Deutschen Mathematik gewesen ist. Wahrscheinlich ist er es sogar gewesen, der diesen Unfug der Eindeutigkeit des Wurzelzeichens überhaupt erst eingeführt hat. Aber nun ist doch wirklich genug damit: Das Wurzelzeichen bedeutet die Aufforderung, die Zahl zu suchen, die, durch die am Wurzelzeichen angeschriebene Potenz erhoben, gerade die Zahl unter dem Wurzelzeichen ergibt, und diese Zahl mit dem Wurzelausdruck gleichzusetzen. Die bei allen geraden Potenzen auftretenden Zweideutigkeiten waren für die Deutsche Mathematik eine "undeutsche Ungenauigkeit" oder gar "jüdische Ungenauigkeit" und mußte verschwinden. Und diesen Unsinn machen wir nun in der Schulmathematik immer weiter. Na denn Prost und gute Nacht! -- Wolfgang Deppert 01:48, 21. Aug. 2011 (CEST)

Bildbeschreibung fehlt bei [[Bild:Bsp_Quadratwurzel_C.png|right]]

Der Artikel enthält ein Bild, dem eine Bildbeschreibung fehlt, überprüfe bitte, ob es sinnvoll ist, diese zu ergänzen. Gerade für blinde Benutzer ist diese Information sehr wichtig. Wenn du dich auskennst, dann statte bitte das Bild mit einer aussagekräftigen Bildbeschreibung aus. Suche dazu nach der Textstelle [[Bild:Bsp_Quadratwurzel_C.png|right]] und ergänze sie.

Wenn du eine fehlende Bildbeschreibung ergänzen willst, kannst du im Zuge der Bearbeitung folgende Punkte prüfen:

• Namensraum Datei: Bilder sollte im Namensraum Datei liegen. Bitte ändere die alten Bezeichnungen Bild: und Image: in Datei:.
• Skalierung: Außerhalb von Infoboxen sollten keine festen Bildbreiten (zum Beispiel 100px) verwendet werden. Für den Fließtext im Artikelnamensraum gibt es Thumbnails in Verbindung mit der automatischen Skalierung. Um ein Bild/eine Grafik in besonderen Fällen dennoch größer oder kleiner darzustellen, kann der „upright“-Parameter verwendet werden. Damit erfolgt eine prozentuale Skalierung, die sich an den Benutzereinstellungen orientiert. --SpBot 00:30, 2. Mär. 2009 (CET)

Quadratwurzeln modulo n

Es fehlt der Schritt von der Berechnung von Quadratwurzeln modulo einer Primzahl p zu der Berechnung modulo einer Primpotenz $p^{n}$, wie er zur Berechnung von Quadratzahlen modulo einer beliebigen Zahl benötigt wird. (nicht signierter Beitrag von 212.218.8.48 (Diskussion | Beiträge) 14:52, 8. Apr. 2009 (CEST))

Ja, der Schritt fehlt. Ich denke, daß man z.B. mit dem p-adischen Newtonverfahren relativ schnell aus einer Lösung modulo p auf eine Lösung modulo p^n kommt. Das müßte aber noch ausformuliert werden, am besten in einer Form, die nicht die Einführung der p-adischen Zahlen erfordert. Das sollte möglich sein.--Karl Brodowsky 20:47, 16. Jan. 2012 (CET)

Den p-adischen Hammer brauch's nicht: Ist $x_{n}$ Quadratwurzel von $y$ mod $p^{n}$, dann haben Lösungen mod $p^{n+1}$ die Gestalt

$x_{n+1}=x_{n}+ap^{n}\,$

wobei für diese gilt:

$x_{n+1}^{2}=(x_{n}+ap^{n})^{2}=y+k_{n+1}p^{n+1}\,$

Nach Ausmultiplizieren ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung für $a$:

$k_{n}=2ax_{n}\mod p\qquad {\text{mit}}\quad k_{n}=(x_{n}^{2}-y)/p^{n}$

wobei die Division in Z geschieht. Im Verlauf sind einige Fallunterscheidungen abzuhandeln, etwa für den hier ausgesparten Fall $p=2$. --Georg-Johann 20:03, 21. Jan. 2012 (CET)

Ich denke, daß das p-adische Newtonverfahren sehr schnell konvergiert, man also $n$ um mehr als $1$ pro Schritt erhöhen kann. Man kann aber dessen Verarbeitungsschritte übernehmen und einfach modulo $p^{n}$ für hinreichend hohes $n$ durchführen und zeigen, daß das zum gewünschten Ergebnis führt. Die p-adische Theorie kann man also trotzdem ausklammern.--Karl Brodowsky 17:02, 22. Jan. 2012 (CET)

Also, das Newtonverfahren ist ja ganz einfach, man muß es ja nicht so nennen und für den Spezialfall der Quadratwurzel ist es ja unter anderem Namen schon vor Newton bekannt gewesen:

$x_{n}\equiv {\frac {{\frac {a}{x_{n-1}}}+x_{n-1}}{2}}\mathrm {mod} p^{m_{n}}$ wobei die Folge $(m_{n})$ geeignet gewählt werden sollte. Ich weiß nur noch, daß das p-adische-Newtonverfahren sehr rasant konvergieren soll, man kann also die Folge $(m_{n})$ auch entsprechend schnell wachsen lassen. Ich schaue mal, ob ich noch rausbekomme, wie genau, wenn es nicht jemand vor mir schreibt. --Karl Brodowsky 21:48, 24. Jan. 2012 (CET)

Quadratwurzeln modulo n (Lösung)

Ich denke, daß die Lösung jetzt funktioniert: Gegeben ist eine ganze Zahl $a$. Gesucht eine Zahl $x$ mit $x^{2}\,\equiv a\,\mod n$.

Wegen des chinesischen Restesatzes kann man n in Primzahlpotenzen faktorisieren und für jede Primzahlpotenz separat die Betrachtung machen. O.B.d.A. kann man also annehmen, daß $n=p^{s}$ eine Primzahlpotenz ist.

Wenn $a\equiv 0\mod n$ ist, dann ist $x=0$ bereits die Lösung und wir sind fertig, diesen Fall können wir also ausschließen. Wenn also nur $a\equiv 0\mod p$, dann kann man eine gerade Potenz von p aus a herausziehen, deren Quadratwurzel zu ziehen trivial ist. Wenn danach immer noch $a\equiv 0\mod p$ gilt, dann läßt sich keine Quadratwurzel modulo n ziehen, denn wenn $x$ eine solche wäre, dann wäre $x^{2}\equiv a\mod n$, also $x^{2}\equiv a\mod n$ nach der Definition einer Primzahl einer der beiden Faktoren des durch $p$ teilbaren Produkts $x\cdot x$ durch $p$ teilbar, also $x\equiv 0\mod p$, also $a\equiv 0modp^{2}$, was ein Widerspruch ist. Für $a$, in dem eine ungerade Potenz von $p$ steckt, gibt es also keine Quadratwurzel modulo n.

Wir können jetzt annehmen, daß $a\not \equiv 0\mod p$ ist. (Das gilt übrigens alles auch für $p=2$.)

Für $p\not =2$ kann mit dem quadratischen-Reste-Symbol geprüft werden, ob es eine Lösung $x_{0}$ mit $x_{0}^{2}\equiv a\mod p$ gibt. Genau dann läßt sich die Quadratwurzel modulo n ermitteln. Nun muß man eine Lösung $x_{0}$ finden, die modulo p stimmt.

Sei $\bigwedge _{m=0}^{\infty }q_{m}=p^{2^{m}}$ (Vereinfachung der Schreibweise im folgenden): Nun wiederholt man $x_{m+1}\equiv {\frac {{\frac {a}{x_{m}}}+x_{m}}{2}}\mod q_{m}$ solange, bis $q_{m}\geq n$. Da $a$ und $x_{m}$ und $2$ teilerfremd zu $p$ sind, kann die Division modulo Dann ist $x=x_{m+1}$ eine Lösung. Dafür muß man (z.B. durch vollständige Induktion) beweisen, daß $\bigwedge _{m=0}^{\infty }x_{m}^{2}\equiv a\mod q_{m}$ gilt. Für $m=0$ gilt das, denn wir haben $x_{0}$ so gewählt.

Wenn es für ein beliebiges $m$ gilt, dann ist also für eine gemäß Hensel-Lemma vorhandene Lösung $x$ mit $x^{2}\equiv amodp^{N}$ für ein $N$ das beliebig groß, also größer als $s$ ist, $x_{m}=x+r_{m}q_{m}$ für ein ganzzahliges $r_{m}$. Nun gilt $x_{m+1}\equiv {\frac {{\frac {a}{x_{m}}}+x_{m}}{2}}\equiv {\frac {{\frac {a}{x+r_{m}q_{m}}}+x+r_{m}q_{m}}{2}}\equiv {\frac {{\frac {a(x-r_{m}q_{m}}{x^{2}-r_{m}^{2}q_{m}^{2}}}+x+r_{m}q_{m}}{2}}\mod q_{m+1}$, wobei gemäß der dritten binomischen Formel erweitert wurde. Nun gilt aber $q_{m}^{2}\equiv 0\mod q_{m+1}$ und $x^{2}\equiv a\mod q_{m+1}$ und damit $x_{m+1}\equiv {\frac {{\frac {a(x-r_{m}q_{m})}{x^{2}-r_{m}^{2}q_{m}^{2}}}+x+r_{m}q_{m}}{2}}\equiv {\frac {{\frac {a(x-r_{m}q_{m})}{a}}+x+r_{m}q_{m}}{2}}\equiv {\frac {(x-r_{m}q_{m})+(x+r_{m}q_{m})}{2}}\equiv x\mod q_{m+1}$

q.e.d.

Für $p=2$ hat man die Situation, daß $x^{2}\equiv x\mod 2$ für alle $x$. Damit ist für $n=2$ bereits $x=a$ die Lösung. Für höhere 2er-Potenzen muß man und eine Lösung $x_{0}$ mit $x_{0}^{2}\equiv a\mod 4$ finden. Hier verläuft der Beweis analog, man muß aber die $q_{m}$ anders wählen, weil die Division durch $2$ jeweils die 2er-Potenz, modulo der die Kongruenz gilt, um eins niedriger ausfallen läßt, aber wir mit $q_{0}=4=2^{2^{0}+1}$ beginnen: $\bigwedge _{m=0}^{\infty }q_{m}=2^{2^{m}+1}$

Wenn niemand etwas dagegen hat, würde ich vorschlagen, das sinngemäß so in den Artikel zu übernehmen. --Karl Brodowsky 20:46, 25. Jan. 2012 (CET)

Schon die erste Zeile ist nicht korrekt: So hat x² = 0 mod 25 nicht nur 0 als Lösung, sondern auch 5, 10, 15, und 20. Den Rest der Überlegungen habe ich nicht weiterverfolgt, sieht aber nicht wirklich sortiert oder einfacher aus als mein Vorschlag. Für einen enzyklopädischen Artikel finde ich eine so längliche Ausarbeitung nicht passend, und auch das von mir vorgeschlagene Verfahren würde den Artikel mit technischen Kleinigkeiten aufblähen ohne wirklich wissenswertes beizutragen. Es ist ja weder Mathebuch oder Algorithmenkompendium... Um dem Artikel genüge zu tun, genügt es meiner Ansicht nach, den Lösungsweg zu skizzieren:

1. Zerlege n in seine Primfaktoren
2. Bestimme die Lösung(en) für jeden dieser Primfaktoren
3. Anmerkung, daß aus Lösungen mod p^k Lösungen mod p^{k+1} erhalten werden können
4. Zusammensetzen der Lösungen mit dem Chinesichen Restsatz zu Lösungen mod n. Natürlich nur dann, wenn sie alle existieren.

Georg-Johann 21:49, 26. Jan. 2012 (CET)

Wir reden hier über über den Restklassenring $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ und in dem sind 0, 5, 10, 15,... dieselbe Restklasse modulo 5, in dem Sinne ist es modulo n also schon eine eindeutige Lösung. Ich denke auch, daß in diesem Artikel die Überlegungen zu ausführlich sind und daß sie in einen eigenen Artikel gehören. Hier reicht die Skizze.--Karl Brodowsky 00:52, 27. Jan. 2012 (CET)

Hauptzweig von Wurzel(z) -- obere oder rechte Halbebene?

Man sollte im Artikel noch betonen, dass der Hauptwert einer komplexen Zahl sich von Nation zu Nation unterscheidet. Gemäß WIKI weist der Hauptwert (das ist eine wohldefinierte Zahl) von Wurzel(-2*I) in verschiedenen Ländern verschieden Werte auf :

• England, Frankreich, Portugal : Wurzel(-2*i) HW= 1-i
• Deutschland, Ungarn : Wurzel(-2*i) HW= -1+i
• Italien, Holland : Mehrdeutig

Deutschland und Ungarn nehmen hier eine Sonderstellung ein, weil sie das Vorzeichen des Realteils aus dem Signum des Imaginärteils bestimmen. MfG --79.220.195.254 04:07, 19. Jun. 2011 (CEST)

Zwei Fragen dazu:

1. Auf welche Quellen berufst du dich? Auf die jeweilige Wikipedia? Die muss nicht unbedingt einen nationalen Konsens widergeben, sondern vielleicht nur die Position des Autors (oder der von ihm benutzten Quelle).
2. Hängt das nicht einfach jeweils davon ab, wie man den Hauptwert des Arguments bzw. des Logarithmus definiert? Ist das in deinen Quellen jeweils konsistent?

-- Digamma 16:11, 19. Jun. 2011 (CEST)

zu 1)

In den Wiki-Einträgen der meisten Länder wird für den Hauptwert von Wurzel(z) die Konvention verwendet, wie sie sich im Taschenbuch der Mathematik von Bronstein vorfindet. Dabei bewegt sich die Argumentfunktion arg(z) im Intervall [-Pi..Pi]. So ist die Argumentfunktion auch im deutschen Wiki Beitrag zu komplexen Zahlen festgelegt. Dies impliziert, dass in der Gleichung Wurzel(z^2)=csgn(z)*z fuer die csgn-Funktion der Realteil von z verwendet wird. Oder

A)

(H) Wurzel(x+i*y)=Wurzel((|z|+x)/2)+signum(y)*i*Wurzel((|z|-x)/2)

(England,Frankreich,Spanien,Portugal,Programm Maple,Googel Rechner...)

Aus der Definition auf dieser Seite :

B)

(H) Wurzel(x+i*y)=signum(y)*Wurzel((|z|+x)/2)+i*Wurzel((|z|-x)/2)

folgt dagegen, dass fuer die csgn-Funktion der Imaginärteil von z verwendet wird d.h. dass fuer arg(z) die Winkel [0..2*Pi) verwendet werden. Es ist eindeutig, dass der deutsche Wiki-Hauptwert sich vom englischen Wiki-Hauptwert unterscheidet. Wiki nimmt somit an : 1=-1 Dazu steht die in diesem Beitrag verwendete Argumentfunktion im Widerspruch zu der Argumentfunktion des Eintrags "komplexe Zahlen"

zu 2)

Ja, der Hauptwert hängt von der Definition des "Hauptwertwinkels" phi0, dem "kleinsten" Winkel im komplexen ln(z) ab. Über Gleichung A) und B) ist eindeutig festgelegt, dass hier zwei verschiedene Winkel phi0 verwendet werden. Ich meine es reicht leider nicht Gleichung B zu ändern, da weitere Teile des Artikels sich auf diese beziehen.

etwas ratlos MfG --79.220.201.35 21:03, 19. Jun. 2011 (CEST)

Noch eine Anmerkung:

Die komplexen Zahlen führen zum Hauptsatz der Algebra. Es findet sich öfters die Aussage, dass die n-te Wurzel(z0) im Komplexen als Lösung der Gleichung z^n=z0 aufgefasst werden soll. So wie dies in der obigen Diskussion schon im Reellen angenommen wurde. Dass Wurzel(4) zwei Zahlen repräsentiert. Dann hätte die Gleichung x-Wurzel(4)=0 also ein Polynom vom Grad eins zwei Lösungen. Und damit wäre auf einfache Weise der Hauptsatz der Algebra widerlegt :-)

MFG --79.220.201.35 21:36, 19. Jun. 2011 (CEST)

Es gibt keine komplexe Wurzelfunktion, die eindeutig definierbar wäre, also ist der letzte Punkt ein Strohmann. Was wäre denn Wurzel(-4)? Gibt es Zitate für Formel B außerhalb der Wikipedia? Sieht nach selbst ausgerechnet aus. Die allgemeine Konvention für den Fall, dass man die komplexe Quadratwurzel doch als Funktion braucht, z.B. als Computerprozedur csqrt, ist, dass die Lösung mit positivem Realteil verwendet wird, und wenn dieser Null ist, dann die mit positivem Imaginärteil.--LutzL 09:45, 20. Jun. 2011 (CEST)

Und ja, die ober Halbebene als Hauptzweig ist sehr ungewöhnlich. Wenn sich dazu keine (moderne, zitierfähige) Literatur findet, sollte dieser Abschnitt in nächster Zeit auf die rechte Halbebene geändert werden. Es ist auch von der Funktionentheorie her sinnvoll, dass der Hauptzweig eine offene Umgebung der 1 enthält.--LutzL 09:59, 20. Jun. 2011 (CEST)

Hi LutzL Es gibt auch keine Wurzelfunktion, die im Reellen eindutig definierbar wäre. Es muss aber ein Wurzelsymbol geben, dass eindeutig definiert ist. Die Gleichung x^2-x0=0 hat genau zwei Lösungen und die Gleichung x=Wurzel(x0) hat genau eine Lösung! Und wenn ich beide Lösungen betrachten möchte, dann muss ich dies kennzeichnen: x12=(+ -)Wurzel(x0). In einem Algebraprogramm wäre x nun ein Vektor! Man kann eine Variable, Speicherzelle nicht mehrdeutig mit zwei Werten belegen. Es wurde doch in der Diskussion hier schon dargestellt, dass kein Mathematiker schreiben würde Wurzel(1)=-1 sondern Wurzel(1)=1. Weil die Bedeutung des Wurzelsymbols eindeutig (leider nur im Reellen) als (H) Wurzel() festgelegt wurde. Und der Hauptwert als positive Lösung. Darüber gibt es keinerlei Diskussion, denn ansonsten wäre der Hauptsatz der Algebra verletzt. Es gab bei dieser Festlegung zwar die Freiheit welchen Hauptwert man für das Wurzelzeichen verwendet, aber es gibt wegen dem Hauptsatz der Algebra keinerlei Freiheit darin, dass dies festgelegt werden muss und symbolisch gekennzeichnet werden muss. Aber natürlich in solch einer Form, dass dies trotz Erweiterung der reellen Zahlen z.B. im Schulunterricht verständlich bleibt. Leider hat man hier einen schlechten, zweideutigen Weg bestritten. Man schreibt dem Wurzelsymbol im Reellen und Komplexen zweierlei Bedeutungen zu. Gemäß der Definition steht es hier tatsächlich für alle Lösungen, die man bei einer n-ten Wurzel auch gar nicht speziell am Symbol kennzeichnen kann. Stattdessen kennzeichnet man den Hauptwert zum Beispiel mit dem Zusatz (H)Wurzel() und ohne diesen Zusatz, mit Wurzel(),sollen alle Lösungen gemeint sein. Im krassen Widerspruch zum Reellen. Dort macht es jeder Schüler richtig, indem er die mehrdeutige Lösung mit (+-) kennzeichnet. Und man hätte dies nur übernehmen müssen und für alle Lösungen einer n-ten Wurzel ein spezielles Zeichen einfuehren müssen. Z.B. (~) oder etwas ähnliches.

Nochmal :

Es steht frei welches Winkelargument ich für die Definition des Hauptwertes verwende. Es steht aber nicht frei, dass ein eindeutiger Hauptwert definiert werden muss! Es muss ein wohldefinierter Hauptwert existieren, ansonsten ist der Hauptsatz der Algebra hinfällig. Und wenn Wiki England schreibt = (H) Wurzel(1)=1 und Wiki Deutschland (H) Wurzel(1)=-1 dann ist eine der beiden Aussagen eindeutig falsch. Und unter diesem Aspekt ist der deutsche Wiki Eintrag schlichtweg falsch.

MfG -- Richardon 15:53, 20. Jun. 2011 (CEST)

Nochmals zusammengefasst :

**************************

Die missglückte Symbolkonvention :

• Wurzel() steht im Reellen für den Hauptwert

• Wurzel() steht im Komplexen für alle Lösungen

• +- Wurzel() steht im Reellen für beide Lösungen

• (H) Wurzel() steht im Komplexen für den Hauptwert

Wenn man unter dieser Konvention die Wiki Einträge zu komplexen Zahlen und Funktionen überprüfen würde, wäre sicherlich jeder fehlerhaft. -- Richardon 16:09, 20. Jun. 2011 (CEST)

***********************

Hi Richardon, nimm' Dir bitte ein nettes Analysis-I-Buch und ein Buch zur Funktionentheorie. Die reelle Wurzelfunktion ist sehr wohl eindeutig definiert, auf dem positiven Halbstrahl mit positiven Werten (und Null). Und nur in diesem Fall wird das Wurzelsymbol(korrekterweise) verwendet. Das heißt, das Wurzelsymbol ist für komplexe Zahlen überhaupt nicht definiert und wird, außer fälschlich bei Anfängern, nicht mit komplexen Zahlen verwendet. Auch nicht auf dem Hauptzweig. ${\sqrt {1-i}}$ ist ein Fehler, den man wohlwollend als eine der Lösungen von $z^{2}=1-i$ interpretieren kann, aber nicht muss.

Nochmals: Die einzig diskutierwürdige Frage ist, welche Halbebene üblicherweise genommen wird, all Deine anderen Einwände sind keine (1=-1) bzw. haben nichts mit dem Thema zu tun (Fundamentalsatz der Algebra).--LutzL 18:01, 20. Jun. 2011 (CEST)

Hi LutzL

> nimm' Dir bitte ein nettes Analysis-I-Buch

Ich hab auf deinen Rat hin mal im Taschenbuch der Mathematik von Bronstein, (Semendjajew) (22.Auflage, Hauptband) nachgeschaut und nehme zur Kenntnis dass du Herrn Bronstein als einen Anfaenger der Mathematik betrachtest. Im Kapitel Komplexe Zahlen, Funktionen S.510 findet sich als Beispiel der Ausdruck dritte Wurzel(8*i). Und natuerlich nicht nur auf dieser Seite wird im Bronstein diese Schreibweise verwendet. Und mit dieser Schreibweise sind alle Wurzeln gemeint, da im Komplexen eine Wurzel stets ueber ein Polynom definiert ist. Darueber sind wir uns ja einig. Dagegen wird der Hauptwert von Herrn Bronstein, dem Anfaenger :-), mit dem Symbol (H) gekennzeichnet. Die von dir und auch von mir zu recht bemaengelte Schreibweise wird auch bei WIKI verwendet und wir werden daran nichts aendern koennen. Also bleibt der Diskussionspunkt, ob es fuer ein Polynom z^2-z0=0 einen eindeutig definierten, festgelegten Hauptwert gibt. Ob bei einer Quadratur die obere Halbebene auf die untere Halbebene abgebildet wird oder die linke Halbebene auf die rechte. Ich wollte lediglich nochmals darauf hinweisen, dass diese Fragestellung aehnlich der Fragestellung ist ob man im Reellen ueberhaupt einen Hauptwert fuer Wurzel(x) festlegen soll. Oder ob in England gilt Wurzel(1)=1 und in Deutschland Wurzel(1)=-1. (Wobei dies im speziellen Fall nicht die Konsequenz waere) Wenn man das Algebraprogramm MAPLE als Standard betrachtet, da es weltweit fuer Berechnungen verwendet wird, so meine ich, dass die Argumentfunktion -Pi<phi<Pi verwendet wird (Rechte Halbebene). Andernfalls muesste man auch diesen englischen WIKI Artikel aendern in dem festgelegt wird, dass csgn(a+i*b) das Vorzeichen fuer a<>0 aus dem Vorzeichen des Realteils auswertet. http://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function Eine internationale Einigung auch fuer csgn(z) waere wuenschenswert.

BTW: Den Ausdruck "Nationalwuzel" fand ich recht huebsch :-)

-- Richardon 19:06, 20. Jun. 2011 (CEST) (19:33, 20. Jun. 2011 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Bronstein ist kein Lehrbuch Analysis I, sondern ein erweitertes Tafelwerk zwischen Abitur-Ingenieurwissen und Mathe/Informatik-Bachelor. Und bitte werde konstruktiv: Du hast, IMO zu Recht, die hiesige Wahl des Hauptzweiges bemängelt (es wird übrigens eine geschlitzte komplexe Ebene auf eine Halbebene abgebildet.) Und behauptet, es wäre eine deutsch-ungarische Eigenart. Für letztere Behauptung hat Digamma oben nach (wiki-externen) Belegen gefragt. Gibt es solche, so müsste der Artikel das reflektieren. Gibt es solche nicht, so kann er einfach an den international und auch in deutschsprachigen Quellen üblichen Standard angepasst werden. Also?--LutzL 20:55, 20. Jun. 2011 (CEST)

Ok, jetzt verstehe ich in etwa Digamma's Frage. Natuerlich gibt es keinen typisch deutsch ungarischen Hauptwert einer komplexen Wurzel. Solange man nicht bei Wiki nachschlaegt. Ich meine, dass es jedoch in der Praxis ueblich ist, die Argumetfunktion im Interval [-Pi...Pi] zu verwenden. Also nicht die Angabe wie sie hier verwendet wird. Wenn ich nochmals den Bronstein 22.Auflage zitieren darf :

[Quote]

Als Argument der komplexen Zahl a=alpha+i*beta bezeichnet man die Menge arg(a) der Winkel phi (in Bogenmaß) die der Ortsvektor OA=(alpha, beta) mit der positiven Richtung der reellen Achse einschließt.

Um aus arg(a) den Hauptwert phi0= (H) arg(a) herausgreifen zu koennen, setzt man haeufig phi=phi0 + 2*k*Pi mit -Pi< phi0 <= Pi

[/Quote]

Das ist keine eindeutige Aussage. Ich habe gerade bei einem Kollegen nachgefragt wie die neue Bronsteinausgabe dies formuliert. Ansonsten bin ich ueberfragt, welche uebergeordnete Stelle fuer globale mathematische Konventionen zustaendig ist. Wer hat zum Beispiel die Konvention Wurzel(1)=1 festgelegt ? Wenn keine eindeutige Konvention fuer den Hauptwert existiert, dann wuerden die Wiki Seiten willkuerliche Konventionen, Definitionen verwenden. Ausgenommen z.B Italien , Holland ... Dies muesste entsprechend gekennzeichnet sein. Gruesse -- Richardon 23:54, 20. Jun. 2011 (CEST)

Signumfunktion unsachgemäß verwendet

Dass die verwendete Schreibweise

(H) Wurzel(x+i*y)=signum(y)*Wurzel((|z|+x)/2)+i*Wurzel((|z|-x)/2)

ungenügend ist, ist offensichtlich :

signum(0)=0

Und limes(signum(y),y->0)=nicht definiert.

Selbiger Fehler tritt in der englischen Version beim Imaginärteil auf.

(H) Wurzel(x+i*y)=Wurzel((|z|+x)/2)+-i*Wurzel((|z|-x)/2)

where the sign of the imaginary part of the root is taken to be same as the sign of the imaginary part of the original number ...

Lediglich im französischen Wiki war man nicht umsonst präziser :

où le signe de la partie imaginaire de la racine est

si b <> 0 : le signe de b

si b = 0 et a < 0 : le signe +

si b = 0 et a >= 0 : pas de signe (le nombre est nul).

BTW: Wie kann man hier Zitate kennzeichen ?

Unter "dem Bronstein" verstehe ich übrigens den Hauptband für Ingenieure. Mit immerhin 900 Seiten. Nicht nur Tafelwerk. -- Richardon 00:57, 21. Jun. 2011 (CEST) (01:37, 21. Jun. 2011 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Irgendwo hier und auf dem Matheplaneten habe ich schonmal geschrieben

${\sqrt {x+iy}}=\pm \left({\sqrt {\frac {|z|+x}{2}}}+i\cdot {\text{sign}}^{+}(y)\cdot {\sqrt {\frac {|z|-x}{2}}}\right)$

mit

${\text{sign}}^{+}(y)={\begin{cases}+1&{\text{ bei }}y\geq 0\\-1&{\text{ bei }}y<0\end{cases}}$

sollte eigentlich Allgemeinwissen unter Mathematikern sein.--LutzL 08:03, 21. Jun. 2011 (CEST)

Hi Lutz Das Wurzelzeichen impliziert im Komplexen, dass Haupt und Nebenwert angegeben werden. Ok. Hauptwert : positives Vorzeichen Nebenwert : negatives Vorzeichen

Ja, das waere eine recht elegante deutlich gekennzeichnete Schreibweise. Man sollte noch vermerken, dass es sich um eine spezielle Angabe handelt, die stets die rechte Halbebene fuer den Hauptwert verwendet und damit die Argumentfunktion im Intervall [-Pi..Pi]. EDIT : Welchen Vorteil bietet diese Schreibweise eigentlich gegenueber der gaußschen Schreibweise ? Anmerkung : Das bevorzugte Verwenden des Intervalls [-Pi..Pi] laesst sich vielleicht auch so erklaeren, dass die Ingenieure fuer die Berechnung von arg(z) die Polarkoordinatenfunktionen auf dem Taschenrechner verwendet haben. MfG -- Richardon 17:40, 21. Jun. 2011 (CEST)

Gibt es denn eine eindeutige Konvention für das Intervall, in dem der Winkel bei Polarkoordinaten läuft? In dem entsprechenden Wikipedia-Artikel steht (eher implizit), dass der Winkel von 0 bis 360° läuft. -- Digamma 20:35, 21. Jun. 2011 (CEST)

Hi Digamma In Polarkoordinaten scheinen ebenfalls zwei Argumentfunktionen zu existieren. Im Mathematik-Handbuch für Technik und Naturwissenschaft. ISBN=3-87144-149-X ist fuer die komplexe Wurzel eindeutig die Argumentfunktion [-Pi..Pi]angegeben. Das ist wohl die Vereinbarung im Anwendungsbereich. MfG -- Richardon 21:50, 21. Jun. 2011 (CEST)

BTW: Aendert man in der Gleichung von Lutz das Vorzeichen von plus/ minus nach minus/plus erhaelt man ueberigends nicht die Version mit arg[z]=[0..2*Pi].In seiner Version waere das Vorzeichen des Ergebnisses dann stets negativ. In der Version 0..2*Pi ist es in der oberen Halbebene poitiv und in der unteren Halbebene negativ. Am einfachsten und saubersten waere es beide Versionen anzuschreiben mit dem Hinweis welcher arg(z) Funktion sie entsprechen. Das waere ja nur eine Gleichung mehr. (nicht signierter Beitrag von Richardon (Diskussion | Beiträge) 01:23, 22. Jun. 2011 (CEST))

MFG -- Richardon 22:52, 21. Jun. 2011 (CEST)

"Die Quadratwurzel... ist die nicht negative Zahl"

Das habe ich Mitte der 90er im Mathe-Leistungskurs anders gelernt. Bei uns war die Quadratwurzel das Gegenteil vom Quadrat und hatte halt 2 Ergebnisse. Leider fehlen hier jegliche Quellenangaben. Dass der negative Wert ignoriert werden soll, ist also ersteinmal nur die Meinung der Autoren. --217.231.4.157 10:31, 24. Jan. 2013 (CET)

Hi! Nein, da hat möglicherweise Deine heutige Erinnerung das vor zwanzig Jahren Gehörte nicht ganz exakt reproduziert. Vielleicht verwechselst Du einfach nur das, was Du jetzt „die Quadratwurzel“ nennst, mit dem, was damals „eine (beliebige) Lösung x der Gleichung x²=a“ genannt wurde? Wenn nicht, dann hättet Ihr eben eine Definition verwendet, die allen (auch damals schon seit langer Zeit bestehenden) Konventionen in dieser Frage entgegengesetzt war, aber ich kann das kaum glauben: Zur definitiven Beurteilung bräuchte man natürlich exaktere Aussagen (die Du evtl. Deinen damaligen Mitschriften und/oder Schulbüchern entnehmen könntest), weil es in dieser Frage auf jedes Wort ankommt. Für das hier im Artikel zu Schreibende wäre es aber ohnehin nicht relevant, weil es sich nur um eine (mit absoluter Sicherheit nur ganz seltenen auftretende) Abweichung vom Üblichen handelte.

Die hier zur Diskussion stehende Konvention hinsichtlich der Bedeutung des Wurzelzeichens ist tatsächlich seit langem so fest in der ganzen Mathematikerwelt verwurzelt, daß es hierfür kaum einer Bequellung bedarf. Du kannst aber ein beliebiges Schulbuch Deiner Wahl (solange es nicht älter als - sagen wir mal - hundert Jahre ist) aufschlagen, ebenso jedes Uniskriptum und jedes Analysisbuch (sofern nur diese Frage dort überhaupt behandelt wird). Ich könnte Dir alleine aus meinem Bücherregal Dutzende Stellen heraussuchen, aber vielleicht machen wir es der Einfachheit halber umgekehrt: Kannst Du denn (abgesehen von Deiner Erinnerung an die Schulzeit) irgendeinen Beleg für Deine Variante angeben? Wenn Du Recht hättest, müßte dies ja (insbesondere unter Verwendung des Internets) ein Leichtes sein. Liebe Grüße, Franz (Diskussion) 12:00, 24. Jan. 2013 (CET)

@217.231.4.157 schreibt:

»Bei uns war die Quadratwurzel das Gegenteil vom Quadrat und hatte halt 2 Ergebnisse.«

Das entspricht nicht der üblichen mathematischen Betrachtungsweise. Das, was Du meinst, sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung. Beispielsweise hat die quadratische Gleichung x² = 16 zwei Lösungen, nämlich 4 und –4. Aber die Quadratwurzel von 16, das heißt √(16), ist 4. Nur 4, nicht 4 oder –4. Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist immer eindeutig. Genauer: Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist ein Betrag. Definition:

√(x²) = |x|

Du kannst die Lösungen der quadratischen Gleichung beispielsweise wie folgt ausrechnen (mit Zeilennummern):

(1) x² = 16      | √
(2) |x| = 4
(3) x₁ = 4
(4) x₂ = –4

Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist hier ausschließlich in Zeile (2) zu sehen. Die Zeilen (3) und (4) zeigen die Lösungen der quadratischen Gleichung. Das ist ein Unterschied.

Im Kopf der Seite des vorliegenden Artikels ist eine Abbildung der Quadratwurzelfunktion zu sehen. Bitte schau sie Dir an.

Viele Grüße -- Jake2042 (Diskussion) 00:03, 25. Aug. 2024 (CEST)

Analysisskript TU Berlin S. 11 --Karl Brodowsky (Diskussion) 12:03, 24. Jan. 2013 (CET)

Die vom vorigen Diskussionsteilnehmer genannnte PDF-Datei ist eine von vielen Quellen, die die Definition der Quadratwurzel für reelle Zahlen angibt. Für komplexe und p-adische Zahlen bleibt aber das Eindeutigkeitsproblem bestehen, weil sich dort keine so elegante und universell akzeptierte Lösung finden läßt.--Bk1 168 (D) 17:10, 24. Jan. 2013 (CET)

Ich kann in dem PDF auch nichts finden, das unserer Wurzeldefinition widerspricht. Der Thread-Eröffner bleibt also weiterhin dem Beweis des Gegenteils schuldig. --RokerHRO (Diskussion) 17:39, 24. Jan. 2013 (CET)

Nein! Wir sollten alle dem IP-Benutzer danken, dass er uns darauf hingewiesen hat, dass der ganze Artikel unbelegt ist. Wenn sich manche Aussagen leicht bequellen lassen, weil sie in jedem Analysisbuch stehen: umso besser, dann geben wir doch eines im Literaturabschnitt an! Das eigentliche Problem ist aber, dass es im Artikel jede Menge Behauptungen gibt, von denen sogar ich als ausgebildeter Mathematiker noch nie im Leben gehört habe. -- HilberTraum (Diskussion) 20:26, 24. Jan. 2013 (CET)

Für Zahlkörper oder sogar Ringe, die sich in die reellen Zahlen einbetten lassen, funktioniert die Definition der Wurzel als postive Lösung dieser quadratischen Gleichung. Aber schon bei den komplexen Zahlen muß man sich im Einzelfall festlegen, wie man die Wurzel definiert. Wie schon gesagt wurde, ist auf S. 11 in dem zitierten Analysskript die Quadratwurzel für relle Zahlen >=0 definiert und zwar so, daß sie selber >= 0 ist. --Karl Brodowsky (Diskussion) 23:33, 24. Jan. 2013 (CET)

Kettenbruchdarstellung einer Quadratwurzel

Dem Abschnitt Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen könnte man die Kettenbruchdarstellung einer beliebigen Quadratwurzel hinzufügen:

Gegeben sei eine Gleichung der Form

$x=2+{\cfrac {z}{x}}\qquad (1)$

Dabei seien $x$ und $z$ reelle Zahlen, die so gewählt werden, dass diese Gleichung erfüllt ist. Es existieren unendlich viele Lösungen.

Die Variable $x$ im Nenner des Bruches kann durch den Term für $x$, entsprechend der Gleichung, ersetzt werden:

$x=2+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {z}{x}}}}$

Die fortlaufende Wiederholung dieses Einsetzens führt zu dem Kettenbruch

$x=2+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}$

Durch Multiplikation mit $x$ wird Gleichung (1) in die Normalform der quadratischen Gleichung (siehe pq-Formel) umgeformt:

$x=2+{\cfrac {z}{x}}\qquad \Leftrightarrow \qquad x^{2}=2x+z\qquad \Leftrightarrow \qquad x^{2}-2x-z=0\!$

Mit der pq-Formel ergeben sich die folgenden Lösungen (bewiesen ist damit auch die unendliche Zahl an Lösungen):

$x_{1}=1+{\sqrt {1+z}}\qquad \lor \qquad x_{2}=1-{\sqrt {1+z}}$

Die mit der pq-Formel erhaltene Lösung für $x$ und die Kettenbruchentwicklung für $x$ sind beide Repräsentanten der Variable $x$ und können deshalb gleichgesetzt werden:

$1+{\sqrt {1+z}}\qquad =\qquad 2+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {z}{\ddots }}}}}}}}$

An dieser Stelle wurde nur die Teillösung $x_{1}$ betrachtet. Subtraktion der Gleichung mit 1 und die Substitution $z=x-1$ führt schließlich zur Kettenbruchdarstellung einer beliebigen Quadratwurzel:

${\sqrt {x}}=1+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{\ddots }}}}}}}}$

Führt man diegleichen Rechenschritte mit der Teillösung $x_{2}$ durch, ergibt sich ein Kettenbruch, der den Wert einer Quadratwurzel, multipliziert mit $-1$, wiedergibt (z.B. -1,4142 statt +1,4142). Da aber definitionsgemäß der Wert einer Quadratwurzel immer größer oder gleich Null ist, wurde nur die Teillösung $x_{1}$ betrachtet.

Beispiel mit x=7:

${\sqrt {7}}\approx 1+{\cfrac {6}{2+{\cfrac {6}{2+{\cfrac {6}{2+{\cfrac {6}{2}}}}}}}}={\cfrac {79}{31}}\approx 2,5484\qquad ({\sqrt {7}}=2,6457513....)$

Literaturquellen habe ich nicht, weil ich diese Kettenbruchdarstellung selbst entwickelt habe. Kann man diesen Abschnitt hinzufügen, vielleicht in verkürzter Form? Oder ist das viel zu speziell und zu ausführlich? (nicht signierter Beitrag von 77.20.152.150 (Diskussion) 11:57, 17. Aug. 2015 (CEST))

Für diesen Artikel ist das sicherlich zu ausführlich. Gegebenenfalls kann man die vorletzte Formel ${\sqrt {x}}=\ldots$ in den Abschnitt "Berechnung von Quadratwurzeln aus reellen Zahlen" aufnehmen. Voraussetzung dafür ist allerdings die Angabe einer Literaturquelle, ansonsten handelt es sich um Theoriefindung. Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass das Verfahren bekannt ist. Versuche es doch mal bei Google Books, da sind viele ältere Werke im Volltext verfügbar. Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:31, 17. Aug. 2015 (CEST)

Quadratwurzel als Kettenbruch

Eine zweite Variante, die noch simpler ist:

Gegeben sei eine Zahl z aus der Menge der positiven, reellen Zahlen. Dann gilt:

$z-1=(z-1){\cfrac {z+1}{z+1}}={\cfrac {z^{2}-1}{z+1}}={\cfrac {z^{2}-1}{2+z-1}}$, also: $z-1={\cfrac {z^{2}-1}{2+z-1}}$

Im Nenner des Bruches steht der Ausdruck $z-1$. Dieser wird ersetzt durch den Ausdruck, die uns die eben entwickelte Gleichung geliefert hat:

$z-1={\cfrac {z^{2}-1}{2+z-1}}={\cfrac {z^{2}-1}{2+{\cfrac {z^{2}-1}{2+z-1}}}}$

Das Ersetzen von $z-1$ durch diesen Ausdruck kann unendlich oft wiederholt werden:

$z-1={\cfrac {z^{2}-1}{2+{\cfrac {z^{2}-1}{2+{\cfrac {z^{2}-1}{2+{\cfrac {z^{2}-1}{\ddots }}}}}}}}$

Die Substitution $z^{2}=x$ bzw. $z={\sqrt {x}}$ mit $x,z\geq 0$ und addieren mit 1 führt zu

${\sqrt {x}}=1+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{\ddots }}}}}}}}$

Leider habe ich keine Literaturquellen gefunden. Es gibt sehr alte Werke, die Quadratwurzeln als Kettenbrüche darstellen, allerdings konnte ich meinen Rechenweg in genau dieser Form nicht finden. Trotzdem kann wohl niemand an der mathematischen Korrektheit dieser Rechnung zweifeln. Da Wikipedia ausschließlich Wissen aus belegbaren Quellen enthalten soll, werde ich natürlich weitersuchen.

Freundliche Grüße (nicht signierter Beitrag von 77.20.10.217 (Diskussion) 13:25, 21. Feb. 2016 (CET))

Quadratwurzel ist nicht square root sondern principal square root

Im ersten Satz, der den Begriff »Quadratwurzel« definiert, steht in Klammern: englisch square root. Das ist nicht richtig. Auf Englisch sind mit »square root« die »roots of a quadratic equation« gemeint. Das heißt, auf Englisch wäre der folgende Satz richtig: »The square root of 16 is ±4.« Das gilt natürlich nicht für die Quadratwurzel. Die Quadratwurzel von 16 ist 4. Nur 4, nicht 4 oder –4. Der englische Ausdruck »square root of 16« bezieht sich auf die »roots« (im Sinne von Lösungen) der Gleichung x² = 16. Der deutsche Ausdruck »Quadratwurzel von 16« bezieht sich auf die Rechenoperation mit dem Wurzelzeichen, das heißt auf √(16).

Das, was auf Deutsch »Quadratwurzel« genannt wird, heißt auf Englisch »principal square root«. Siehe dazu auch das folgende Video:

https://youtube.com/shorts/46QLVp_8e0g?si=tCpyI63sFY9gZ7-U

Viele Grüße -- Jake2042 (Diskussion) 01:33, 25. Aug. 2024 (CEST) --Jake2042 (Diskussion) 01:33, 25. Aug. 2024 (CEST)