Diskussion:Quadratische Gleichung

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Mitternachtsformel

Im Artikel wird eine abenteuerliche Geschichte über die Entstehung des Namens "Mitternachtsformel" behauptet, die nicht belegt wird und für die sich auch sonst keine Quellen finden. Es ist nicht seriös, sich auf irgendwelche Zeugen zu berufen, ohne Belege beizubringen. In einer früheren Version las ich hier sogar, Schweizer sei der "Erfinder" oder "Entdecker" der Formel. Welch ein Unsinn! Leonhard Euler erwähnt die beiden Lösungsformeln schon im 18. Jahrhundert in seinem Algebra-Lehrbuch, ohne allerdings diesen sonderbaren Namen zu verwenden. Hingegen verwendet er bereits die heute üblichen Parameterbezeichnungen p, q, a, b und c. Wieso taucht im Artikel eigentlich nicht analog zu "p-q-Formel" die ebenso übliche Bezeichnung "abc-Formel" für die "Mitternachtsformel" auf? Im übrigen wird ganz oben die "allgemeine Form" ax²+bx+c=0 genannt, als Beispiel aber -4x²+12x+30=-10 genannt. Das ist inkonsistent und verwirrend. (nicht signierter Beitrag von 217.95.239.223 (Diskussion) 17:46, 1. Sep 2006)

Den Absatz zur Herkunft von "Mitternachtsformel" habe ich entfernt, da unbelegt. Wer sagt wo "abc-Formel", ich habe das noch nie gehört?--Gunther 17:51, 1. Sep 2006 (CEST)

Man sagte das in meinem Matheunterricht (als ich Schüler war) und sagt es heute (da ich Lehrer bin). Meine Kollegen verwenden den Begriff ebenso. Jedenfalls hat die Bezeichnung "abc-Formel" sicherlich dieselbe Berechtigung wie "pq-Formel".

Bei der Gelegenheit: Mir ist noch aufgefallen, daß die Bemerkungen zur approximativen Berechnung unsinnig sind. Die erste Zeile ist die pq-Formel selbst, und die zweite ist eine Anwendung des Satzes von Vieta, auf den man sich doch oben eigentlich auch beziehen könnte: Etwa bei der Zerlegung in Linearfaktoren: "x² + p x + q = ( x - x_1 )( x - x_2 ), woraus folgt, daß x1 · x2 = q und x1 + x2 = -p (Satz von Vieta)". Bzw. x1 · x2 = c/a und x1 + x2 = -b/a

Die erwähnte "approximative" Berechnung ist also nichts anderes als die Berechnung mittels der Lösungsformel, die numerisch bei irrationalen Wurzeln natürlich immer eine Näherung darstellt. Das Einführen der signum-Funktion ist hier außerdem unnötig und verwirrend. Wenn schon Approximation, dann eventuell eine Näherung nach Newton, also z.B. mittels Iteration x -> (x^2 - q)/(2·x + p)

A. Brünner, 1. 9. 2006, 18:40 (bin auch der Autor des ersten Absatzes)

Auslöschung (numerische Mathematik) --Gunther 19:00, 1. Sep 2006 (CEST)

Nachtrag: Nach Auskunft des Kepler-Gymnasiums in Tübingen ist an der (bereits gelöschten) Legende im Zusammenhang mit der Herkunft der Bezeichnung "Mitternachtsformel" nichts dran. A. Brünner, 5. 10. 2006

Denk(t)mal: Sollte man seine Energie nicht sinnvolleren Tätigkeiten zuwenden, als darüber zu streiten, woher die Bezeichnung "Mitternachtsformel" kommt. Ich unterrichte Mathematik u.a., meine Schüler lernen den Namen nicht, außerdem war er mir bis eben gerade (10.12.2006, 01:26) nicht bekannt. Ich plädiere allerdings auch dafür, dass die p-q-Formel aufgesagt werden können muss, wenn man um Mitternacht aus dem tiefsten Schlaf geweckt wird, da es sich dabei um eines der wichtigen Werkzeuge in der Oberstufenmathematik handelt. (BoneyM)

Genauso wie BoneyM hat man uns die "Mitternachtsformel" auch erklärt. Man solle sie so gut können, dass man sie auch um Mitternacht aus dem Tiefschlaf heraus aufsagen und anwenden kann. 92.227.70.212 21:16, 17. Feb. 2009 (CET)

So kenne ich das auch. :-) Wir sind dann aber auf pq-Formel umgestiegen. 80.133.204.185 23:52, 28. Apr. 2009 (CEST)

Ich kenne die Formel eigentlich nur als 'Mitternachtsformel', aus den o.a. Gründen. Daß das Teil offiziell Quadratische Gleichung heisst, hatte ich völlig vergessen. Und pq-Formel ist mit noch nie als Begriff untergekommen. OK, mein Abi ist auch 30 Jahre her. Gerald Stempel 15:33, 29. Jul. 2009 (CEST)

Die Bezeichnung pq-Formel ist "moderner Unsinn" der aus der vereinfachten Betrachtung der Dinge herrührt. Wer sagt denn, daß die Parameter der Gleichung p und q heißen müssen? Was ist mit $x^{2}+p+qx=0$? Eine Pitahaya heißt doch auch nicht roter Stacheling (beachte: es gibt ja auch gelbe!). Die fachkundige Bezeichnung ist einfach Lösungsformel, weil sie die beiden Lösungen darstellt. --Skraemer 16:02, 29. Jul. 2009 (CEST)

Also bei uns in der Schule vor über 40 Jahren hatte die Lösung gar keinen Namen, es war halt die Standard-Lösungsformel zur quadratischen Gleichung. pq-Formel konnte sie bei uns nicht heißen, weil die Dinger bei uns a und b hießen ("x eins zwei gleich a halbe plus minus Wurzel aus a Quadrat viertel minus b"), und zu Mitternacht schliefen wir alle schon brav und lösten keine Matheaufgaben! --PeterFrankfurt 17:23, 29. Jul. 2009 (CEST)

Nennt die pq-Formel doch bitte Normalform bzw. Lösungsformel der Normalform. Dass in der Lösungsformel der Quadratischen Gleichung noch ein a vorhanden ist, ist sehr komisch und widerspricht dem mathematischen Gedanken, Dinge so einfach wie möglich darzustellen.

Selbstverständlich kann man vorher noch angeben, was eine allgemeine quadratische Gleichung ist. So wird das auch im Bronstein von 1991 gemacht (in älteren sicher auch, aber die müsste ich erst suchen). Bei der Normalisierung werden die Variablennamen durch p und q ersetzt und das aus gutem Grund:

ax^2 + bx + c = 0

x^2 + px + q = 0

mit p = b/a, q=c/a

Variablen darf man nennen, wie man möchte. Deshalb ist es keine Einschränkung, die Variablen p und q zu nennen.

Jemand sollte den Einführungstext radikal kürzen. Ein Beispiel wie auch Geschichte und ausschweifende Erklärungen kann man später nennen. So ist es unverständlicher Fließtext, der den Sachverhalt unnötig verkompliziert. Es grenzt an Unfug, von "Spezialfall einer weitaus umfangreicheren Theorie" zu schreiben. --Nfp (Diskussion) 02:25, 10. Mai 2024 (CEST)

Hallo Nfp, inwiefern verkompliziert die Einleitung deiner Meinung nach den Sachverhalt? Ich bin der Überzeugung, dass die vorherige deutlich kürzere Version viel schwieriger zu lesen war. Zufälligerweise weiß ich auch, dass einige Schüler den Artikel in seiner vorherigen Form nicht gut fanden. Natürlich ist das Thema (für Mathematiker) trivial, und kann für diese in 2-3 Zeilen erklärt und definiert werden, aber darum geht es hier nicht: Es geht darum, dass man auch als Schüler schon beim Lesen der Einleitung Lust und Neugier am Thema bekommen soll. Schüler brauchen (heutzutage) viele Zwischenschritte, um etwas zu verstehen. Nach weiterem Ausbau des Artikels dürfte die Einleitung auch im Verhältnis nicht mehr so ausschweifend wirken. Und selbstverständlich sind quadratische Gleichungen und ihre Lösungen Spezialfälle einer weitaus allgemeineren Theorie, nämlich z.B. der algebraischen Geometrie, in der es um die Lösungen von Systemen von Polynomgleichungen in mehrerern Veränderlichen geht. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:14, 10. Mai 2024 (CEST)

Die sind überhaupt keine Theorie, sondern einfach eine Formel zweiten Grades. Natürlich kann man immer auch eine Gleichung höheren Grades aufstellen oder einen Bruch oder ein Gleichungssystem. Aber das hat in diesem Artikel nichts verloren. Was hindert uns daran, es anfangs kompakt zu halten und später noch einmal länger zu erläutern, sogar mit Beispiel und es dann graphisch zu besprechen uswusf.

So ist es jedenfalls für jemanden, der auch nur nochmal nachschlagen wollte, ob die Gleichung stimmt schwer zu lesen und wie schon erwähnt auch Unfug. --Nfp (Diskussion) 14:25, 10. Mai 2024 (CEST)

Ich habe gerade einen Leitfaden zur gendergerechten Ausdrucksweise erhalten. Vermutlich sollten nicht nur der Schüler die Formel auswendig kennen, sondern auch die Schülerin. Lässt sich nach meinem Leitfaden leicht korrigieren zu "weil Schüler sie auswendig kennen sollten".

Die Diskussion um die Namensgebung ist ja ganz kurzweilig. Dass es für eine Aufgabe unterschiedliche Lösungen oder Erklärungen geben kann, kommt häufiger vor. Für mathematisch eher Unbedarfte ist die Darstellung multipler Lösungen aber verwirrend, wenn man nicht in der Lage ist feine Unterschiede wahr zunehmen. Vermutlich kennt ein Teil der Republik deshalb das Ganze nur unter dem Begriff Mitternachtsformel und der andere eben nur unter pq-Formel. Hilfreich wäre es, zu erklären warum es zwei Formen gibt und welcher Vorteil sich durch eine Normalisierung ergeben könnte. R.Bendl 07.10.2011 (nicht signierter Beitrag von 141.7.164.171 (Diskussion) 09:07, 7. Okt. 2011 (CEST))

Ergänzung und Frage: Was errechne ich mit der a-b-c-Formel? Eine Nullstellenberechnung schlug fehl (ich wollte meiner Nichte bei den Hausaufgaben helfen und korrigieren). Setze ich als Beispiel f(x)= x² + 4x - 4 konsequent die Werte nach der abgebildeten Formel ein bekomme ich zwar Ergebnisse für x1,2 , welche aber in die Ursprungsgleichung eingesetzt alles andere als Null ergeben. Mit der p-q-Formel klappt das auf Anhieb, da bekomme ich auch völlig andere Werte. (nicht signierter Beitrag von 87.193.242.1 (Diskussion) 18:05, 11. Mär. 2013 (CET))

Doch, man berechnet damit die Nullstellen der Funktion.

$x_{12}={\frac {-4\pm {\sqrt {4^{2}-4\cdot 1\cdot (-4)}}}{2\cdot 1}}={\frac {-4\pm {\sqrt {32}}}{2}}=-2\pm {\sqrt {8}}$

Mit der p-q-Formel erhält man

$x_{12}=-2\pm {\sqrt {2^{2}-(-4)}}=-2\pm {\sqrt {8}}$

Beide Formeln liefern also dasselbe Ergebnis. In diesem Fall hier ist die p-q-Formel praktischer, weil die Gleichung von vornherein normiert ist (a = 1) und p gerade ist. --Digamma (Diskussion) 18:48, 11. Mär. 2013 (CET)

Leibniz fataler Fehlschluss

Falls man die Betrachtung im Reellen durchführt, muss man genau aufpassen um bei negativer Diskriminante richtig zu argumentieren. Z.B. darf man bei der Gleichung x2 − 2x + 2 = 0 durch „sture“ Anwendung der Lösungsformel $x_{1,2}=1\pm {\sqrt {-1}}$ nicht schließen, dass die Gleichung keine Lösung habe. Das ist logisch ein fataler Fehlschluss dem schon Leibniz unterlegen war. Man kann nur sagen, dass in diesem Fall die Lösungsformel nicht anwendbar ist. Richtig argumentiert man so: wegen x2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1 > 0 hat die Gleichung keine reelle Lösung. Oder alternativ: die Diskriminante D=-1 ist negativ (hier hat man dies allgemein bewiesen).

Ich weiß nicht ob man dies an dieser Stelle als "Fehlschluss" von Leibniz darstellen sollte. Wenn er von den reellen Zahlen ausgegangen ist kann er das schon so sagen und dann sollte man ihm das nicht als Fehler bezeichnen finde ich. Kannte Leibniz die imaginäre Einheit überhaupt? Wenn ja muss man ja auch berücksichtigen wie verbreitet der Umgang damit damals war. Aus heutiger Sicht kann man vielleicht sagen, dass sei falsch, aber aus damaliger Sicht? Und man kann ja jetzt nicht, wo die Menschen sich ne Lösung für $x^{2}=-1$ ausgedacht haben, rückwirkend sagen dass Leibniz einen Fehler gemacht hat. Die Lösung von $x_{1,2}=1\pm {\sqrt {-1}}$ ergibt sich ja nicht von selbst.

Außerdem kann man ja wohl nicht behaupten, dass Gottfried Wilhelm Leibniz die Einheit i zwar kannte, aber nicht auf die Lösung von $x_{1,2}=1\pm {\sqrt {-1}}$ kam. Ich finde also, dass man das nicht einfach so als Fehler von Leibniz bezeichnen kann. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Chomo (Diskussion • Beiträge) 22:33, 4. Jun. 2007)

Da kann ich nur zustimmen. Meines Erachtens ist sogar der ganze Absatz falsch. Wenn ich nämlich nur reelle Lösungen betrachte, dann hat obige Gleichung tatsächlich keine Lösung, und das kann ich auch aus der Lösungsformel schließen, wenn sie keine reellen Lösungen liefert. --Drizzd 17:40, 5. Jun. 2007 (CEST)

Der Absatz ist wirklich Mist. Solang man sich im Reellen bewegt, gibt es nun mal (wie leicht zu zeigen) keine Lösung, wenn in der p-q-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht. Ich nehm das mal raus, das taugt so nix. --Eckh 15:42, 3. Nov. 2007 (CET)

Danke, da habe ich schon lange drauf gewartet!! Gruß, Wasseralm 22:15, 25. Nov. 2007 (CET)

Nein! So simpel ist die Mathematik nicht! Im Reellen darf zwar unter einer Quadratwurzel keine negative Zahl stehen, da sie sonst nicht definiert ist. Aber man darf aus etwas, was nicht definiert ist, nichts folgern. Es darf nur aus wahren Aussagen etwas gefolgert werden. Es könnte ja sein, daß im Reellen die Lösungsformel im Fall D<0 nicht anwendbar ist, die Gleichung aber trotzdem eine reelle Lösung hat. Der Schluß: weil unter der Quadratwurzel eine negative Zahl steht, hat die Gleichung keine reelle Lösung ist falsch. Das hat nichts mit komplexen Zahlen zu tun, sondern einfach nur mit der Strenge der Logik!

Folgendes Gegenbeispiel mag die Dramatik des Fehlschlusses verdeutlichen. Die kubische Gleichung $x^{3}-3px-2q=0$ hat bekanntlich eine reelle Lösung $x={\sqrt[{3}]{q+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{q-{\sqrt {D}}}}$ mit $D=q^{2}-p^{3}$ wenn D>0 (Cardanische Formel). Beispiel: Bei $x^{3}-45x-152=0$ ist D=2401>0 und die Lösung ist x=5+3=8.

Bei der Gleichung $x^{3}-15x-4=0$ ist D=-121<0, unter der Quadratwurzel würde also eine negative Zahl stehen. Würde man daraus folgern, es gäbe nun keine reelle Lösung der Gleichung, würde sich ein Widerspruch ergeben, denn die Gleichung hat sogar 3 verschiedene reelle Lösungen: $x_{1}=4,x_{2}=-2-{\sqrt {3}},x_{3}=-2+{\sqrt {3}}$.

Die Komplexen Zahlen erscheinen hier als wichtiges Hilfsmittel, denn das Ergebnis ist wieder reell: ${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}=(2+i)+(2-i)=4$ --Skraemer 22:32, 30. Apr. 2009 (CEST)

Nullstelle

Nur eine Kleinigkeit, aber ich fands beim lesen etwas irritierend, dass im Falle von "Radikand > 0" von "reelle Lösungen" gesprochen wird, aber bei "Radikand = 0" von "reelle Nullstelle (Lösung)". Warum in dem einen Falle betonen, dass Nullstellen gesucht werden und im anderen nicht? Mein Votum: "Nullstelle" an dieser Stelle entfernen.--131.130.93.11 12:14, 7. Mai 2009 (CEST)

(Neue Beiträge bitte unten anfügen, nicht oben.) - Danke für den Hinweis. Das ist wohl noch ein historisches Überbleibsel, als über den Text verteilt mal von Nullstelle, mal von Lösung gesprochen wurde. An dieser Stelle war es so in der Tat nur verwirrend. --PeterFrankfurt 02:37, 8. Mai 2009 (CEST)

Kaputter Link

Der geocities link: http://de.geocities.com/klaus_rottbrand/quadrat_gl_in_C.html

ist zu ersetzen durch: http://krottbrand.bplaced.net/filemanager/javas/quadrat_gl_in_C.html (nicht signierter Beitrag von 79.204.19.229 (Diskussion | Beiträge) 01:03, 11. Okt. 2009 (CEST))

Fehler in einer der Formeln

Im Abschnitt "Geschichte" steht:

[...] Die allgemeine Lösung in heutiger Schreibweise $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ [...]

Diese Lösung bezieht sich auf die Problemstellung $ax^{2}+bx=c$ wenige Zeilen weiter oben. Tatsächlich müsste die Lösung in dem Fall aber $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}+4ac}}}{2a}}$ lauten.

Bitte gegenprüfen und ggf. verbessern - ich kann den Artikel selbst nicht editieren.

--131.246.76.7 11:14, 14. Okt. 2009 (CEST)

Ist mir gerade passiert, ja bitte die Formel basierend auf "normale" schreibweise und basis ax^2+bx+c=0 ändern. Habs noch nie anders gesehen --22:41, 18. Mär. 2010 (CET) (ohne Benutzername signierter Beitrag von 81.217.14.229 (Diskussion | Beiträge) )

• Ausgesprochene Schnapps-Idee: Nämlich x² - 58x +441 als Beispiel anzugeben, um es mittels Klammer Binomial-Faktoren lösen zu wollen! Heisst Mathe neuerdings unsinnig herum Probieren? Jener hat den Sinn des Ausklammerns nicht kapiert, der für einfache Ausdrücke vorgesehen ist, (z.B. x²+5x+6 = 0) wo man "sieht", welche Binomialfaktoren drin stecken. Für x²-58x + 441= 0 nimmt man die allg. Lösungsformel für ax²+bx+c = 0; es können einem die 9.Klässler leid tun, die hierher schauen u. dann glauben, solch eine Gleichung würde man mittels dieser (Unsinns) Zerlegung lösen.Oh No!Eco-Ing. (nicht signierter Beitrag von 93.104.38.65 (Diskussion | Beiträge) 10:09, 21. Nov. 2009 (CET))

Sorry für den reedit auf -4ac, aber es is nicht sinnvoll im unteren teil des artikels eine andere definition für c zu verwenden als oben, weil sicherlich vielen lesern der gleiche fehler wie mir unterläuft! --Stephanrich 17:03, 27. Jan. 2011 (CET)

So, wie es jetzt dasteht, ist es falsch. Denn man Anfang des Absatzes steht die Gleichung als

$ax^{2}+bx=c$

Und in dieser Form muss unter der Wurzel +ac stehen. Deshalb habe ich deine Änderung rückgängig gemacht. Es wäre natürlich möglich, andere Buchstaben als a, b und c zu verwenden, um die Verwirrung zu verringern. Aber eine Umformulierung auf die heute übliche allgemeine Form $ax^{2}+bx+c=0$ würde wahrscheinlich der Geschichte nicht gerecht, Al Khwarizmi hat die Gleichung eben nicht in dieser Form behandelt. -- Digamma 19:05, 27. Jan. 2011 (CET)

Ich habe es umformuliert. Das war auch insofern missverständlich (diesem Missverständnis bin ich aufgesessen), als diese Lösungsformel sich nicht auf die Gleichung in der Form $ax^{2}+bx=c$ aus dem Absatz darüber bezieht, sondern auf die heute übliche allgemeine Form $ax^{2}+bx+c=0.$

Anmerkung zur Mitternachtsformel

Würde empfehlen zu schreiben: In heutiger Schreibweise: $ax^{2}+bx+c=0$ gilt die Formel: $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$. So wie es jetzt steht ist es für Leute die nur genau die Mitternachtsformel suchen verwirrend, bzw. sie nehmen einfach $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}+4ac}}}{2a}}$. Wenn man schnell schnell was sucht, liest man nicht immer alles. Auch wenn die Formel bleibt, noch mal extra erwähnen, dass es hier um die Form $ax^{2}+bx=c$ geht. Habe mich hier auch schon verhauen, weil ich einfach blind darauf vertraut habe das es um $ax^{2}+bx+c=0$ geht, wie üblich in den Formelsammlungen mit denen ich gearbeitet habe. Man sollte die Sache möglichst einfach machen. Bitte mal darüber nachdenken und gegebenenfalls editieren. (nicht signierter Beitrag von Starsven (Diskussion | Beiträge) 14:49, 11. Dez. 2009 (CET))

Dem muss ich beipflichten. Hat mich auch verwirrt! (nicht signierter Beitrag von 188.104.252.131 (Diskussion | Beiträge) 20:45, 28. Mär. 2010 (CEST))

Verstehe nicht, was Du meinst. Es geht im Artikel nur um die allgemeine Form $ax^{2}+bx+c=0$ und nicht um $ax^{2}+bx=c$. --Skraemer 21:26, 11. Dez. 2009 (CET)

Ich weiß nur, dass man in Bayern "Mitternachtsformel" sagt und in Österreich nicht. Wo sonst noch, wäre noch zu klären.--DelSarto 09:23, 17. Dez. 2011 (CET)

Nach meinem Eindruck ist der Begriff in ganz Deutschland gebräuchlich. Wobei teilweise beide Lösungsformeln, die a-b-c-Formel und die p-q-Formel so genannt werden, teilweise nur die a-b-c-Formel. --Digamma 21:52, 17. Dez. 2011 (CET)

Womöglich darf man das gar nicht an Ländern festmachen, sondern solche Gebräuche sind von Schule zu Schule und von Lehrer zu Lehrer querbeet verschieden. Ich habe das in den 1960er Jahren in Hamburg gelernt, und da hat niemand den Namen Mitternachtsformel benutzt, den kenne ich erst jetzt aus der WP. Aber keine Garantie, dass das an der Nachbarschule schon wieder anders war. Wenn natürlich jemand einen offiziellen Lehrplan eines Ministeriums anschleppen würde, in dem dieser Name auftaucht, wäre das schon was anderes. --PeterFrankfurt 02:24, 18. Dez. 2011 (CET)

Offizieller Lehrplan oder wissenschaftliches Werk wäre gefragt.--DelSarto 10:02, 18. Dez. 2011 (CET)

woher stammen nun die jetzigen Bezeichnungen "Große Auflösungsformel" und "Kleine Auflösungsformel"? Mir fehlen WP:Belege dazu.--Fritzbruno 10:15, 18. Dez. 2011 (CET)

Die Bezeichnung "Mitternachtsformel" ist ganz sicher nirgendwo offiziell. Im Artikel steht ja auch "umgangssprachlich". Möglicherweise gibt es Schulbücher oder Lernhilfen, die den Begriff benutzen. Die Bezeichnungen "große Auflösungsformel" und "kleine Auflösungsformel" lese ich jetzt zum ersten Mal. Das sieht mir nach Begriffsfindung aus. --Digamma 11:26, 18. Dez. 2011 (CET)

Wenn man "große" oder "kleine" Auflösungsformel lesen möchte, braucht man es nur zu googeln. Aber so wie es jetzt ist, gefällt es mir gut.--DelSarto 16:01, 19. Dez. 2011 (CET)

Nach meinem Eindruck erscheinen die Bezeichnungen überwiegend auf österreichischen Webseiten :-) --Digamma 17:20, 19. Dez. 2011 (CET)

Ich kann mir gut vorstellen, dass es ein österreichischer Ausdruck ist. Wenn es sich nicht um TF handelt, könnte man diese Beobachtung ins Lemma aufnehmen, was ich mal mache.--DelSarto 17:35, 20. Dez. 2011 (CET)

um den Vorwurf der Begriffsfindung zu vermeiden habe ich diese Umschreibung (in Anlehnung an den Bronstein) eingesetzt bis durch Belege eine andere/bessere Variante gefunden ist.--Fritzbruno 15:37, 18. Dez. 2011 (CET)

Ich denke, so ist es (jetzt) gut--DelSarto 15:43, 19. Dez. 2011 (CET)

Ich hatte in meiner Schulzeit gelernt der Begriff Mitternachtsformel bezieht sich auf die Legende von Bhaskara II, ein indischer Mathematiker, (1114-1185) der verschiedene Formeln zum lösen von Gleichungen gesammelt und entwickelt hat... und diese als Gedichte für seine Tochter Lilāvati gesetzt hat. Sein Buch über Quadratische Gleichungen heißt Vija-Ganita. Er nennt dort die Methode Madhyamáharana, was bedeutet die Mitte entfernen, da sie aus der quadratischen Ergänzung entsteht, in der man die "Mitte" (den gemischen Term) entfernt. Gatria 13. Dez 2013 (nicht signierter Beitrag von 79.249.119.24 (Diskussion) 05:55, 13. Dez. 2013 (CET))

Neuformulierung

(Mindestens) drei Probleme:

1. ein Wörtchen "die" doppelt
2. Was um Himmels Willen ist ein "positiver Leitkoeffizient"? Nie gehört, nicht erklärt. Falls es um den Faktor vor x² geht, kann man doch auch deutsch reden. Außerdem wird der als erstes gern zu +1 runterdividiert.
3. Ein D wird ohne Erklärung eingeführt, wo erst viel später der Verdacht aufkommen könnte, dass es sich um die Diskriminante handeln könnte. Aber bei dem genannten Beispiel bekomme ich dafür 0 heraus...

--PeterFrankfurt 03:08, 2. Dez. 2009 (CET)

Kannst du genauer sagen, WO die Probleme auftauchen? Warum änderst du es überdies nicht selbst? --Juliabackhausen 16:57, 2. Dez. 2009 (CET)

Zu 2. Das nennt man geistige Beweglichkeit. Es wird eben nicht grundsätzlich alles auf die linke oder rechte Seite gebracht, sondern der Situation angepasst gehandelt, so daß man sich am Ende eine Division durch einen Leitkoeffizient $-1$ spart (Mathematischer Blick)

Zu 3. $D=b^{2}-4ac=(1+i)^{2}-4\cdot 1\cdot i=1+2i-1-4i=-2i=(1-i)^{2}$.

In der Mathematik greifen oft mehrere Dinge ineinander. Aus fachlicher Sicht sollte die Diskriminante gleich zu Anfang eingeführt werden, damit sie für die folgenden Ausführungen bereit steht. Der Anfänger wird aber davon nicht begeistert sein. Wichtig ist, dass der Fall komplexer Koeffizienten eben anders als der mit reellen ist. --Skraemer 18:27, 2. Dez. 2009 (CET)

Äh, nochmal: In meinen diversen Semestern Mathematik ist mir der Begriff "Leitkoeffizient" nie untergekommen. Aber gerade sehe ich, dass wir dazu ja sogar einen Artikel haben... --PeterFrankfurt 01:40, 3. Dez. 2009 (CET)

Ich habe jetzt mal das Problem (3) gelöst, in dem ich die Reihenfolge der Informationen im Artikel entsprechend verändert habe, und Doppeltes dabei entfernt habe.--Juliabackhausen 13:35, 12. Dez. 2009 (CET)

"Lösen durch Faktorisieren"

Der Abschnitt ist irgendwie Non-Sense. Genaugenommen steht da nur "Raten!" drin und ein bisschen unenzylopädisches Blabla ("Man muss ein gutes Zahlengefühl oder einen Taschenrechner haben"). Ich bin der Meinung man sollte diesen Abschnitt komplett löschen. --Juliabackhausen 13:43, 12. Dez. 2009 (CET)

Ja, da habe ich die gleichen Probleme. Einerseits macht man das wirklich manchmal so, andererseits sollte man dann aber auch eine handfeste Systematik des Vorgehens vorgeben können. --PeterFrankfurt 03:09, 13. Dez. 2009 (CET)

Ich bin derselben Meinung. Man könnte doch folgendes einfügen:

Um von x^2-58x+441 = 0 auf (x-49)(x-9)=0 zu kommen muss man das lineare Gleichungssystem

I. a+b = -58,

II. a*b = 441 lösen. In diesem Fall ist a = -49 und b = -9.

Allgemein gilt um von x^2+px+q = 0 auf (x+a)(x+b) = 0 zu kommen, muss das Gleichungssystem

I. a+b = p,

II. a*b = q gelöst werden. -- Paschep 19:16, 13. Dez. 2009 (CET)

um hier dem Irrtum entgegenzuwirken, man könne eine quadratische Gleichung linearisieren: das ist kein lineares Gleichungssystem! Über das Einsetzungsverfahren würde man wieder die quadratische Ausgangsgleichung - nur eben jetzt mit a und b - zurückerhalten.--Fritzbruno 19:00, 26. Nov. 2010 (CET)

Das Verfahren beruht auf der Idee, das eine Zahl nur endlich viele ganzzahlige Teiler bzw. Summanden mit beschränktem Produkt hat. Das Beispiel $x^{2}-58x+441=0$ ist etwas zu hoch gegriffen, liesse sich aber programmieren. Ich möchte die Überlegungen besser an $x^{2}-4x-21=0$ veranschaulichen. Man schaut zuerst auf das absolute Glied -21. Als Faktoren kommen nur die Paare (-3,7), (-7,3), (-1,21), (1,-21) in Frage. Wegen -3+7=4 sind die Lösungen somit -3 und 7. Hat das absolute Glied zu viele Teiler kann man alternativ additiv das p zerlegen und gucken ob das Produkt q ergibt. Grundsätzlich steckt aber die Idee dahinter, daß eine ganzzahlige Lösung Teiler vom absoluten Glied sein muß. --Skraemer 19:52, 13. Dez. 2009 (CET)(

Damit kommen wir der Sache schon wesentlich näher. Ich weiß noch, dass ich in der Schule zumindest auch immer geschaut habe, ob 1, -1, 2, -2 Lösungen sind. Dein Vorschlag ist natürlich noch besser. Obwohl: 1 und -1 können fast immer Lösungen sein, da sie immer Teiler des letzten Glieds sind. Vielleicht sollte man das zusammenbauen und dann den entsprechenden Abschnitt neu formulieren bzw. ersetzen. --Juliabackhausen 20:36, 13. Dez. 2009 (CET)

Da das "Lösen durch Faktorisieren" identisch mit der Anwendung des Satz von Vieta ist kann dieser Abschnitt entfallen oder sollte dort stark verkürzt integriert werden. Ich werde in näherer Zukunft eine entsprechende Überarbeitung vornehmen und wäre für Formulierungsvorschläge dankbar.--Fritzbruno 23:15, 23. Nov. 2010 (CET)

Man kann natürlich Vieta anwenden, ohne sich bewusst zu machen, dass es etwas mit Faktorisieren des Polynoms zu tun hat. Insofern ist es nicht ganz dasselbe. -- Digamma 21:28, 24. Nov. 2010 (CET)

Aber es bleibt Vieta - und darum dreht es sich doch! Ich werte deine Aussage daher als: Beibehalten als Unterkapitel zu Vieta.--Fritzbruno 20:09, 25. Nov. 2010 (CET)

Es war nur als Anmerkung gedacht, nicht als Plädoyer. -- Digamma 20:28, 25. Nov. 2010 (CET)

An welchen Leserkreis wendet Ihr Euch mit Eurer Darstellung? Leser die ein gewisses mathematisches Grundverständnis mit bringen, freuen sich über eine knappe und korrekte Darstellung und sagt "Ja, Vieta, korrekt, alles klar". Für Leser mit etwas geringerer math. Vorbildung (und vermutlich sind es die, die sich auf so einer Seite schlau machen wollen) ist es aber sicher hilfreich, auch zu zeigen, wie man damit umgeht. In dieser Beziehung finde ich das Beispiel von SKraemer (Dez. 2009) sehr schön. Es fällt nicht nur eine Lösung vom Himmel, von der ein Schüler kopfschüttelend sagt, "wie soll ich darauf kommen", sondern erklärt pragmatisch mit welchen einfachen Überlegungen man zu einer Lösung kommen kann. Damit geht vielleicht auch manchem Leser oder mancher Leserin im nachhinein ein Licht auf, warum man sich irgendwann mit solchen "unnötigen" Problemen, wie der Faktorisierung herumschlagen musste. R.Bendl 07.10.2011 (nicht signierter Beitrag von 141.7.164.171 (Diskussion) 09:07, 7. Okt. 2011 (CEST))

p-q-Formel

In dieser Version gab es einen Parser-Fehler („Lexing“-Fehler). Ich weiß nicht woher er kam, aber ich konnnte ihn beseitigen. Die Formatierung der Formel (mindestens ihres Quelltextes) ist dabei etwas geändert worden, falls jemand das wieder "schön" gestalten will, bitte gerne, aber prüfen, ob das Ergebis auch funktioniert. Pinoccio 16:29, 19. Mär. 2010 (CET)

Die Lösungsformel enthält einen gerne gemachten Fehler! In der ursprünglich gegebenen Gleichung tritt die Variable x auf, in der Lösungsformel plötzlich x_1 und x_2. Das ist Blödsinn. Man kann das Problem dadurch beheben, dass man die Indizes 1,2 entfernt. (Mirojnik) (23:05, 13. Nov. 2010 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Quatsch, das ist kein Blödsinn, sondern korrekt, weil es 2 Lösungsmöglichkeiten gibt - -- ωωσσI - talk with me 23:12, 13. Nov. 2010 (CET)

Solange man sich im Bereich der Äquivalenzumformung bewegt, ist es in der Tat nicht zulässig, von einer Zeile zur andern den Namen der Variablen zu ändern. Da müsste die letzte Zeile dann z. B. lauten:

$x=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\quad {\text{oder}}\quad x=-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$.

Ich kann aber auch sagen

$x=x_{1}\quad {\text{oder}}\quad x=x_{2}$

mit

$x_{1}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\,,\ x_{2}=-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$.

Wenn eine Gleichung oder ein Gleichungssystem mehrere Lösungen besitzt, dann ist es durchaus möglich, speziellen Lösungen spezielle Namen zu geben. Zum Beispiel kann ich bei der Gleichung

$2x+3y=11$

sagen: "Das Paar $(x_{0},y_{0})=(1,3)$ ist eine Lösung der Gleichung." -- Digamma 11:13, 14. Nov. 2010 (CET)

Komplexer Fall der pq-Formel

Auf die Gefahr hin das ich mich gerade komplett vertue denke ich das in der pq-Formel für den komplexen Fall das ${\frac {1}{2}}$ vor der Wurzel nichts zu suchen hat. -- Redfubbes 11:28, 12. Jul. 2011 (CEST)

doch, doch, das gehört da hin.Man könnte es aber auch wieder reinziehen:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {4q-p^{2}}}={\sqrt {q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}}$

--Fritzbruno 13:50, 12. Jul. 2011 (CEST)

MNF Abkürzung

Ich bin bei der Suche nach der Bedeutung der Abkürzung MNF auf den seit Mai 2006 hier vorhandenen Artikel MNF gestoßen. Man wird nach Quadratische Gleichung weitergeleitet, findet dort aber die Abkürzung MNF nicht mehr. Andererseits gibt es immerhin inzwischen das hier. Deshalb habe ich mir das Einfügen der drei Buchstaben als Hilfestellung für ähnlich Suchende erlaubt. Djat 23:51, 26. Mai 2010 (CEST)

Tut mir leid, aber die paar Foreneinträge sind keine Quelle dafür, dass das eine gebräuchliche Abkürzung wäre. Ich habe dementsprechend die Abkürzung auch auf MNF rausgenommen. Ich lasse mich gerne eines besseren belehren, aber sowas reicht halt nicht. Viele Grüße --P. Birken 19:42, 27. Mai 2010 (CEST)

Endliche Körper der Charakteristik 2

Müsste es nicht $\mathbb {F} _{2}(\varrho )$ heißen statt $\mathbb {F} (\varrho )$? Und vielleicht sollte man auch kurz erklären (oder gezielt verlinken), was gemeint ist. -- Digamma 20:57, 12. Sep. 2010 (CEST)

Ich hab's mal korrigiert, sollte aber tatsächlich noch näher ausgeführt werden. -- HilberTraum 15:11, 29. Dez. 2011 (CET)

Unverständlich

"einzelne, doppelte Lösung" - mag ja in der Sprach der Mathematik korrekt sein (da es in der Allgemeinsprach aber wie ein Widerspruch in sich klingt, wäre eine ganz kurze Erläuterung in Klammern dahinter angebracht). --91.97.190.183 17:52, 4. Aug. 2011 (CEST)

Komplexe Koeffizienten

Das Kapitel "Lösungen..." sagt: Im Folgenden werden quadratische Gleichungen mit reellen oder komplexen Koeffizienten und Lösungen betrachtet. - Hmmm, das mit den komplexen Koeffizienten (im Gegensatz zu komplexen Lösungen) mag ich nicht ganz glauben. Die Diskriminante, auf die es entscheidend ankommt, sieht mir verdächtig danach aus, dass da nur reelle Koeffizienten drin verhackstückt werden. Kann man bei komplexwertigen b und c überhaupt auf "<0" oder ">0" entscheiden? --PeterFrankfurt 02:19, 29. Dez. 2011 (CET)

natürlich nicht.--Fritzbruno 09:13, 29. Dez. 2011 (CET)

Die Unterscheidung nach > 0 bzw. < 0 steht aber auch erst im Abschnitt mit den reellen Koeffizienten, vorher wird nur nach = 0 bzw. verschieden von 0 unterschieden.--DelSarto 09:48, 29. Dez. 2011 (CET)

Also etwas verwirrend ist der Artikel in dieser Hinsicht schon. Im Abschnitt "Allgemeine Form und Normalform" sind Koeffizienten reell, dann komplex, dann wieder reell und so weiter. Wie wäre es denn, wenn man zuerst den Fall reeller Koeffizienten fertig abhandelt und dann erst zu anderen Koeffizientenmengen übergeht? -- HilberTraum 17:55, 29. Dez. 2011 (CET)

Das wäre auch mein Vorschlag: Einfach die komplexen Koeffizienten im Einleitungssatz des Kapitels weglassen und dann im Weiteren sehen, wie man da später ggf. sauber auf komplexe erweitern kann. --PeterFrankfurt 02:32, 30. Dez. 2011 (CET)

Bin ich sehr dafür. Dann hat der "nur" schulgebildete Leser eine verständliche Einleitung und für die mathematisch interessierteren kommt das in zweierlei Hinsicht komplexe später.--DelSarto 09:15, 30. Dez. 2011 (CET)

Ich habe die Umstellung des Artikel dann mal so durchgeführt. Vielleicht findet ja noch jemand irgendwelche dadurch entstandene Inkonsistenzen. -- HilberTraum 15:10, 15. Jan. 2012 (CET)

Sehr schön. Bisher keine Einwände von mir. --PeterFrankfurt 02:39, 16. Jan. 2012 (CET)

Umbauten

Wie wäre es, wenn ihr aufhört, umfassende Umbauten an der Seite ohne jedwede vorherige Diskussion vorzunehmen? Ich würde mich jedenfalls sehr freuen. Derzeit bin ich gezwungen, mittels Reverts zu diskutieren, und das ist WP-unüblich.--Fritzbruno 06:56, 24. Feb. 2012 (CET)

Lieber Fritzbruno,

vielen Dank für deine konstruktive Mitarbeit. Es tut mir leid, falls du es noch nicht gemerkt haben solltest, aber du bist nicht der Einzige, der hier bearbeitet und du bist sicher nicht derjenige, der das alleinige Sagen darüber hat, was wie in einem Artikel steht und wie nicht. --88.130.121.215 11:37, 24. Feb. 2012 (CET)

Von umfangreichen Umbauten kann auch kaum die Rede sein. --Digamma 12:45, 24. Feb. 2012 (CET)

Du hast damals auch ohne Diskussion die Herleitung der p-q-Formel herausgenommen und durch die Herleitung der a-b-c-Formel ersetzt.

Die von dir benutzte Herleitung ist aber im Prinzip die für die p-q-Formel: Das Polynom wird zunächst normiert. Dann wird im Prinzip die p-q-Formel hergeleitet (mit b/a anstelle von p und c/a anstelle von q), im letzten Schritt wird die Formel auf die übliche Gestalt gebracht, indem aus dem Nenner $4a^{2}$ die Wurzel gezogen wird (nicht ganz korrekt, denn a könnte ja negativ sein) und die Summe/Differenz auf den Hauptnenner gebracht wird. Klarer wäre es hier, wenn zunächst die p-q-Formel hergeleitet würde und dann daraus die a-b-c-Formel. Wenn man aber die a-b-c-Formel direkt herleitet, dann ist meine Herleitung klarer, auch wenn man nicht sofort sieht, warum die Gleichung mit 4a multipliziert wird. Dafür sieht man direkt, wie im Laufe der Umformungen die rechte Seite der Lösungsformel entsteht. --Digamma 13:08, 24. Feb. 2012 (CET)

Ist Ok! Werde daher die p-q-Formel-Herleitung wieder einbauen um diese doch übersichtlichere Herleitung zu erhalten. Oder gibt's da größere Probleme mit. ME. ist der Verweis auf die abc-Formel-Herleitung dort sinnlos, denn die pq-Formel so herzuleiten ist recht umständlich.

Den Verweis auf Lambacher-Schweitzer als Referenz nehme ich nicht ernst, das ist nur ein Schulbuch. Wer sich "etwas auskennt" sollte wahrnehmen können, dass die angeblich "zu komplizierten" Terme genau die sind, die in der p-q- bzw. a-b-c-Formel unter der Wurzel stehen, also eben doch berechnet werden müssen. Der einzige Vorteil der Formeln besteht im etwas geringeren Arbeitsaufwand, der durch Auswendiglernen erkauft wird.--Fritzbruno 15:43, 24. Feb. 2012 (CET)

Lieber Fritzbruno, (ist es zu schwer für dich, diesen Namen vollständig zu lesen und schreiben?)

die Quelle genügt WP:Q. Deine Privatmeinung über die Autoren, deren angebliche himmelschreiende Inmkompetenz und deine alleinige Allwissenheit in diesem Bereich wird die Menschheit sicher eines Tages anerkennen, aber noch nicht jetzt. Wie wäre es, wenn du statt hier nur rumzunölen mal einen konstruktiven Alternativvorschlag machst, wie du den Text verbessern würdest? Bis jetzt ist von dir da ja nicht gerade viel gekommen.

Außerdem möchte ich dich bitten, mit deinem ständigen, sinnfreien Revertieren aufzuhören. Wenn dir eine Änderung nicht passt, kannst du sie gerne diskutieren. Mit deinem sinnlosen Zurückgedrehe bringst du den Artikel keinen Deut weiter. Wenn du das nicht hinbekommst, hab ich auch kein Problem damit, den Artikel schützen zu lassen. --88.130.66.45 16:12, 24. Feb. 2012 (CET)

@IP: Bitte nicht übertreiben. Benutzer:Fritzbruno hat an diesem Artikel einiges gearbeitet und ihn gegenüber dem Zustand davor deutlich verbessert.

@Fritzbruno: Die Schulen und Schulbücher würden die Lösungsformeln kaum lehren, wenn es nicht für einen Großteil der Anwender einfacher wäre, eine der Lösungsformeln zu benutzen als die Gleichung direkt mit Hilfe von quadratischer Ergänzung zu lösen. Möglicherweise stört dich die Begründung ("komplizierte Terme"), warum es oft einfacher sei, die Lösungsformeln zu verwenden. Ich habe deshalb als Kompromissvorschlag den Nebensatz gestrichen. --Digamma 18:06, 24. Feb. 2012 (CET)

@Digamma, ohne die - mathematisch schwachsinnige - Schwierigkeitsbegründung kann man den Satz vorläufig stehen lassen, wenn auch ungern. Aus der Schulpraxis (im reformpädagogischen Bereich) ist meine Erfahrung eine andere als im Lambacher-Schweizer erklärt wird. Sowie ich meine diesbezüglichen Quellen (Fachbücher, keine Schulbücher!) nach einem geeigneten Verweis durchforstet habe, werde ich eine entsprechende Änderung vornehmen. Vorläufig ziehe ich mich aber aus der Bearbeitung des Artikels zurück, da mich das niedrige Niveau ("wenn du nicht aufhörst hol ich die Admins", "Inkompetenz", etc.) im Umgangston des IP-Users hier sehr stört.--Fritzbruno 08:32, 26. Feb. 2012 (CET)

Weblink

Bitte einen Weblink ohne Flashplugin, da wirds doch was geben. -- Room 608 (Diskussion) 00:15, 2. Nov. 2012 (CET)

Vorschlag für Weblink: http://www.schlauerlernen.de/quadratische-gleichung-umrechnung-quiz/

Einleitung

Die Einleitung glänzt im Moment nicht gerade durch Lesefreundlichkeit. Zum Beispiel dieser Satz:

„Geometrisch beschreibt die Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=ax^{2}+bx+c$, also die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte des zu $f$ gehörenden Graphen (einer Parabel) mit der $x$-Achse in der $x$-$y$-Ebene.“

Wer die gemeinten Zusammenhänge nicht schon vorher bereits verinnerlicht hat, wird an dieser Satzkonstruktion zu knabbern haben. Das geht sicher auch ohne Bedeutungsverlust in einfacheren Formulierungen.---<)kmk(>- (Diskussion) 04:36, 21. Dez. 2012 (CET)

Lösung der a-b-c-Formel bei negativer Diskriminante

"Im Zahlbereich der reellen Zahlen gibt es hierfür keine Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen gilt \sqrt{D}=i\sqrt{-D}." 

Müsste es nicht heißen sqrt(-D)=i*sqrt(D)?

Ich habe leider keine Ahnung vom Erstellen von WP Artikeln. (nicht signierter Beitrag von 137.193.139.4 (Diskussion) 20:45, 12. Dez. 2013 (CET))

Nein. D ist hier eine negative Zahl, deshalb ist −D positiv. --Digamma (Diskussion) 22:34, 12. Dez. 2013 (CET)

Alternative Mitternachtsformel

Was machet man eigentlich, wenn a=0, wenn wir es also mit dieser gar förchterlich komplizierten Gleichung zu tun haben:

b*x+c=0

Da sind wir nämlich mit der offiziellen Schulversion aufgeschmissen, weil wir nämlich dann mit einer Division durch 0 konfrontiert sind. Doch es gibt einen Ausweg.

Man erweitere einfach die offizielle Schulversion, so wie hier unten dargestellt.

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\cdot {\frac {-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}$

Also einfach Bruch stürzen und im Zähler „a“ durch „c“ ersetzen.

Lösungsmöglichkeit „+“ (bei a=0) scheidet aus und wenn man „-“ wählt, erhält man das Ergebnis -c/b. --Willi windhauch (Diskussion) 13:00, 29. Apr. 2014 (CEST)

Wenn a=0 ist hat man keine quadratische Gleichung mehr. Wenn wir schon bei Spezialfällen sind: was macht denn deine tolle Formel im Fall a=0 und b=0? --Quartl (Diskussion) 13:11, 29. Apr. 2014 (CEST)

Die Mitternachtsformel wendet man sowieso nur dann an, wenn man die Gleichung anders nicht lösen kann, also nur wenn keiner der Parameter a, b, c gleich 0 ist. Auf jeden Fall gibt es kaum Unpraktischeres als Wurzeln im Nenner. Das erste, was man vernünftigerweise tun würde, wenn man mit deiner Version der Formel konfrontiert wird, ist, den Nenner rational machen, also deine Umformung wieder rückgängig.

Deine alternative Formel versagt außerdem für c = 0. Dann liefert sie nur die eine Nullstelle x = 0, aber nicht die zweite x = - b/a. --Digamma (Diskussion) 16:32, 29. Apr. 2014 (CEST)

Ich sag ja nicht, dass es zweckmäßig ist, die Schulformel komplett zu ersetzen. Aber es gibt Fälle, wo die Alternative Vorteile hat. Lösen wir doch mal diese Gleichung nach y auf.

$x\cdot y^{2}+6\cdot y-10=0$

Und jetzt schaun’mer uns den Teil der Lösung an, wo in der Schulversion ein “+” vor der Wurzel steht. In der Alternativversion muss dann ein “-” hin.

$y={\frac {-6+{\sqrt {36+40\cdot x}}}{2\cdot x}}={\frac {-20}{-6-{\sqrt {36+40\cdot x}}}}$

Die Schulversion bringt genau das gleiche Ergebnis, außer bei x=0. Da sind wir mit einer Polstelle konfrontiert.

Und jetzt tun wir mal so, als ob wir die Ausgangsgleichung nicht kennen. Bei der Schulversion müssen wir bei x=0 die Regel von l'Hospital bemühen. Das ist 12. Klasse!

Die Gleichung, welche über die “Alternativformel” erzeugt wurde, sollte jeder Siebtklässler für x=0 im Kopf ausrechnen können.--Willi windhauch (Diskussion) 09:56, 15. Mai 2014 (CEST)

Man braucht keine Regel von l'Hopital, man muss nur gleich zu Beginn eine Fallunterscheidung machen, ob x = 0 ist oder nicht. Wenn x = 0 ist, dann hat man es mit einer linearen Gleichung zu tun, die man ohne Mitternachtsformel lösen kann.

Deine Formel versagt bei c = 0 und das ist viel gravierender. Übrigens: Was würde der Siebtklässler bei x = 1 machen. Was soll er mit $-6-{\sqrt {76}}$ im Nenner anfangen?

Außerdem möchte ich dich auf die Richtlinien auf den Seiten Wikipedia: Was Wikipedia nicht ist und Wikipedia:Keine Theoriefindung aufmerksam machen: Die Aufgabe von Wikipedia ist es, etabliertes Wissen darzustellen, aber nicht, neue Erkenntnisse zu veröffentlichen. Da deine Formel nirgendwo gelehrt wird und nirgendwo in der Literatur zu finden ist, würde es der Funktion einer Enzyklopädie widersprechen, sie aufzunehmen. --Digamma (Diskussion) 21:01, 15. Mai 2014 (CEST)

Die umgestellte Formel kann vorteilhaft für die numerische Auswertung sein, denn aus plus im Zähler wird minus im Nenner und umgekehrt. Dadurch kann Stellenauslöschung bei Subtraktion vermieden werden. Dazu steht allerdings schon etwas unter „Numerische Berechnung“ im Artikel, der kurze Abschnitt könnte aber sicher noch etwas ausgebaut werden, indem z. B. auf die a-b-c-Form eingegangen wird. -- HilberTraum (Diskussion) 18:21, 16. Mai 2014 (CEST)

Das numerische Stabilitätsproblem geht man ganz einfach so an (wobei der wirklich kritische Fall vorliegt, wenn die Diskriminante nahe bei null liegt). Vom Prinzip her ist das die Erweiterungsformel nur andersrum ausgewertet. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:50, 16. Mai 2014 (CEST)

Ja, aber explizit sind das doch die Formeln von oben (mit $a$ gekürzt). Es sind sicher Situationen denkbar, wo im Fall $b>0$ nur $x_{1}$ benötigt wird und dann gleich als ${\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}$ berechnet wird. Gegen die Auslöschung bei $D=b^{2}-4ac$ für $D\approx 0$ lässt sich wohl nicht viel machen; doppelte Nullstellen sind ja generell numerisch heikel. Wichtiger ist wohl, dass man auf den Fall $-b\approx \pm {\sqrt {D}}$ aufpasst, der für kleine $4|ac|$ auftritt. -- HilberTraum (Diskussion) 20:32, 16. Mai 2014 (CEST)

Genau das habe ich doch gesagt :-). (Wobei die eine zusätzliche Multiplikation und Division zur Berechnung beider Lösungen jetzt nicht so viel ausmachen). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:05, 16. Mai 2014 (CEST)

Ach so, sorry, ich hab das irgendwie als „Gegenargumentation“ aufgefasst, aber jetzt wo ich nochmal genauer lese … :-) -- HilberTraum (Diskussion) 21:15, 16. Mai 2014 (CEST)

@Quartl. Diskriminante bei 0, das hat doch mit dem Thema jetzt überhaupt nichts zu tun! Weil das stellt für die „Schulversion“ gar kein Problem dar.

Also: Hausaufgabe für die 7.Klasse. Löse folgende Gleichung nach y auf. x*y²+6*y-10=0

Erstelle eine Wertetabelle der neuen Funktion y=f(x) von x=0 bis x=5. Verwende dabei nicht die Ausgangsgleichung!

Einen Teil der Aufgabe hab ich schon gelöst. Und jetzt lösen wir den zweiten Teil der Aufgabe. („-“ vor der Diskriminante in der Schulversion)

$y={\frac {-6-{\sqrt {36+40\cdot x}}}{2\cdot x}}={\frac {-20}{-6+{\sqrt {36+40\cdot x}}}}$

Und hier würde ich mich eher für die Schulversion entscheiden. Da sieht man gleich. Wenn x nahe bei 0 liegt, so haben näherungsweise das Ergebnis -6/x. Also y=+ unendlich wenn wir uns von der negativen Seite an 0 nähern und y=-unendlich wenn wir uns von der positiven Seite annähern.

Gut, aber die Frage war. Wie löst man möglichst einfach den ersten Teil der Aufgabe ohne Alternativformel.

Und da kam bis jetzt nichts zum Thema.

@Digamma. Wenn die eine Formel versagt, dann nehm ich die Andere. Könntest du mir mal erklären, worauf du hinaus willst.--Willi windhauch (Diskussion) 09:09, 18. Mai 2014 (CEST)

Genau darauf. Wenn die Mitternachtsformel versagt, weil $a=0$ ist, nehme ich die Formel $x=-{\frac {c}{b}}$. (Und wenn c = 0 ist, habe ich ein Nullprodukt und erhalte ohne Mitternachtsformel $x_{1}=0$ und $x_{2}=-b$.) --Digamma (Diskussion) 11:02, 18. Mai 2014 (CEST)

Zu deinem Schulbeispiel: Zunächst: Bei uns werden quadratische Gleichungen erst in Klasse 8 gelöst. In Klasse 7 löst man lineare Gleichungen. Aber zur Aufgabe selbst: Das Mittel der Wahl ist eine Fallunterscheidung:

1. Fall: $x=0$. Das führt auf die lineare Gleichung 6 y - 10 = 0. Die Lösung ist 5/3.

2. Fall: $x\neq 0$. Das führt auf die beiden Lösungen

$y_{1}={\frac {-6-{\sqrt {36+40\cdot x}}}{2\cdot x}}$ und $y_{2}={\frac {-6-{\sqrt {36+40\cdot x}}}{2\cdot x}}$ Diese sind natürlich nur vorhanden, wenn die Diskriminante größer gleich 0 ist, also für $x\geq -9/10$.

Der zweite Teil der Aufgabe ist keine Aufgabe für Klasse 7 oder 8, sondern für Klasse 11 oder 12 (wenn überhaupt). Eine Funktion y = f(x) ist überhaupt nicht definiert, da die Gleichung für jedes x (außer x = 0 und x = -9/10) zwei Lösungen besitzt. Man muss sich also erstmal überhaupt einen Überblick darüber verschaffen, welche Äste die durch die Gleichung definierte Kurve hat und wie sich diese in Funktionsgraphen zerlegen lässt.

Noch etwas zu deiner Lösungsformel: Wenn die Lösung nicht numerisch zu bestimmen ist, dann wird in der Regel verlangt, dass der Nenner rational gemacht wird (also keine Wurzel enthält). Das liefert die Mitternachtsformel, aber deine Formel nicht. --Digamma (Diskussion) 11:02, 18. Mai 2014 (CEST)

@Willi windhauch: wir haben oben überlegt, ob deine vorgeschlagene Formel möglicherweise in der Numerik Anwendung finden könnte. Die Numerik ist ein eigener Zweig der Mathematik, der sich unter anderem mit Rundungsfehlern auseinandersetzt. Wir haben festgestellt, dass deine Formel zwar grundsätzlich dazu beitragen kann, Auslöschung zu vermeiden, allerdings wird in der Praxis stattdessen andere Formel verwendet (siehe das oben verlinkte Numerik-Buch). Die Herleitung der Formel aus dem Buch erfolgt dabei, wie bei dir, durch Erweitern des Bruchs. (Ein zusätzliches numerisches Problem besteht wenn die Diskriminante nahe bei null liegt, aber führt hier jetzt zu weit.) Mal andersrum gefragt: kannst du uns ein Buch nennen, in dem deine Formel Verwendung findet? Wenn nein verweise ich – wie Digamma oben schon – nochmals auf Wikipedia:Keine Theoriefindung. Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:22, 18. Mai 2014 (CEST)

@diagamma

Nochmal folgende Gleichung:

$x\cdot y^{2}+6\cdot y-10=0$

Als eine mögliche Lösung hast du ja schon voll korrekt an der Stelle x=0 y=5/3 gefunden. Und jetzt mach ich Folgendes: Ich klick da drauf… Funktionsplotter

… und geb das da ein: 20/(6+sqrt(36+40*X))

Dort kann ich mir auch eine Wertetabelle anzeigen lassen: Für x=0 liefert mir die auch den korrekten Wert y=5/3.

Und jetzt kommst du. Leite eine funktionierende Funktionsgleichung ab, die dasselbe leistet, wie meine Alternativformel.

@Quartl. Nein, ich kann dir kein Buch zeigen, wo die Alternativformel drin steht. Na und? Ist etwas allein schon aus dem Grund unkorrekt, weil es in keinem Buch steht?--Willi windhauch (Diskussion) 08:51, 19. Mai 2014 (CEST)

Hast du Wikipedia:Keine Theoriefindung gelesen? --Quartl (Diskussion) 09:01, 19. Mai 2014 (CEST)

Ja, ich hab die Sache mit der Theoriefindung gelesen. Und wenn eine einfache mathematische Umformung schon als Theoriefindung gilt, dann hab ich jetzt keine Gegenargumente mehr außer…

…ihr könnt meine letzte Gleichung nicht so plottergerecht umformen, dass in der Wertetabelle für den Wert x=0 das Ergebnis y=5/3 erscheint.--Willi windhauch (Diskussion) 08:49, 26. Mai 2014 (CEST)

Herleitung zu schwierig für Anfänger

Es sind in dieser Herleitung Rechenschritte ausgelassen oder nicht erklärt, das macht diese Herleitung schwierig für Nicht-Profis. Für solche gibt es eine vorbildlich laienfreundliche Herleitung unter http://mathekram.wordpress.com/2007/09/07/die-mitternachtsformel-lehrplan-9-klasse-ii/ --Gr5959 (Diskussion) 11:05, 21. Jun. 2014 (CEST)

Hmm, wo fehlt denn da was? Zugegeben, die Herleitung kommt erst nach der Präsentation der resultierenden Endformeln, aber dann kommt das Kapitel "Herleitung der p-q-Formel", und da wird m. E. kein Schritt ausgelassen. --PeterFrankfurt (Diskussion) 01:49, 22. Jun. 2014 (CEST)

Ich habe mal Erläuterungen der Gleichungsumformungen hinzugefügt. --Digamma (Diskussion) 21:58, 26. Jul. 2014 (CEST)

Quadratische Gleichungen in allgemeinen Ringen

Der Abschnitt ist falsch. Die PQ-Formel ist nicht in jedem Ring, in dem die Charakteristik ungleich 2 ist, anwendbar. Der Abschnitt ist auch gar nicht belegt. Wer hat sich das denn ausgedacht? --Jobu0101 (Diskussion) 00:31, 17. Okt. 2015 (CEST)

Offensichtlich gilt die pq-Formel schon nicht in $\mathbb {Z}$, wenn p ungerade ist. Also einfach löschen. --Digamma (Diskussion) 10:48, 17. Okt. 2015 (CEST)

Ich habe mir gerade hergeleitet, dass man in kommutativen Ringen, in denen 2 eine Einheit ist, jede Lösung als

$-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

schreiben kann. Die Wurzel ist hierbei nicht als Funktion zu verstehen, sondern liefert Lösungen für die Gleichung $y^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q$. Andersrum gilt, dass jede Lösung sich auf diese Form in genau einer Weise schreiben lässt. Das heißt zusammenfassend, die ursprüngliche quadratische Gleichung hat genau so viele Lösungen wie ${\frac {p^{2}}{4}}-q$ Wurzeln. Hierbei ist zu beachten, dass bewusst auf das $\pm$ verzichtet wurde. Mit dem $\pm$ kommen zwar auch nur Lösungen raus, man bekommt aber alle Lösungen doppelt. --Jobu0101 (Diskussion) 22:20, 18. Okt. 2015 (CEST)

Bleibt das Problem der fehlenden Belege. --Digamma (Diskussion) 16:46, 19. Okt. 2015 (CEST)

Das ist das tolle in der Mathematik, ein Beweis ist der stärkste Beleg, den es gibt und mehr bedarf es nicht. --Jobu0101 (Diskussion) 10:32, 20. Okt. 2015 (CEST)

Im Artikel schon. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:55, 20. Okt. 2015 (CEST)

Für mathematische Trivialitäten, die man sofort überprüfen kann, braucht es keinen weiteren Beleg. --Jobu0101 (Diskussion) 22:11, 28. Nov. 2015 (CET)

Das Problem mit "trivial" ist, dass dies im Auge des Betrachters liegt.--Kmhkmh (Diskussion) 22:17, 28. Nov. 2015 (CET)

Descartes und Lösung mit Zirkel und Lineal

Hat jemand genauere Information, was genau Descartes wo geschrieben hat? Wohl unabhängig von Descartes gibt es zur Lösung mit Zirkel und Lineal ansonsten auch den Carlyle-Kreis.--Kmhkmh (Diskussion) 00:53, 25. Okt. 2016 (CEST)

schlauerlernen.de

Nach einem ersten Versuch hier (noch als IP), die eigene Webseite zu promoten (den ich zurückgesetzt habe), nun hier der nächste Versuch mit einem neu angelegten Account.
Ich bitte um Meinungen, ob diese Webseite einen enzyklopädischen Mehrwert für die Leser darstellt.
Einige andere Weblinks scheinen mir übrigens auch nicht „vom Feinsten“ zu sein, wie es eigentlich als Kriterium für die Aufnahme von externen Links vorgesehen ist.
Danke, Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   10:09, 14. Feb. 2018 (CET)

Fehlendes Minuszeichen

Im Abschnitt "Einfache Spezialfälle" Unterabschnitt "Gleichung in Scheitelpunktform" fehlt in der sechsten Zeile, zweite Formel, das Minuszeichen vorher:

$x-d={\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}$ oder $x-d={\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}$.

nachher:

$x-d={\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}$ oder $x-d=-{\sqrt {-{\frac {e}{a}}}}$.

Bitte um Korrektur. Danke. (nicht signierter Beitrag von Hfghhfgh (Diskussion | Beiträge) 20:17, 10. Mär. 2018 (CET))

jetzt behoben, danke für den Hinweis.--Kmhkmh (Diskussion) 20:41, 10. Mär. 2018 (CET)

---

Fehlendes Minuszeichen die 2.
in der ersten Berechnungsformel ganz oben am Artikel-Anfang fehlen ebenfalls die Minuszeichen

Dort falsch: x1/2= (b+/- Wurzel(b^2 4ac))/2a.

richtig: x1/2= (-b +/- Wurzel(b^2-4ac))/2a.

Bitte gerne gelegentlich korrigieren. :) (nicht signierter Beitrag von 80.137.106.190 (Diskussion) 00:45, 27. Dez. 2020 (CET))

Nachtrag:
Die Minuszeichen fehlen nicht, werden aber erst ab einer gewissen Vergrößerung sichtbar.
ggf. wäre es zweckmäßig/möglich die Minuszeichen etwas dicker zu gestalten, so daß sie gleichzeitig mit dem Pluszeichen sichtbar werden? (nicht signierter Beitrag von 80.137.106.190 (Diskussion) 00:47, 27. Dez. 2020 (CET))

Grafik zu Nullstellen

Grafik, um die es geht

Ich halte die Grafik nicht für optimal. Jemand, der nicht mit dem Sachverhalt vertraut ist, könnte auf die Idee kommen, die Lage relativ zu y-Achse spiele eine Rolle. Wie wäre es, die y-Achse einfach wegzulassen? Anka ☺☻Wau! 20:49, 10. Mär. 2018 (CET)

Die y-Achse signalisiert ein (Standard-2d-)Koordinatensystem, daher halte ich es für keine gute Idee, das wegzulassen.--Kmhkmh (Diskussion) 22:13, 10. Mär. 2018 (CET)

Einfach erklärt

Die quadratische Gleichung kann als eine "rechteckige" Gleichung ganz einfach erklärt werden. Die quadratische Gleichung gibt uns die Fläche einer Rechteck an, bei dem wir noch wissen wie groß das Verhältnis der beiden Seiten. Die Frage ist, wie groß kann die Seite (x) eines Rechtsecks mit einer bestimmten Fläche und Seitenverhältnis sein.

Die Koeffizienten von Vieta geben uns Information wie die Rechecken in einer Koordinatensystem gespiegel werden könnten

Vermögen als Fläche

Die quadratische Gleichung ax²+bx+c=0 oder ax²-(-b)x+c=0 gibt folgendes an: Nehmen wir die Fäche von a an Zahl Quadraten mit Seite x (a.x²) und ziehen wir von dieser Fäche die Fläche eines Rechtecks mit Seiten x und -b ((-b)x), müssen wir letzendlich um Faktor c (c) korrigieren damit wir am Schluss Null 0 bekommen.

Lösungsformeln

Vorschlag: Da die meisten Besucher dieser Seite wohl die (reellen) Lösungsformeln, insbesondere die p-q-Formel, suchen, wäre es gut, diese kundenfreundlich gleich im ersten Abschnitt augenfällig zu platzieren. Nicht erst nach langen Diskussionen über Diskriminante, Spezialfälle und komplexe Lösungen. --Ag2gaeh (Diskussion) 08:45, 25. Jun. 2020 (CEST)

Eine kurze Erwähnung/Darstellung der abc-Formel könnte man in die Einleitung übernehmen bzw. ergänzen. Dann hääte die Einleitung alles, was man beim schnellen Nachschlagen benötigt und wer die Variante, Herleitungen oder Details benötigt, kann im Inhaltsverzeichnis browsen.--Kmhkmh (Diskussion) 08:52, 25. Jun. 2020 (CEST)

P.S.: Ich mal mal einen entsprechenden Vorschlag ergänzt.--Kmhkmh (Diskussion) 09:55, 25. Jun. 2020 (CEST)

Koeffizienten

Man sollte in diesen Artikel auch noch einfügen, wie man vorgehen kann, wenn die Koeffizienten a, b und c in einer Gleichung gar nicht vorhanden sind. Ein Beispiel dazu:

$x^{2}-x-1=0$

$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0$

$a=1,\quad b=(-1),\quad c=(-1)$

-- Karl Bednarik (Diskussion) 08:44, 28. Jun. 2020 (CEST).

Das ist elementarste Algebra. Klasse 7 oder 8. Bist du sicher, dass das hier stehen sollte? Aber vielleicht kann man das in ein Beispiel einbauen. --Digamma (Diskussion) 10:13, 28. Jun. 2020 (CEST)

Hallo Digamma. Ja, ich bin ganz sicher. Noch eine Zusatzfrage: Kann man ax^2+bx+c=y nach x auflösen? Nicht damit gemeint ist ax^2+bx+c=0. Sondern die zwei möglichen x-Werte zu einem beliebigen y-Wert. Bei b*x+c=y wäre es x=(y-c)/b und bei a*x^2+c=y wäre es x=sqrt((y-c)/a). Leider scheitere ich auch an dieser Frage. Mit freundlichen Grüßen, -- Karl Bednarik (Diskussion) 18:14, 28. Jun. 2020 (CEST).

$ax^{2}+bx+c=y\,\Rightarrow \,ax^{2}+bx+(c-y)=0\,\Rightarrow \,x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4a(c-y)}}}{2a}}$--Kmhkmh (Diskussion) 18:23, 28. Jun. 2020 (CEST)

Danke für die Hilfe. Ich bin echt verblüfft. -- Karl Bednarik (Diskussion) 18:28, 28. Jun. 2020 (CEST).

P.S.: Der Schritt vor der Anwendung der Mitternachtsformel ist eine Äquivalenzumformung und inzwischen löst so etwas auch jeder bessere Taschenrechner bzw Mathesoftware auch symbolisch (siehe z.B. GeoGebra oder WolframAlpha)--Kmhkmh (Diskussion) 18:46, 28. Jun. 2020 (CEST)

Vielleicht könnte man die Lösungen meiner beiden Probleme hier einbauen: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematikunterricht/_Quadratische_Gleichungen Mehr als die Hälfte aller Menschen wären für diese Hinweise dankbar. Ich kam von dieser Diskussion hier her: Diskussion:Goldener_Schnitt#Gleichung_als_Diagramm -- Karl Bednarik (Diskussion) 07:07, 29. Jun. 2020 (CEST).

So ganz kann ich die Anregung von Karl Bednarik nicht verstehen. In dem angegebenen Beispiel sind die Koeffizienten sehr wohl vorhanden. Sie können eben auch 1 sein. Dann muss man nicht explizit 1x schreiben. x reicht dann aus. b und c können sogar auch 0 sein $x^{2}=0$ ist auch eine (sehr einfache) quadratische Gleichung. -- Djat (Diskussion) 21:36, 3. Nov. 2020 (CET)

Genau diese von Dir mitgeteilten Informationen müssen einem mathematischen Laien mindestens einmal explizit erklärt werden. -- Karl Bednarik (Diskussion) 09:23, 4. Nov. 2020 (CET).

Ich habe nun mal das Beispiel eingefügt. --Digamma (Diskussion) 14:18, 18. Feb. 2021 (CET)

Danke Digamma, das ist für alle Laien eine große Hilfe. -- Karl Bednarik (Diskussion) 05:55, 20. Feb. 2021 (CET).

Hallo Digamma, ich habe noch eine zusätzliche Bitte: Kann man auch noch in den Artikel einbauen, wie man ax^2+bx+c=y nach x auflösen kann? Nicht damit gemeint ist ax^2+bx+c=0. Sondern die zwei möglichen x-Werte zu einem beliebigen y-Wert. In dieser Diskussion wurde das ja bereits gut erklärt. -- Karl Bednarik (Diskussion) 06:17, 20. Feb. 2021 (CET).

Dafür sehe ich jetzt keinen Anlass. Wie kmhkmh oben ausgeführt hat: Das ist eine triviale Umformung. Dieser Artikel kann nicht elementare Algebrakenntnisse ersetzen. Was ich mir vorstellen kann, ist ein Beispiel, wie man mit quadratischen Gleichungen umgeht, die noch nicht in allgemeiner Form sind. Aber nochmal: Wikipedia ist kein Lehrbuch. Für Schüler oder für andere Menschen, die das Thema quadratische Gleichungen auf Schulniveau lernen wollen, gibt es bessere Seiten im Internet. --Digamma (Diskussion) 12:16, 20. Feb. 2021 (CET)

Hallo Digamma, welche wirklich leicht verständlichen Seiten im Internet kannst Du dafür empfehlen? Eventuell könnte man diese Links dann auch an den Artikel anhängen. Die Suche von den x-Werten zu den y-Werten hatte im Labor immer einen großen praktischen Wert. Ich wette, dass mehr als die Hälfte aller Menschen keine Ahnung haben, wie man das macht. -- Karl Bednarik (Diskussion) 04:01, 21. Feb. 2021 (CET).

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen: Lernen die Mitarbeiter im Labor keine Algebra? Die müssten doch einen Schulabschluss haben, der über den Hauptschulabschluss hinausgeht, und auch während der Ausbildung Mathematikunterricht haben. --Digamma (Diskussion) 12:28, 21. Feb. 2021 (CET)

Hallo Digamma, ganz allgemein kann man sagen, dass ungefähr die Hälfte aller Menschen in Deutschland und in Österreich keine Abitur oder keine Matura haben. Diese Menschen sollen durch die Wikipedia informiert werden, und nicht ignoriert werden (siehe Wikipedia:Allgemeinverständlichkeit). In meinem speziellen Fall hat sich im Jahre 1964 meine Ausbildung zum Chemotechniker ohne Matura mathematisch auf die Stöchiometrie konzentriert. In den Jahren von 1980 bis 1990 schrieb ich dann eine Reihe von nützlichen BASIC-Programmen, die in unserem Institut allgemein beliebt waren. Nachdem die a-b-c-Werte des Polynoms ohnehin durch die Iteration bestimmt wurden, habe ich notgedrungen auch die x-Werte aus den y-Werten durch eine Iteration bestimmt. Jetzt, nachdem ich schon 18 Jahre in Pension bin, habe ich das Ganze noch einmal besser in C++ versucht. Dabei entdeckte ich einige Wissenslücken. Leider kann man nicht nach Begriffen suchen, deren Namen, oder gar, deren Existenz man nicht kennt. Der Schritt von ax^2+bx+c=y zu ax^2+bx+c-y=0 ist natürlich ganz einfach. Der Schritt, dass man (c-y) dann in die Mitternachtsformel einbauen kann, dieser Schritt ist der Schwierige. Hier ist noch ein Bild von meinem C++-Programm: http://members.chello.at/karl.bednarik/QUARGEL1.png Zu sagen, dass das jeder Taschenrechner kann, das ist nicht besonders informativ. -- Karl Bednarik (Diskussion) 03:37, 22. Feb. 2021 (CET).

Nullform (erl.)

Nullform ist eine Weiterleitung auf quadratische Gleichung, aber im Artikel wird er Begriff „Nullform“ nicht aufgeführt. Entweder die Weiterleitung wird gelöscht, oder der Begriff wird im Artikel aufgeführt und damit erklärt. Die Weiterleitung leitet auf die Überschrift Quadratische Gleichung#Allgemeine Form und Normalform weiter. Für was steht „Nullform“? Ist „Nullform“ ein Synonym für die „Allgemeine Form“ oder die „Normalform“ oder ist das noch eine andere Form? --Fomafix (Diskussion) 20:12, 2. Nov. 2020 (CET)

Ich habe den Begriff noch nie gehört. Ich glaube nicht, dass der verbreitet ist und plädiere deshalb für löschen. (Laut Zusammenfassungszeile des Erst-Edits soll es sich um die allgemeine Form handeln.) --Digamma (Diskussion) 22:09, 2. Nov. 2020 (CET)

Ich schließe mich vollumfänglich der Argumentation von Digamma an. --Djat (Diskussion) 21:30, 3. Nov. 2020 (CET)

Ich habe einen Löschantrag auf die Weiterleitung Nullform gestellt: Wikipedia:Löschkandidaten/9. November_2020#Nullform. --Fomafix (Diskussion) 08:23, 9. Nov. 2020 (CET)

Nach entsprechender Ergänzung des Artikels inkl. Quellenverweis auf ein Lehrbuch aus einem einschlägig renommierten Verlag m. E. erledigt. Gruß, --Yen Zotto (Diskussion) 11:00, 9. Nov. 2020 (CET)

Die drei neuen Quellen zur Nullform widersprechen sich, teilweise sogar in der Quelle selbst:

1. https://123mathe.de/polynomgleichungen#:~:text=Um%20eine%20solche%20Gleichung%20zu,Form%20der%20Polynomgleichung%20auch%20Normalform. schreibt sinngemäß „Nullform und Normalform sind Synonyme“ und „Nullform ist, wenn auf der rechten Seite eine Null steht“.
2. http://www.lernwerk.tv/lernkarte/nullform-einer-quadratischen-gleichung.html schreibt „Was ist die Nullform einer quadratischen Gleichung? Alle Klammern sind aufgelöst, auf einer seite der gleichung steht eine Null und auf der anderen Seite sind die Glieder dem Exponenten nach sortiert. ax² + bx + c = 0“, also eine allgemeine Form.
3. https://books.google.de/books?id=amHpBQAAQBAJ&pg=PA29&q=nullform#v=onepage&q=nullform&f=false „Die Nullform ist nichts anderes als: Ausdruck = 0.“

Beispielsweise ist die Gleichung $3x+2x^{2}+(4+x)^{2}=0$ eine quadratische Gleichung in „Nullform“, aber keine „allgemeine Form“ und keine „Normalform“. So kann das nicht stehen bleiben. --Fomafix (Diskussion) 11:44, 9. Nov. 2020 (CET)

Im Artikel steht es in der am wenigsten weit gehenden Form, d. h. in derjenigen, die von allen Quellen gedeckt ist. Es ist eigentlich nicht meine Baustelle, aber ich denke, die Quellenlage wird von dem jetzigen Text vernünftig wiedergegeben. Gruß, --Yen Zotto (Diskussion) 12:00, 9. Nov. 2020 (CET)

Ich sehe noch folgendes Problem: Die Bezeichnung "Nullform" bezieht sich dem Wortlaut nach nicht von vornherein auf eine quadratische Gleichung. Grundsätzlich kann jede Gleichung, insbesondere jede Polynomgleichung, in Nullform notiert werden. Schon deshalb passt meiner Meinung nach die Weiterleitung auf "Quadratische Gleichung" nicht. --Digamma (Diskussion) 13:52, 9. Nov. 2020 (CET)

+1. Wenn schon, müsste auf Gleichung oder Polynomgleichung (seinerseits eine Weiterleitung auf Polynom) weitergeleitet werden. In keinem dieser Artikel kommt im Übrigen der Begriff Nullform vor. Troubled @sset   ^{[ Talk ]}   14:38, 9. Nov. 2020 (CET)

Das stimmt allerdings. Zudem gibt es noch eine andere Bedeutung des Worts (in der Invariantentheorie), so dass vielleicht das Lemma Nullform sowieso besser mit einer BKS belegt werden sollte; siehe Diskussion:Nullform. Gruß, --Yen Zotto (Diskussion) 15:14, 9. Nov. 2020 (CET)

Ergänzung zu meinem obigen Posting: Das Buch Anwendungsmathematik für Wirtschaftswissenschaftler von Heiko Tallig ist keine zuverlässige Quelle. Da steht die Behauptung "Satz des Vieta = p-q-Formel", was handebüchener Unsinn ist (auch wenn die p-q-Formel tatsächlich von Vieta stammt). --Digamma (Diskussion) 18:31, 9. Nov. 2020 (CET)

@Digamma: Die bei der Normalisierung einer Datenbank zu Beginn vorliegenden Rohdaten - meistens eine Tabelle - nennt man auch Nullform. Damit ist das eindeutig ein Fall für BKS. Ich baue das mal um. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 18:24, 18. Feb. 2021 (CET)

Ich habe die Quellen 1 und 2 entfernt, da dort Nullform und Normalform gleichgesetzt werden, was nicht zum Artikelinhalt passt. --Fomafix (Diskussion) 20:33, 18. Feb. 2021 (CET)

Das kann ich jetzt nicht nachvollziehen. Wenn Artikelinhalt und Quellen voneinander abweichen, dann müsste der Artikelinhalt an die Quellen angepasst werden. Es sei denn, es gibt andere Gründe, die Quellen nicht für maßgeblich zu halten. --Digamma (Diskussion) 22:41, 18. Feb. 2021 (CET)

Geschichte

Ich finde den Beginn dieses Abschnitts sehr unglücklich, weil er unzutreffende Eindrücke vermittelt:

• Babylonier haben keine quadratischen Gleichungen gelöst, sondern geometrische Probleme, deren Berechnung auf eine quadratische Gleichung führen würde.
• Brahmagupta hat tatsächlich eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen beschreiben, und zwar rein verbal. Sogar für negative Koeffizienten. Was aber soll dann der Verweis auf das Bild mit einer geometrischen Argumentation?

--Lefschetz (Diskussion) 08:57, 20. Nov. 2020 (CET)

Punkt bei Formeln

Hallo Benutzer:Antonsusi. Um es klar zu machen:

$mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm$ .

Wenn der Punkt nicht allein darunter steht, vergrößere das Bild und du wirst feststellen, dass die Formel in einer Zeile bleibt, sogar außerhalb des Rahmens, und der Punkt ganz allein darunter...

Der Sinn von nbsp wäre, den Punkt an den vorherigen Satzteil zusammen zu halten. Das passiert bei Formeln nicht (zumindest bei Mozilla). Daher, entweder ein einfaches Leerzeichen (was zu Trennung des Punktes vom Satz führt), oder in der Formel (klar ist es nicht Teil der Formel, aber NUR dann wird er nicht getrennt, vom Aussehen her macht es keinen Unterschied). nbsp bringt einfach nichts, erfüllt sein Ziel (nach Formeln) nicht und daher ist es überflüssig... LG! Yomomo (Diskussion) 10:57, 31. Jan. 2021 (CET)

Kann ich nicht reproduzieren. Bekommst du eine Grafik oder ein MathML-Objekt? ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 11:32, 31. Jan. 2021 (CET)

Habe es gerade hinbekommen. Das passiert aber nur bei Fließtext und riesigen Formeln. Bei kurzen, abgesetzten Formeln sollte das Satzzeichen draußen bleiben, um im Falle einer PNG-Renderung das Zeichen nicht im Bild zu haben. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 11:40, 31. Jan. 2021 (CET)

Ich bin eher für eine einheitliche Darstellung. Einen Punkt im PNG kann man leicht mit einem Bild-Bearbeitungsprogramm löschen. nbsp macht allerdings in allen Fällen absolut keinen Sinn. Das bringt einfach nichts. Aber wie du meinst... Besser wäre es allerdings, die Mathe-Qualitätssicherungsgruppe zu fragen... Yomomo (Diskussion) 11:48, 31. Jan. 2021 (CET)

Benutzer Nomen4Omen hat mich auf meiner D-Seite angeschrieben. Da habe ich das Problem genauer beschrieben, denn es ist eine Aufgabe für den WP-Parser. ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 12:08, 31. Jan. 2021 (CET)

Die erweiterte Mitternachtsformel

Die normale Mitternachtsformel

Wenn man eine Gleichung in dieser Form hat:

$ax^{2}+bx+c=0$

dann kann man die x-Werte bei einem y-Wert von 0 durch diese Gleichung berechnen (falls die Kurve dort vorbei kommt):

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Die erweiterte Mitternachtsformel

Falls man aber eine Gleichung in dieser Form hat:

$ax^{2}+bx+c=y$

dann kann man die x-Werte bei einem beliebigen y-Wert durch diese Gleichung berechnen (falls die Kurve dort vorbei kommt):

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4a(c-y)}}}{2a}}$

Begründung und Abstimmung

Im Sinne der Wikipedia:Allgemeinverständlichkeit und im Sinne der Barrierefreiheit für mathematische Laien weise ich darauf hin, dass mehr als die Hälfte der deutschsprachigen Mitteleuropäer kein Abitur und keine Matura haben, sowie keine dafür ausreichenden mathematischen Kenntnisse haben, und dass die hauptberuflichen Mathematiker eine sehr kleine Minderheit darstellen. Ich empfehle deshalb das Einfügen der erweiterten Mitternachtsformel in diesen Artikel, oder zumindest eine Abstimmung darüber, ob man die erweiterte Mitternachtsformel in diesen Artikel einfügen sollte. P. S.: In dieser Diskussion wurde das schon weiter oben einmal erwähnt. -- Karl Bednarik (Diskussion) 08:19, 14. Mär. 2021 (CET).

Dann müssen wir aber für jede mögliche Form einer quadratischen Gleichung schreiben, wie man sie lösen soll. Zum Beispiel für

$2x(x-2)+3=x^{2}$

Erwartest du das tatsächlich?

Was das Abitur betrifft: Terme und Gleichungen umzuformen lernt man heutzutage meines Wissens in jeder Schulart. Wenn nicht auf der Hauptschule, dann spätestens in der Berufsschule. Dein Beispiel würde man einfach dadurch lösen, dass man die Gleichung auf die allgemeine Form bringt, indem man das y auf der rechten Seite subtrahiert. Es macht überhaupt keinen Sinn, dafür eine getrennte Formel aufzuschreiben oder gar zu lernen. --Digamma (Diskussion) 15:37, 14. Mär. 2021 (CET)

PS: Der Begriff "erweiterte Mitternachtsformel" wäre Begriffsfindung. --Digamma (Diskussion) 15:39, 14. Mär. 2021 (CET)

Noch eine Ergänzung: Quadratische Gleichungen haben zunächst gar nichts mit quadratischen Funktionen zu tun, das heißt, es gibt überhaupt keinen y-Wert, der 0 sein könnte. "Falls die Kurve dort vorbeikommt" macht deshalb auch keinen Sinn (und ist sowieso eine völlig umgangssprachliche Formulierung). (nicht signierter Beitrag von Digamma (Diskussion | Beiträge) 15:42, 14. Mär. 2021 (CET))

+1: Eine „erweiterte Mitternachtsformel“ ist mir weder in meinem beruflichen Leben jemals unter die Augen gekommen, noch lässt sie sich bei Google Books nachweisen. Wozu auch? Siehe vorstehend. Hier in WP für banale „Verallgemeinerungen“ neue Begriffe zu erfinden, ist reine Theoriefindung. --Lefschetz (Diskussion) 18:03, 14. Mär. 2021 (CET)

Die Bezeichnung "erweiterte Mitternachtsformel" ist nur eine vorläufige Bezeichnung im Rahmen dieser Diskussion, und kann jederzeit durch eine andere Bezeichnung ersetzt werden, die den hauptberuflichen Mathematikern besser gefällt. "Völlig umgangssprachliche Formulierungen" und "banale Verallgemeinerungen" gefallen den hauptberuflichen Mathematikern vielleicht nicht besonders gut, aber sie helfen den mathematischen Laien ein wenig, um zu verstehen, um was es sich dabei überhaupt handelt. Eine Abstimmung würde zeigen, dass mehr als die Hälfte aller Teilnehmer meinen Vorschlag befürworten würde. -- Karl Bednarik (Diskussion) 03:36, 15. Mär. 2021 (CET). Korrektur: -- Karl Bednarik (Diskussion) 03:40, 15. Mär. 2021 (CET).

Die „Abstimmung“ läuft ja bereits in Form der Diskussion. Derzeit, wenn ich richtig zähle, steht's 1:2. Beachtet werden sollten zwei entscheidende Negativ-Kriterien von Wikipedia, die sich nicht nur auf Benennungen, sondern auch dargelegte Inhalte beziehen: Relevanz und Keine Theoriefindung--Lefschetz (Diskussion) 09:56, 15. Mär. 2021 (CET)

Hallo! Ehrlich gesagt, würde ich eine einfache Umformung nicht gerade als Theoriefindung bezeichnen. Eine Berechnung, die man spätestens in der 9. Schulstufe selber durchführen können soll, ist ja keine neue Theorie. Das Relevanzkriterium finde ich wichtiger, die vorgeschlagene Formel könnte vielleicht in der quadratischen Funktion vorkommen (um es klar zu machen: hier m.E. nicht). Notwendig finde ich das allerdings auch da nicht, weil ich mir nicht vorstellen kann, dass jemand die Funktion versteht und die Umformung nicht durchführen kann. In einem Buch (z.B. in Wikibooks) wäre es vielleicht doch sinnvoll, ich als Lehrer würde das doch nicht machen, da ich keinen Sinn darin finde, noch eine Formel zum Auswendiglernen vorzuschlagen, wenn es wichtiger ist, den Prozess zu lernen. Aber das ist ja Geschmackssache. Das Argument "dann müssen wir aber für jede mögliche Form einer quadratischen Gleichung schreiben, wie man sie lösen soll" kann ich allerdings auch nicht nachvollziehen, die vorgeschlagene Lösung ist kein "Einzelfall", sondern eine allgemeine Lösung der quadratischen Funktion auf x. Falls sie im Artikel der quadratischen Funktion vorkommt, dann halt mit einem Titel in dieser Richtung (etwa: allgemeine Lösung der quadratischen Funktion auf x), das mit der Mitternacht finde ich auch nicht besonders gelungen und ist mir auch unbekannt. :-) LG! Yomomo (Diskussion) 10:38, 15. Mär. 2021 (CET)

"Falls sie im Artikel der quadratischen Funktion vorkommt, ...": Ja, das geht in die richtige Richtung. Als Anwendungsbespiel dafür, wo eine quadratische Funktion einen bestimmten Wert annimmt, kann man das an der entsprechenden Stelle selbstverständlich darlegen.--Lefschetz (Diskussion) 11:37, 15. Mär. 2021 (CET)

Zur "Theoriefindung": Das meint wohl hier eher die Bezeichnung "verallgemeinerte Mitternachtsformel" als den Inhalt. In der Sache: Ja, da geht es eher darum, wie man die Gleichung einer quadratischen Funktion nach x auflöst (also die Funktion umkehrt), deshalb hat so etwas wohl eher im Artikel über quadratische Funktionen seinen Platz.

Die Bezeichnung "Mitternachtsformel" an sich ist in Deutschland im Schulunterricht durchaus gängig. Hingegen empfinde ich die Formulierung allgemeine Lösung der quadratischen Funktion auf x als fremdartig. Lösen kann man Gleichungen, Formeln kann man auflösen, aber Funktionen kann man meiner Meinung nach nicht "lösen". Aber ich denke, ich weiß, was du meinst. --Digamma (Diskussion) 22:28, 15. Mär. 2021 (CET)

falsches Verb, sorry :-) Yomomo (Diskussion) 22:31, 15. Mär. 2021 (CET)

Ich bin ebenfalls dafür, diese Methode, wie man die Gleichung einer quadratischen Funktion nach x auflöst, in den Artikel über die Quadratische Funktion einzufügen. (Von einer quadratischen Funktion, im Gegensatz zu einer quadratischen Gleichung, lese ich hier zum ersten mal.) Berechnungen, die man spätestens in der 9. Schulstufe selber durchführen können soll, werden in der echten Realität von weniger als der Hälfte aller Menschen beherrscht. (Inclusive aller jener Menschen, die die 9. Schulstufe gar nicht erfolgreich erreichen konnten.) Als einer dieser zahlreichen Menschen musste ich mehrere Tage lang mühevoll im Internet suchen, um diese Informationen zu erhalten. Mein Ziel ist es, den anderen Menschen diese Mühe zu ersparen, denn dazu ist ein Nachschlagewerk ja da. -- Karl Bednarik (Diskussion) 03:41, 16. Mär. 2021 (CET).

„denn dazu ist ein Nachschlagewerk ja da“ – nein, ist es nicht. Es ist nicht die Aufgabe eines enzyklopädischen Artikels über quadratische Gleichungen, trivialste lineare Umformungen zu erklären. Wer nicht erkennt, dass man x + 2 = 2 durch Subtraktion von 2 auf beiden Seiten in x = 0 umwandeln kann, sollte ein elementares Lehrbuch der Mathe-Sekundarstufe 1 konsultieren und nicht an enzyklopädischen (!) Artikeln über quadratische Gleichungen kritisieren, dass sie das nicht auch noch erklären.
Schon in der Diskussion zum Goldenen Schnitt hat uns der Kollege Karl Bednarik sein Leid geklagt, dass er zwar in der Lage war, zu verstehen, dass bei $a*x=3*x$   der Faktor a = 3 ist, dass er aber überfordert war, zu verstehen, dass bei $a*x=x$   dann a = 1 ist. Seither versucht er uns davon zu überzeugen, in enzyklopädischen Artikeln zu „höheren“ Aspekten müssten jedes Mal auch elementarste Trivialitäten erklärt werden, nur weil er selbst damit ein Problem hat. Da bin ich dagegen.
Die höchst simple Variante mit y <> 0 durch eine eigene Formel zu lösen, statt die Fähigkeit zur trivialen Umformung „–y“ vorauszusetzen, ist der falsche Weg. Wollen wir für jede mögliche Nicht-Grundform einer quadratischen Gleichung eine eigene Formel angeben, statt auf die Notwendigkeit der Normalisierung zu verweisen?
Diese Sonderformel für den trivialsten aller nicht-normalisierten Fälle als „allgemeine Lösung“ zu bezeichnen, ist darüber hinaus völlig abwegig und zudem reine TF. Ich ersuche um Beibringung von Literatur, dass diese Formel tatsächlich gebräuchlich und diese Bezeichnung dafür allgemein üblich ist.
Troubled @sset   ^{[ Talk ]}   19:35, 27. Mär. 2021 (CET)

Also zunächst einmal ist die Mitternachtsformel und das Lösen quadratischer Gleichung Stoff der Klassen 8 bis 10 (je nach Stand der Klasse oder Schule). Hat also nicht mit Mathematikern oder Abitur zu tun.

Dann ergibt sich die Frage, ob oder inwiefern, die erweiterte Mitternachtsformel wirklich etwas für Leser vereinfacht, insbesondere auch für Menschen mit relativ geringen Mathematik-Kenntnissen. Da habe ich erhebliche Zweifel zwar lässt die Gleichung $ax^{2}+bx+c=y$ ein wenig leichter lösen, aber alle anderen Varianten einer quadratischen Gleichung nicht, die müssten trotzdem weiterhin in die Normalformgebracht werden. Mal abgesehen, dass man (fast) überall wo man die Mitternachts/abc-Formel oder das Lösen quadratischen Gleichung nachschlägt mit der Normalform konfrontiert wird und (fast) nie auf die erweiterte Formel trifft. Im Normalfall sollte sich die Darstellung in der WP an der Darstellung in reputablen externen Publikationen orientieren und da taucht die erweiterte Formel praktisch nicht auf und zwar weder Fachliteratur für Leute mit besseren Mathematik-Kenntnissen noch in der Literatur/Lernhilfen für Leute mit geringen Mathematik-Kenntnissen.

Aufgrund der eher zweifelhaften Verbesserung für Leser, dem oben angesprochenen Problem der Begriffsbildung und dem Abweichen von Standarddarstellungen in der Literatur bin ich dagegen die erweiterte Mitternachtsformel in den Artikel zu übernehmen.--Kmhkmh (Diskussion) 06:30, 8. Mai 2021 (CEST)

Überflüssiges Minuszeichen?

Unter der Überschrift „Alternative Formen“ steht gleich zu Anfang folgende Formel:

$x_{1,2}={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}=-{\frac {\ b}{2a}}\pm {\sqrt {\left(-{\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\$

Ich kapiere nicht, was das Minuszeichen in der Klammer soll: Minus mal Minus gibt doch Plus, also müßte die Formel ohne dieses Minuszeichen doch dasselbe Ergebnis erzeugen:

$x_{1,2}={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}=-{\frac {\ b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\$

Ein überflüssiges Zeichen sollte man in der Mathematik doch weglassen, oder? Oder hat dieses Zeichen hier irgend einen ästhetischen oder didaktischen Sinn? Wenn ja: Welchen?--Schöba (Diskussion) 01:37, 8. Mai 2021 (CEST)

Ja es ist (mathematisch) überflüssig und ehrlich gesagt ist mMn. der komplette erste Absatz im Abschnitt alternative Formen völlig überflüssig. Einen ästhetischen oder didaktischen Sinn kann ich auf den ersten Blick nicht sehen. Wenn sich das Ganze nicht irgendwo in externer Literatur findet, würde ich den entsprechenden Absatz einfach streichen.--Kmhkmh (Diskussion) 06:43, 8. Mai 2021 (CEST)

Ich finde auch, dass man die Alternativen löschen sollte. Die angegebene a-b-c-Formel ist Standard, einfach und übersichtlich. Die Alternativen haben keinen Mehrwert.--Ag2gaeh (Diskussion) 08:54, 8. Mai 2021 (CEST)

+1 inkl. zur Meinung Streichen: Die Absätze Alternative Formen, Lösung der p-q-Formel bei negativer Diskriminante und Herleitung der p-q-Formel können m. E. ersatzlos wegen Redundanz gestrichen werden. Einzig die p-q-Formel selbst ist so verbreitet, dass sie als Sonderfall $a=1$ separat erwähnt werden sollte.--Lefschetz (Diskussion) 09:02, 8. Mai 2021 (CEST)

Die Herleitung der p-q-Formel sollte meiner Meinung nach drin bleiben. Ebenso die Lösung mit negativer Diskriminante. Was ist da redundant? Die erste alternative Form wird meiner Meinung nach auch nicht gebraucht. Zur dritten (mit der Wurzel im Nenner) gab es hier schonmal eine längere Diskussion. --Digamma (Diskussion) 10:26, 8. Mai 2021 (CEST)

Zum Minuszeichen: Ich denke der Gedanke ist, dass man erst ${\frac {-b}{2a}}$ ausrechnet (was man für den ersten Summanden braucht) und unter der Wurzel dann einfach das Ergebnis davon einsetzt. Im Prinzip ist das dann aber die p-q-Formel. Der Vorteil der a-b-c-Formel ist gerade, dass man nur einmal am Schluss dividiert; wenn die Koeffizienten ganze Zahlen sind, bedeutet das, dass man nicht mit Brüchen rechnen muss. --Digamma (Diskussion) 10:26, 8. Mai 2021 (CEST)

Lösungsformel (unter Geschichte)

Haltet ihr es nicht für erwähnenswert, dass bei der Lösungsformel

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}$

für den Sonderfall a=c=1

$x={\frac {{\sqrt {4+b^{2}}}-b}{2}}$

für alle natürlichen Zahlen b

$b={\frac {1}{x}}-x$

gilt, woraus folgt die Nachkommastellen von x und dessen Kehrwert stets identisch sind und der Vorkommaanteil von x (bzw. bei positiven b von dessen Kehrwert) gleich b ist? Mit Quellen muss man das hoffentlich nicht belegen, zumal es sich ganz leicht herleiten lässt (nur leider bekomme ich das in Math nicht hin).--87.166.132.188 12:44, 11. Jun. 2021 (CEST)

Nein. Schon gar nicht im Abschnitt über die Geschichte der Lösungsformel. --Digamma (Diskussion) 17:34, 11. Jun. 2021 (CEST)

a c oder doch besser ac  ?

Es gibt einen Wortzwischenraum zwischen a und c in diesen Sätzen im Abschnitt "Fehlendes lineares Glied" (zweimal):

Im Fall $a\,c<0\,$ existieren zwei Lösungen. Im Fall $a\,c>0\,$ existieren für ${\tfrac {c}{a}}>0$ keine reellen Lösungen.

Etwas weiter kommt es noch einmal vor: "Der Fall $a\,c=0$" – sonst nirgendwo auf der Seite. Ich wollte das schon "normalisieren", aber dann habe ich gedacht, erstmal hier zu fragen ob es vielleicht doch einen guten Grund dafür gibt.

Ferner würde ich "für ${\tfrac {c}{a}}>0$" weglassen, denn es hat keine Bedeutung, so weit ich sehen kann. --Geke (Diskussion) 17:54, 25. Sep. 2021 (CEST)

Vereinfachte Loesung nach Po-Shen Loh

2019 hat Po-Shen Loh einen intuitiven Loesungsvorschlag veroeffentlicht ("A Simple Proof of the Quadratic Formula", https://arxiv.org/pdf/1910.06709.pdf), mit dem (a) die Loesung basierend auf dem Satz von Vieta sich ohne zu raten ergibt, und (b) sich die p-q-Formel ausgehend vom Satz von Vieta recht einfach herleiten laesst. Ausgehend von $x_{1}+x_{2}=-p$ kann man $x_{1}$ und $x_{2}$ durch ihren Mittelwert $-p/2$ ausdruecken als $x_{1}=-p/2+u$ und $x_{2}=-p/2-u$. Substitution in $x_{1}x_{2}=q$ ergibt $p^{2}/4-u^{2}=q$ und damit $u^{2}=p^{2}/4-q$. Folglich ist $x_{1,2}=-p/2\pm {\sqrt {p^{2}/4-q}}$. Der Beitrag auf arXiv enthaelt eine ausfuehrliche Diskussion dieser Methode. Es gibt auch youtube videos zu dem Thema (z.B. https://www.youtube.com/watch?v=ZBalWWHYFQc). Ich wuerde vorschlagen, diese Methode im Abschnitt "Satz von Vieta" nach dem Absatz "lassen sich so durch Ausprobieren [...] mit einiger Übung oft die Lösungen rasch finden" darzustellen, da sie eine konzeptionell recht einfache Alternative zum Ausprobieren aufzeigt. Loh konstatiert ferner, dass fuer Anfaenger der Algebra diese Methode der Herleitung der p-q-Formel zugaenglicher ist, als die quadratische Ergaenzung. Gibt es dazu Bedenken? --195.139.246.226 22:31, 18. Mär. 2024 (CET)

Hat eine gewisse Eleganz und kann man sicher ergänzen. Belegtechnisch ist etwas grenzwertig da reine arxiv-Publikationen eigentlich als Belege nicht zulässig sind, da Po-Shen Loh allerdings ein anerkannter Fachmann bzw. Prof ist und es ein unumstrittenes Thema ist, geht das hier wohl trotzdem. Schöner wäre allerdings, wenn man noch eine echte Journal- oder Buchpublikation dazu auftreibt.--Kmhkmh (Diskussion) 06:51, 19. Mär. 2024 (CET)

ok, dann halten wir mal fuer's erste fest: Ben-Ari, M. (2022). Solving Quadratic Equations. In: Mathematical Surprises. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-031-13566-8_7 --195.139.246.226 22:44, 19. Mär. 2024 (CET)

Danke, das sieht gut aus, gib das als Beleg an, wenn du diese Herleitung selbst einbauen willst.--Kmhkmh (Diskussion) 08:19, 20. Mär. 2024 (CET)

Kritik am Artikel

Liebe Wikipedianer, ich möchte mich hier kritisch zum Artikel äußern und einige Änderungen der letzten Zeit zumindest zur Diskussion stellen. Dabei möchte ich niemandem auf den Schlips treten und keinesfalls die wertvolle Arbeit einiger Wikipedianer abwerten. Allein ich habe das Gefühl, dass hier über das Ziel hinausgeschossen wurde. Meine Kritik betrifft den Abschnitt Quadratische_Gleichung#Einführung. Zunächst einmal finde ich es gut, wenn ein motivierendes Beispiel oder ein Problem vorangestellt wird und nicht einfach eine Definition vom Himmel fällt. In diesem Abschnitt wird jedoch noch mehr als nur ein Einstiegsbeispiel gegeben, nämlich eine Einführung in das, was man früher Gleichungslehre genannt hat. Und hierauf konzentriert sich meine Kritik. Ich halte diese Informationen hier fehl am Platz, vielmehr sehe ich sie im Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung, ein Artikel, der in Anbetracht der fundamentalen Bedeutung von Gleichungen für die Mathematik ohnehin recht kurz geraten ist. Wer nach Informationen zu quadratischen Gleichungen sucht, der wird wohl ohnehin schon vorher vom Gleichungen gehört haben. Deshalb wäre mein Vorschlag, den Abschnitt bis zum Beispiel des rechteckigen Zimmers in den Artikel https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung zu verschieben.

Abgesehen davon bin ich unzufrieden mit der Einleitung aus vergleichbaren Gründen. Hier wird auch recht ausufernd erläutert, was die Lösung einer Gleichung ist. Ich mache mich hier für eine Kürzung auf das Wesentliche stark mit Hinblick auf den leider nicht näher definierten "typischen Leser".

Ich denke nicht, dass es Aufgabe von Wikipedia sein sollte, bei jedem Artikel die Grundbegriffe zu erklären. Das ist schon alleine nicht praktikabel, da sich Abgrenzungsprobleme ergeben. Warum sollte man z. B. bei diesem Artikel nicht schon früher ansetzen und erstmal erklären, was eine Variable ist? Viel schwerer als dieser Aspekt wiegt jedoch, dass der Fokus des Artikels verloren geht und der Artikel eine gewisse Tendenz hat, auszuufern. --Mathze (Diskussion) 16:49, 2. Jul. 2024 (CEST)

Hallo Mathze, ich sehe das grundsätzlich anders, werde aber nicht im Wege stehen, wenn der Abschnitt verkürzt wird, sofern wir die Infos in einen anderen Artikel verschieben (was ja auch dein Vorschlag war). Meine Meinungsdifferenz betrifft u.a. die Phrase „Wer nach Informationen zu quadratischen Gleichungen sucht, der wird wohl ohnehin schon vorher vom Gleichungen gehört haben.“ Viele meiner Nachhilfeschüler haben das Konzept der Gleichung zuvor nie verstanden, müssen aber dennoch quadratische Gleichungen lösen. Es spricht also aus meiner Sicht grundsätzlich nichts dagegen, am Anfang mehr zu den allgemeinen Hintergründen zu sagen. Aber, wie schon gesagt, sehe ich auch Deine Beweggründe und gebe grünes Licht. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 17:28, 2. Jul. 2024 (CEST)

Hallo @Googolplexian1221 Vielen Dank für Deine Antwort. Ich werde auf keinen Fall irgendwelche Inhalte löschen, wie gesagt wenn, dann nur in den von mir erwähnten Artikel verschieben. Ich werde aber trotzdem nochmal eine oder zwei Nächte drüber schlafen und über Deine Argumente nachdenken. So oder so werde ich Dich über alle Änderungen informieren. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 18:54, 2. Jul. 2024 (CEST)

Vorschlag gekürzte Einleitung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

$ax^{2}+bx+c=0\quad$

mit $a\neq 0$ schreiben lässt. Hierbei sind $a,b,c$ Koeffizienten; $x$ ist die Unbekannte der Gleichung. Ist zusätzlich $b=0$, also die quadratische Gleichung von der Form $ax^{2}+c=0$, so spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

In der Mathematik, bzw. genauer der Algebra, interessiert man sich für die Lösungen von quadratischen Gleichungen (aber auch allgemeineren Gleichungen), also für diejenigen Zahlen, die, wenn man sie für $x$ einsetzt, zu einer wahren Aussage führen. Dies ist trifft im Beispiel $x^{2}-4=0$ auf $x=\pm 2$ zu. Die Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ lassen sich mithilfe der Formel

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

explizit bestimmen. Diese Formel wird als a-b-c-Formel oder Mitternachtsformel bezeichnet. Im Bereich der reellen Zahlen kann eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Ist der Ausdruck $b^{2}-4ac$ unter der Wurzel (die sogenannte Diskriminante) negativ, so existiert keine Lösung; ist sie Null, so existiert genau eine Lösung; wenn sie positiv ist, so existieren zwei Lösungen. Insbesondere lässt sich die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung oberer Form bereits durch eine Untersuchung der Diskriminante bestimmen, ohne die Lösungen selbst genau berechnen zu müssen.

Die linke Seite der Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades) $f(x)=ax^{2}+bx+c$; der Funktionsgraph dieser Funktion im kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung $f(x)=0$ – falls vorhanden – die Nullstellen dieser Parabel.

Konkrete Anwendungen haben quadratische Gleichungen etwa in der Elementargeometrie, da quadratische Terme mit Flächeninhalten von Rechtecken korrespondieren können. In der modernen Mathematik, aber auch in mathematischen Modellen, tauchen sie in ihrer einfachsten Form hingegen eher selten auf, oder sind lediglich ein einfacher Spezialfall einer weitaus umfangreicheren Theorie (etwa jene der algebraischen Gleichungen oder quadratischen Formen). Dennoch gehören quadratische Gleichungen und ihre Auflösung fest zum Lehrplan an vielen Schulen weltweit, da sie Beispiele von Gleichungen sind, die mit in der Schulmathematik zugänglichen Mitteln behandelbar sind, was auf die meisten Gleichungen nicht zutrifft.

In der höheren Algebra bzw. algebraischen Zahlentheorie werden quadratische Gleichungen auch über anderen Körpern betrachtet. Im Falle der komplexen Zahlen haben sie stets mindestens eine Lösung, womit der in der reellen Situation mögliche Fall „keine Lösung“ entfällt. Im Fall endlicher Primkörper führt die Frage nach Lösbarkeit zum quadratischen Reziprozitätsgesetz. --Mathze (Diskussion) 17:05, 2. Jul. 2024 (CEST)

Ich habe noch einen kleinen Satz reingeschummelt - ist das ein Kompromiss? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 17:32, 2. Jul. 2024 (CEST)

Hallo Googolplexian, ja, das ist ein Kompromiss. Vielen Dank für Deine konstruktive Zusammenarbeit. --Mathze (Diskussion) 18:52, 2. Jul. 2024 (CEST)