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Satz von Miljutin

Der Satz von Miljutin (englisch Miljutin's theorem oder Milyutin's theorem oder Milutin's theorem) ist ein bedeutender Satz aus der Theorie der banachschen Funktionenräume stetiger reellwertiger Funktionen und gehört als solcher dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis an. Er geht auf eine Publikation des Mathematikers Alexej Alexejewitsch Miljutin (1925–2001) aus dem Jahre 1966 zurück und liefert eine grundlegende Isomorphieaussage für eine gewisse Klasse dieser Funktionenräume.

Darstellung des Satzes

Er besagt folgendes:

Gegeben seien das reelle Einheitsintervall $I=[0,1]\subset \mathbb {R}$ mit dem zugehörigen $\mathbb {R}$-Banachraum der stetigen reellen Funktionen ${\mathcal {C}}(I)$ und in gleicher Weise ein weiterer kompakter, metrischer Raum $K$ mit dem zugehörigen $\mathbb {R}$-Banachraum der stetigen reellen Funktionen ${\mathcal {C}}(K)$, beide jeweils versehen mit der Supremumsnorm ${||\cdot ||}_{\infty }$.

Dann gilt:

Ist $K$ als Menge überabzählbar, so ist ${\mathcal {C}}(I)$ zu ${\mathcal {C}}(K)$ isomorph.

Insbesondere gilt weiter:

Für je zwei überabzählbare kompakte metrische Räume $K$ und $L$ sind die zugehörigen banachschen Funktionenräume ${\mathcal {C}}(K)$ und ${\mathcal {C}}(L)$ stets isomorph.

Historie

Es wird berichtet, dass Miljutin seinen Satz schon im Jahre 1952 im Rahmen seiner Dissertation vorgetragen, jedoch zunächst nicht in einer Fachzeitschrift veröffentlicht hätte. Erst Aleksander Pełczyński soll anlässlich eines Aufenthalts in Moskau in den 1960er Jahren Miljutin gedrängt haben, den Satz zu publizieren, woraufhin er in 1966 zur Veröffentlichung kam. Hinsichtlich des Hintergrunds ist zu erwähnen, dass schon im Jahre 1932 Stefan Banach in seinem Werk Théorie des opérations linéaires die Frage aufgeworfen hatte, ob eine Isomorphie der beiden Funktionenräume ${\mathcal {C}}(I)$ und ${\mathcal {C}}\left(I\times I\right)$ gegeben sei.

Verwandter Satz

Auf den polnischen Mathematiker Karol Borsuk geht ein verwandter Satz aus dem Jahre 1933 zurück:

Gegeben seien ein unendlicher, kompakter, metrischer Raum $K$ mit dem zugehörigen $\mathbb {R}$-Banachraum der stetigen reellen Funktionen ${\mathcal {C}}(K)$ sowie ein abgeschlossener Unterraum $E\subseteq K$ mit dem zugehörigen $\mathbb {R}$-Banachraum der stetigen reellen Funktionen ${\mathcal {C}}(E)$, beide jeweils versehen mit der Supremumsnorm ${||\cdot ||}_{\infty }$.

Dann gilt:

Es existiert ein stetiger linearer Operator $T\colon {\mathcal {C}}(E)\to {\mathcal {C}}(K)$ mit folgenden Eigenschaften:

(i) ${(Tf)}|_{E}=f\;(\forall f\in {\mathcal {C}}(E))$

(ii) ${T{1}}=1$

(iii) $\|T\|=1$

Siehe auch

• Satz von Banach-Stone

Literatur

• Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 233). Springer-Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-28141-4. 
• Graham R. Allan: Introduction to Banach Spaces and Algebras (= Oxford Graduate Texts in Mathematics. Band 20). Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-920654-4. 
• Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires (= Math. Monographien. Band 1). Inst. Math. Poln. Akad. Wiss., Warschau 1932. 
• K. Borsuk: Über Isomorphie der Funktionalräume. In: Bull. Int. Acad. Pol. Sci. 1933, S. 1–10. 
• A. A. Miljutin: Isomorphism of the spaces of continuous functions over compact sets of the cardinality of the continuum. (Russisch). In: Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. Priložen. Vyp. 2. 1966, S. 150–156. 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2. 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Funktionalanalysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Miljutin]]

Ungleichung von Argand

Die Ungleichung von Argand (oder argandsche Ungleichung oder auch d’Alemberts Lemma) ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie geht auf eine Publikation des Schweizer Mathematikers Jean-Robert Argand aus dem Jahre 1814 zurück, in der dieser unter Rückgriff auf eine im Jahre 1746 von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert vorgelegte Grundidee eine untere Abschätzung für nicht-konstante komplexe Polynomfunktionen liefert. Mit deren Hilfe lässt sich ein einfacher Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra führen.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung besagt folgendes:

Gegeben seien eine nicht-konstante komplexe Polynomfunktion $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ und eine beliebige komplexe Zahl $z_{0}$ und es gelte $f(z_{0})\neq 0$.

Dann existiert stets eine komplexe Zahl $w$ mit

$|f(w)|<|f(z_{0})|$.

Anwendung

In Anwendung der argandschen Ungleichung gewinnt man einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra:

Zunächst erhält man nämlich unter Berücksichtigung der Tatsache, dass komplexe Polynomfunktionen immer stetig sind, die Aussage, dass es eine reelle Zahl $r>0$ gibt, so dass stets

$|f(z)|>|f(0)|$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $z>r$

gilt.

Nun ist mit $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ auch die reellwertige Funktion $|f|\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{\geq 0},\;z\mapsto |f(z)|$ stetig. Da zudem die abgeschlossene Kreisumgebung ${\overline {B}}_{r}(0)$ ein Kompaktum ist, zeigt sich vermöge des Weierstraß'schen Satzes vom Minimum sofort, dass es ein globales Minimum für $|f|$ geben muss, also ein $z_{0}\in \mathbb {C}$ mit

$|f(z_{0})|\leq |f(z)|$ für alle $z\in \mathbb {C}$.

Dieses $z_{0}$ kann dann nur eine $f$–Nullstelle sein, da sich andernfalls mit der argandschen Ungleichung unmittelbar ein Widerspruch ergäbe.

Literatur

• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise. Mit Zeichnungen von Karl H. Hofmann. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-57766-0, doi:10.1007/978-3-662-57767-7. 
• J. R. d’Alembert: Recherches sur le calcul intégral. In: Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles Lettres. 1746, S. 182–224. 
• J. Argand: Réflexions sur la nouvelle théorie d’analyse. In: Annales de Mathématiques. Band 5, 1814, S. 197–209. 
• Joachim Engel: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70545-4. 
• H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Redaktion: K. Lamotke (= Grundwissen Mathematik. Band 1). 3., verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 3-540-55654-0. 
• Günter Köhler: Analysis. Mit Aufgaben von Jürgen Grahl (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 14). Heldermann Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-88538-114-1 (MR2219809). 
• Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. Zweiter Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. 11. Auflage. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1958. 

Weblinks

• Eintrag Argand, Jean Robert im Lexikon der Mathematik (2017)

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Ungleichung|Argand, Ungleichung von]]

Satz von Landau (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Landau, benannt nach Edmund Landau, eine obere Abschätzung für gewisse im offenen Einheitskreis $\mathbb {E}$ gegebene holomorphe Funktionen.

Der Satz gab Anlass zu einer Anzahl von weitergehenden Untersuchungen, mit denen nicht zuletzt die von Landau gelieferte Abschätzung präzisiert wurde.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien der offene Einheitskreis $\mathbb {E} =\{x\in X:|x|<1\}\subset \mathbb {C}$ und darauf eine holomorphe Funktion $f\colon \mathbb {E} \rightarrow \mathbb {C}$ und zudem zwei komplexe Zahlen $a_{0}$ und $a_{1}$ .

Dabei soll $f(0)=a_{0}$ und $f'(0)=a_{1}$ sein und weiter für $z\in \mathbb {E}$ stets $f(z)\neq 0$ und $f(z)\neq 1$ gelten.

Dann gilt:

Es gibt eine allein von $a_{0}$ abhängige obere Schranke $M(a_{0})>0$ , welche die Ungleichung

$|a_{1}|\leq M(a_{0})$

erfüllt.

Präzisierung der Schranke

Es lässt sich eine bestmögliche obere Schranke explizit angeben. Hier konnte gezeigt werden, dass stets die Ungleichung

$|a_{1}|\leq 2\cdot |a_{0}|\cdot {\bigl (}|\ln(|a_{0}|)|+A{\bigr )}\,,\,A={\frac {\left(\Gamma ({\tfrac {1}{4}})\right)^{4}}{4\cdot \pi ^{2}}}\approx 4{,}377$

erfüllt ist.

Literatur

• Joachim A. Hempel: The Poincaré metric on the twice punctured plane and the theorems of Landau and Schottky. In: Journal of the London Mathematical Society. Second Series. Band 20, 1979, S. 435–445 (MR0561135). 
• James A. Jenkins: On explicit bounds in Landau's theorem. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 8, 1956, S. 423–425 (MR0079098). 
• James A. Jenkins: On explicit bounds in Landau's theorem. II. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 33, 1981, S. 559–562 (MR0627642). 
• Wan Tzei Lai: The exact value of Hayman's constant in Landau's theorem. In: Scientia Sinica. Band 22, 1979, S. 129–134 (MR0532327). 
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band: Inp bis Mon. Band 3. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0435-5. 

Weblinks

• Eintrag Landau, Satz von im Lexikon der Mathematik (2017)

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Ungleichungen von Clarkson

Die Ungleichungen von Clarkson (englisch Clarkson's inequalities) gehören zu einer ganzen Reihe von Resultaten, die von dem Mathematiker James Andrew Clarkson auf dem mathematischen Gebiet der Analysis geliefert wurden. Die Ungleichungen behandeln Abschätzungen zu L^p-Normen.

Darstellung der Ungleichungen

Es handelt sich um zwei Ungleichungen. Im Einzelnen hat man dabei folgende Aussage:

Gegeben seien ein Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ sowie reelle Zahlen $p,q>1$ mit $q={\frac {p}{p-1}}$.

Weiter gegeben seien der zugehörige L^p-Raum ${\mathcal {L}}^{p}={\mathcal {L}}^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ und darin zwei komplexwertige Funktionen $f,g\in {\mathcal {L}}^{p}$ .

Unter diesen Bedingungen gelten

einerseits im Falle $p\geq 2$ die Ungleichung

$\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{p}^{p}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{p}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{p}^{p}$

und

andererseits im Falle $1<p<2$ die Ungleichung

$\left\|{\frac {f+g}{2}}\right\|_{p}^{q}+\left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{p}^{q}\leq \left[{\frac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}+{\frac {1}{2}}\|g\|_{p}^{p}\right]^{\frac {1}{p-1}}$ .

Hinweise

• Bei Hirzebruch/Scharlau werden die beiden Clarkson'schen Ungleichungen – in gleichwertiger Darstellung! – auch als Parallelogramm–Ungleichungen bezeichnet. Sie entstammen der Arbeit von Clarkson aus dem Jahr 1936 (s. u.). Diese Bezeichnung wird nachvollziehbar, wenn man in Rechnung stellt, dass die erste Clarkson'sche Ungleichung für den Fall $p\geq 2$ (s. o.) gleichwertig ist mit der Ungleichung $\left\|f+g\right\|_{p}^{p}+\left\|f-g\right\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\cdot \left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)$, während die zweite Clarkson'sche Ungleichung für den Fall $1<p<2$ (s. o.) gleichwertig ist mit der Ungleichung $\left\|f+g\right\|_{p}^{q}+\left\|f-g\right\|_{p}^{q}\leq 2\cdot \left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p-1}}$ .
• Den Lehrbüchern von Hirzebruch/Scharlau und Dirk Werner ist zu entnehmen, dass Clarkson die beiden Ungleichungen dem Beweis seines Satzes von Clarkson zugrundegelegt hat.
• Es gilt ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.
• In den Beweis der zweiten Clarkson'schen Ungleichungen (s. o.) geht wesentlich ein, dass für $1<p\leq 2$ und $x\in [0,1]$ stets die Ungleichung $(1+x)^{q}+(1-x)^{q}\leq 2\cdot (1+x^{p})^{\frac {1}{p-1}}$ besteht.

Siehe auch

• Hanner-Ungleichungen
• Parallelogrammgleichung

Literatur

• James A. Clarkson: Uniformly convex spaces. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 40, 1936, S. 396–414 (MR1501880). 
• Edwin Hewitt, Karl Stromberg: Real and Abstract Analysis. A modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable. Third Printing (= Graduate Texts in Mathematics. Band 25). Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1975, ISBN 0-387-90138-8 (MR0367121). 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864). 
• S. Ramaswamy: A simple proof of Clarkson's inequality. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 68, 1978, S. 249–250 (MR0492135). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis]] KKKategorie:Ungleichung|Clarkson, Ungleichungen von]]

Satz von Hewitt

Der Satz von Hewitt, manchmal englisch Hewitt's Stone-Weierstrass theorem genannt, ist ein im Übergangsfeld zwischen den beiden mathematischen Teilgebieten Topologie und Funktionalanalysis gelegener Lehrsatz , der auf einer Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Edwin Hewitt aus dem Jahr 1947 beruht. Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone-Weierstraß verbunden, den er in einem gewissen Sinne umkehrt.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein vollständig regulärer Hausdorff-Raum $X\neq \emptyset \;$ und dazu die Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}:=C_{b}(X,\mathbb {R} )\;$ der beschränkten stetigen reellwertigen Funktionen $f\colon X\to \mathbb {R} \;$.

Weiter sei vorausgesetzt, dass eine jede $\mathbb {R}$-Unteralgebra ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {C}}\;$, welche

1. die konstante Funktion $1\;$ enthält

und

2. punktetrennend in Bezug auf die Raumpunkte $x\in X\;$ ist,

in ${\mathcal {C}}$ stets dicht liege.

Dann ist $X$ bereits ein kompakter Raum .

Erläuterungen

• Die Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}$ ist wie üblich mit der Supremumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ versehen.
• In ${\mathcal {C}}$ ist ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {C}}$ genau dann eine $\mathbb {R}$-Unteralgebra, wenn ${\mathcal {A}}$ ein $\mathbb {R}$-linearer Unterraum von ${\mathcal {C}}$ ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei $f_{1}\in {\mathcal {A}}$ und $f_{2}\in {\mathcal {A}}$ stets auch die durch punktweise Multiplikation entstehende Funktion $f_{1}f_{2}\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto f_{1}(x)f_{2}(x)\;,\;$ in ${\mathcal {A}}$ liegt.
• Unter der konstanten Funktion $1$ versteht man $1\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto 1\;$.
• Dicht-liegen und das damit verknüpfte Konzept der topologischen Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra ${\mathcal {C}}$ ist im Sinne der vermöge der Supremumsnorm gegebenen Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.

Literatur

• Bernhard Banaschewski: On the Weierstrass-Stone approximation theorem. In: Fundamenta Mathematicae. Band 44, 1957, S. 249–252 (MR0092931). 
• Jörg Blatter: Hewitt's Stone-Weierstrass theorems for ordered topological spaces in: Functional Analysis (Proc. Brazilian Math. Soc. Sympos., Inst. Mat. Univ. Estad. Campinas, São Paulo, 1974) (= Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Band 18). Marcel Dekker, New York 1976, S. 9–25 (MR0644651). 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Edwin Hewitt: Certain generalizations of the Weierstrass approximation theorem. In: Duke Mathematical Journal. Band 14, 1947, S. 419–427 (MR0021662). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Lemma von Toeplitz

Das Lemma von Toeplitz (englisch Toeplitz lemma) ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, der auf den Mathematiker Otto Toeplitz (1881–1940) zurückgeht und eng mit dem Lemma von Kronecker verwandt ist. Beide Lemmata liefern wichtige Aussagen zur Konvergenz von Folgen reeller Zahlen, die nicht zuletzt für den Beweis des Ersten und Zweiten Gesetzes der großen Zahlen bedeutsam sind.

Formulierung

Das Lemma lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge $\,(a_{n})_{n=1,2,3,\ldots }\,$ aus lauter nichtnegativen Zahlen. Die zugehörige Partialsummenfolge der $\,s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}}\,\,(n=1,2,3,\ldots )\,$ soll durchweg aus positiven Zahlen bestehen und unbeschränkt sein.

Weiter gegeben sei eine konvergente reelle Zahlenfolge $\,(x_{n})_{n=1,2,3,\ldots }\,$ mit dem Grenzwert $\,\xi \in \mathbb {R} \,$ .

Dann gilt

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}}}\cdot {\sum _{k=1}^{n}{a_{k}x_{k}}}\,=\,\xi \,$ .

Korollar

Die obige Schlussfolgerung gilt insbesondere – bei sonst gleichen Voraussetzungen – für den Spezialfall $\,a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots =1\,$.

Man hat dann also:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\cdot {\sum _{k=1}^{n}{x_{k}}}\,=\,\xi \,$ .

Allgemeiner Grenzwertsatz

In seinem Lehrbuch Probability Theory I hat Michel Loève eine noch allgemeinere Fassung des Lemmas von Toeplitz geliefert, welche Matrizen anstelle von Folgen zugrundelegt und dabei das Toeplitz'sche Lemma in der obigen Fassung miteinschließt.

Zu dieser von Loève gegebenen Fassung des Lemmas gehört wiederum eine allgemeiner Grenzwertsatz, der auf einer Arbeit von Otto Toeplitz aus dem Jahre 1911 beruht und mit dem eine Verallgemeinerung eines früheren Grenzwertsatzes von Augustin Louis Cauchy vorliegt. Konrad Knopp bezeichnet ihn in seinem Lehrbuch Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen auch als Cauchy-Toeplitz'schen Grenzwertsatz .

In seiner am weitesten gehenden Version lässt sich dieser Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien eine komplexwertige Nullfolge $\,(z_{k})_{k=0,1,2,3,\ldots }\,\in {\mathbb {C} }^{N_{0}}\,$ sowie eine unendliche Matrix $\,A=(a_{k,n})_{k=0,1,2,3,\ldots \,,\,n=0,1,2,3,\ldots }\in {\mathbb {C} }^{N_{0}\times \mathbb {N} _{0}}\,$ , deren Elemente also ebenfalls komplexe Zahlen sein sollen.

Dabei sollen zusätzlich die folgenden beiden Bedingungen gelten:

(i) Für jeden Spaltenindex $\,n\,$ bilden die Elemente der $\,n$-ten Spalte von $\,A\,$ eine Nullfolge .

(ii) Für jeden Zeilenindex $\,k\,$ bilden die Elemente der $\,k$-ten Zeile von $\,A\,$ eine absolut konvergente Reihe.

Dann gilt:

Bildet man für jeden Zeilenindex $\,k\,$ die zugehörige Reihe $\,{\zeta }_{k}\,:=\,{\sum _{n=0}^{\infty }{a_{k,n}z_{n}}}\,$ , so gewinnt man eine absolut konvergente Reihe und die dadurch gegebene Zahlenfolge $\,({\zeta }_{k})_{k=0,1,2,3,\ldots }\,\in {\mathbb {C} }^{N_{0}}\,$ ist ebenfalls eine komplexwertige Nullfolge.

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Mit einem Vorwort von Wolfgang Walter (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 6., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-03138-3, doi:10.1007/978-3-642-61406-4. 
• M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1977, ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017). 
• A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9 (MR0967761). 
• O. Toeplitz: Über allgemeine lineare Mittelbildungen. In: Prace matematyczno-fizyczne. Band 22, 1911, S. 113–119. 
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Fünfter Band. Sed bis Zyl. Springer Spektrum, Heidelberg 2002, ISBN 3-8274-0437-1. 

Weblinks

• Eintrag Toeplitz, Lemma von im Lexikon der Mathematik (2017)
• Silverman–Toeplitz theorem (englischsprachige Wikipedia)

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Lemma von Toeplitz (Erweiterung)

Das Lemma von Toeplitz (englisch Toeplitz lemma) ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, der auf den Mathematiker Otto Toeplitz (1881–1940) zurückgeht und eng mit dem Lemma von Kronecker verwandt ist. Beide Lemmata liefern wichtige Aussagen zur Konvergenz von Folgen reeller Zahlen, die nicht zuletzt für den Beweis des Ersten und Zweiten Gesetzes der großen Zahlen bedeutsam sind.

Formulierung

Das Lemma lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge $\,(a_{n})_{n=1,2,3,\ldots }\,$ aus lauter nichtnegativen Zahlen. Die zugehörige Partialsummenfolge der $\,s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{a_{k}}\,\,(n=1,2,3,\ldots )\,$ soll durchweg aus positiven Zahlen bestehen und unbeschränkt sein.

Weiter gegeben sei eine konvergente reelle Zahlenfolge $\,(x_{n})_{n=1,2,3,\ldots }\,$ mit dem Grenzwert $\,\xi \in \mathbb {R} \,$ .

Dann gilt

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}}}\cdot {\sum _{k=1}^{n}{a_{k}x_{k}}}\,=\,\xi \,$ .

Korollar

Die obige Schlussfolgerung gilt insbesondere – bei sonst gleichen Voraussetzungen – für den Spezialfall $\,a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots =1\,$.

Man hat dann also:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\cdot {\sum _{k=1}^{n}{x_{k}}}\,=\,\xi \,$ .

Allgemeiner Grenzwertsatz

In seinem Lehrbuch Probability Theory I hat Michel Loève eine noch allgemeinere Fassung des Lemmas von Toeplitz geliefert, welche Matrizen anstelle von Folgen zugrundelegt und dabei das Toeplitz'sche Lemma in der obigen Fassung miteinschließt.

Zu dieser von Loève gegebenen Fassung des Lemmas gehört wiederum eine allgemeiner Grenzwertsatz, der auf einer Arbeit von Otto Toeplitz aus dem Jahre 1911 beruht und mit dem eine Verallgemeinerung eines früheren Grenzwertsatzes von Augustin Louis Cauchy vorliegt. Konrad Knopp bezeichnet ihn in seinem Lehrbuch Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen auch als Cauchy-Toeplitz'schen Grenzwertsatz .

In seiner am weitesten gehenden Version lässt sich dieser Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien eine komplexwertige Nullfolge $\,(z_{k})_{k=0,1,2,3,\ldots }\,\in {\mathbb {C} }^{N_{0}}\,$ sowie eine unendliche Matrix $\,A=(a_{k,n})_{k=0,1,2,3,\ldots \,,\,n=0,1,2,3,\ldots }\in {\mathbb {C} }^{N_{0}\times \mathbb {N} _{0}}\,$ , deren Elemente also ebenfalls komplexe Zahlen sein sollen.

Dabei sollen zusätzlich die folgenden beiden Bedingungen gelten:

(i) Für jeden Spaltenindex $\,n\,$ bilden die Elemente der $\,n$-ten Spalte von $\,A\,$ eine Nullfolge .

(ii) Für jeden Zeilenindex $\,k\,$ bilden die Elemente der $\,k$-ten Zeile von $\,A\,$ eine absolut konvergente Reihe.

Dann gilt:

Bildet man für jeden Zeilenindex $\,k\,$ die zugehörige Reihe $\,{\zeta }_{k}\,:=\,{\sum _{n=0}^{\infty }{a_{k,n}z_{n}}}\,$ , so gewinnt man eine absolut konvergente Reihe und die dadurch gegebene Zahlenfolge $\,({\zeta }_{k})_{k=0,1,2,3,\ldots }\,\in {\mathbb {C} }^{N_{0}}\,$ ist ebenfalls eine komplexwertige Nullfolge.

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Mit einem Vorwort von Wolfgang Walter (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 6., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1996, ISBN 3-540-03138-3, doi:10.1007/978-3-642-61406-4. 
• M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1977, ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017). 
• A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9 (MR0967761). 
• O. Toeplitz: Über allgemeine lineare Mittelbildungen. In: Prace matematyczno-fizyczne. Band 22, 1911, S. 113–119. 
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Fünfter Band. Sed bis Zyl. Springer Spektrum, Heidelberg 2002, ISBN 3-8274-0437-1. 

Weblinks

• Eintrag Toeplitz, Lemma von im Lexikon der Mathematik (2017)
• Silverman–Toeplitz theorem (englischsprachige Wikipedia)

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Interpolationsproblem von Carathéodory und Féjer

KKQS-Mathematik}}

Das Interpolationsproblem von Carathéodory und Féjer, englisch Carathéodory–Féjer interpolation problem, benannt nach den beiden Mathematikern Constantin Carathéodory und Leopold Fejér, ist eine klassische Problemstellung des mathematischen Teilgebiets der Analysis.

Formulierung des Problems

Eine Formulierung des Problems ist die folgende:

Gegeben seien $n+1$ beliebige (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlen $c_{i}\in {\mathbb {C} }\,(i=0,1,\dotsc ,n)$.

Gesucht wird zu diesen Zahlen eine Funktion $f\in H^{\infty }(\mathbb {D} )$, welche die folgenden beiden Nebenbedingungen erfüllen soll:

(i) Die $n+1$ ersten Taylorkoeffizienten der Potenzreihenentwicklung von $f$ um $0\in \mathbb {C}$ sind $c_{0},c_{1},\dotsc ,c_{n}$.

(ii) $\|f\|_{\infty }\leq 1$

Interpolationssatz

Es gilt zu dem genannten Problem der folgende Interpolationssatz von Carathéodory und Féjer (englisch Carathéodory–Féjer interpolation theorem):

Das Interpolationsproblem von Carathéodory und Féjer ist lösbar genau dann, wenn die Spektralnorm der zu diesen $c_{i}\,(i=0,1,\dotsc ,n)$ gehörigen unteren Dreiecksmatrix

$M=M_{(c_{0},c_{1},\dotsc ,c_{n})}={\begin{bmatrix}c_{0}&0&\cdots &0\\c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\c_{n}&\cdots &c_{1}&c_{0}\end{bmatrix}}$

die Ungleichung

$\|M\|_{2}\leq 1$

erfüllt.

Erläuterungen

1. $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \mid |z|<1\}$ ist die offene Einheitskreisscheibe.
2. $H^{\infty }(\mathbb {D} )$ ist der zu den beschränkten holomorphen Funktionen $f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C}$ gehörige Hardy-Raum.
3. Das Interpolationsproblem von Carathéodory und Féjer ist direkt verwandt mit dem Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna. Ebenso wie dieses lässt es sich im Rahmen der Theorie der beschränkten Operatoren auf Hardy-Räumen lösen. Hier ist im Jahre 1967 von Donald Erik Sarason gezeigt worden, dass der zugehörige Interpolationssatz als Folgerung aus einem von Sarason vorgelegten – grundlegenden! – Theorem verstanden werden kann.

Literatur

• C. Carathéodory, L. Fejér: Über den Zusammenhang der Extremen von harmonischen Funktionen mit ihren Koeffizienten und über den Picard–Landauschen Satz, Rend. Circ. Mat. Palermo, Band 32, 1911, S. 218–239.
• Yutaka Yamamoto: From Vector Spaces to Function Spaces. Introduction to Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2012, ISBN 978-1-61197-230-6 (MR2985156). 
• Gennadi Michailowitsch Golusin: Geometric theory of functions of a complex variable, Translations of Mathematical Monographs 26, American Mathematical Society, 1969. Kapitel 9, § 7, S. 497 ff. (Some remarks on the Caratheodory-Fejer problem and on an analogous problem in der Google-Buchsuche).

Weblinks

• Caratheodory-Fejer problem, Encyclopedia of Mathematics, Springer

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Pick–Matrix

Pick–Matrix ist ein mathematischer Begriff, der in dem mathematischen Teilgebiet der Analysis Verwendung findet. Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix $P=(p_{ij})_{i=1,\dotsc ,n;\ j=1,\dotsc ,n}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$ als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl $n$ und dazu $n$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen $a_{i}\in \mathbb {D} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter $n$ komplexe Zahlen $b_{i}\in {\mathbb {C} }\,(i=1,\dotsc ,n)$ gegeben sind, so dass das jeweilige $ij$–Element von $P$ die Form

$p_{ij}={\frac {1-{\overline {b_{i}}}b_{j}}{1-{\overline {a_{i}}}a_{j}}}$

hat.

Der Begriff spielt eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit dem sogenannten Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna.

Interpolationsproblem

Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna – oder auch Nevanlinna–Pick–Interpolationsproblem (englisch Nevanlinna–Pick interpolation problem) – geht auf wissenschaftliche Publikationen der beiden Mathematiker Georg Pick und Rolf Nevanlinna aus den Jahren 1916 bzw. 1919 zurück. Es behandelt die folgende Fragestellung:

Gegeben seien $n$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen $a_{i}\in \mathbb {D} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter $n$ komplexe Zahlen $b_{i}\in {\mathbb {C} }\,(i=1,\dotsc ,n)$.

Zu diesen Zahlen gesucht wird eine Funktion $f\in H^{\infty }(\mathbb {D} )$, welche die folgenden beiden Nebenbedingungen erfüllen soll:

(i) $f(a_{i})=b_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$

(ii) $\|f\|_{\infty }\leq 1$

Interpolationssatz

Es gilt zu dem genannten Problem der folgende Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna:

Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna ist lösbar genau dann, wenn die zu diesen $a_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$ und $b_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$ gehörige Pick-Matrix nichtnegativ-definit ist.

Andere Definition

In einer im Jahre 1974 erschienenen Monographie von William F. Donoghue, Jr., wird der Begriff der Pick–Matrix in einer anderen Weise definiert. Hier bezeichnet man eine quadratische Matrix $P=(p_{ij})_{i=1,\dotsc ,n;\ j=1,\dotsc ,n}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$ als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl $n$ sowie $n$ komplexe Zahlen $z_{i}\in \mathbb {H} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter eine Funktion $\phi \colon \,\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ vorliegen, so dass das jeweilige $ij$–Element von $P$ die Form

$p_{ij}={\frac {\phi (z_{i})-{\overline {\phi (z_{j})}}}{z_{i}-{\overline {z_{j}}}}}$

hat.

Erläuterungen

1. $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ ist die offene Einheitskreisscheibe.
2. $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ ist die Einheitskreislinie (oder auch Kreisgruppe).
3. $H^{\infty }(\mathbb {D} )$ ist der zu den beschränkten holomorphen Funktionen $f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C}$ gehörige Hardy-Raum.
4. $\mathbb {H} =\{x+iy\in \mathbb {C} :y>0\}$ ist die (offene) obere Halbebene.
5. Der Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna lässt sich auf mehreren Wegen herleiten. So gab etwa Donald E. Marshall im Jahre 1975 einen elementaren konstruktiven Beweis. Zuvor war im Jahre 1967 schon von Donald Erik Sarason gezeigt worden, dass der Pick–Nevanlinna'sche Interpolationssatz sich auch als Folgerung aus einem von Sarason vorgelegten – grundlegenden! – Theorem im Rahmen der Theorie der beschränkten Operatoren auf Hardy-Räumen ergibt.

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3. 
• William F. Donoghue, Jr.: Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 207). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974, ISBN 978-3-642-65757-3, doi:10.1007/978-3-642-65755-9 (MR0486556). 
• Donald E. Marshall: An elementary proof of the Pick-Nevanlinna interpolation theorem. In: Michigan Mathematical Journal. Band 21, 1975, S. 219–223 (MR0364649). 
• R. Nevanlinna: Über beschränkte Funktionen, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen. In: Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Series A. Band 13, 1919. 
• G. Pick: Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden. In: Mathematische Annalen. Band 77, 1916, S. 7–23. 

• Donald Sarason: Generalized interpolation in H^∞. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 127, 1967, S. 179–203. 
• Yutaka Yamamoto: From Vector Spaces to Function Spaces. Introduction to Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2012, ISBN 978-1-61197-230-6 (MR2985156). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Analysis]]

Approximationssatz von Walsh

Der Approximationssatz von Walsh (englisch Walsh's approximation theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist und der auf eine wissenschaftliche Publikation des Mathematikers Joseph Leonard Walsh aus dem Jahre 1927 zurückgeht. Der Satz ist eng verwandt mit dem Approximationssatz von Weierstraß sowie mit dem rungeschen Approximationssatz und behandelt die Bedingungen, unter denen gewisse holomorphe Funktionen der komplexen Zahlenebene durch Polynomfunktionen gleichmäßig approximiert werden können.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung von Robert B. Burckel folgend kann der Approximationssatz von Walsh folgendermaßen angegeben werden:

Es sei in der komplexen Zahlenebene eine geschlossene Jordankurve $\gamma \subset \mathbb {C}$ mit zugehörigem Innengebiet $\Omega _{\gamma }\subset \mathbb {C}$ gegeben und weiter auf dem topologischen Abschluss ${\overline {\Omega _{\gamma }}}$ eine stetige komplexe Funktion $f\colon {\overline {\Omega _{\gamma }}}\to \mathbb {C}$ , deren Einschränkung $f|_{\Omega _{\gamma }}$ sogar holomorph ist.

Dann gilt:

Eine solche Funktion $f$ kann stets gleichmäßig durch Polynomfunktionen approximiert werden.

Abweichende Version

Unter der Bezeichnung Approximationssatz von Walsh versteht man gemäß der Darstellung von Günter Meinardus auch einen etwas anderen Approximationssatz, der auf eine Publikation von Walsh aus dem Jahre 1956 zurückgeht. Dieser besagt folgendes:

In der komplexen Zahlenebene sei eine geschlossene Jordankurve $\gamma \subset \mathbb {C}$ gegeben, deren Innengebiet $\Omega _{\gamma }\subset \mathbb {C}$ den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthalten soll. Hier werde der zugehörige Funktionenraum $\,\,C=C(\gamma ,\mathbb {C} )$ der stetigen komplexen Funktionen $f\colon \gamma \to \mathbb {C}$, versehen mit der Maximumsnorm, betrachtet und dazu der topologische Abschluss $X\subseteq C$ des $\mathbb {C}$-linearen Unterraums, der von den Einschränkungen $w|_{\gamma }$ der meromorphen Funktionen $\,\,w\,\,$ der Form

$z\mapsto w(z)=\sum _{k=-m}^{n}{a_{k}z^{k}}\,\,(\,\,m=1,2,\ldots \,\,,n=0,1,\ldots \,\,,a_{k}\in \mathbb {C} \,\,,z\in \mathbb {C} \,\,)$

erzeugt wird.

Dann gilt:

$X=C$ .

Anmerkung

In derselben Publikation des Jahres 1956 hat Walsh auch den Fall behandelt, dass $\gamma \subset \mathbb {C}$ eine offene Jordankurve, also eine homöomorphe Einbettung des Einheitsintervalls in die komplexe Zahlenebene ist, und dazu festgehalten, dass – unabhängig davon, ob der Nullpunkt auf $\gamma$ liegt oder nicht liegt – dann die komplexen Polynomfunktionen im Funktionenraum $\,\,C=C(\gamma ,\mathbb {C} )$ (s. o.) dicht liegen.

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3. 
• J. Korevaar: Lacunary forms of Walsh's approximation theorems. In: The Theory of the Approximation of Functions (= Proc. Internat. Conf., Kaluga). Nauka, Moskau 1977, S. 229–237 (MR0525534). 
• Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272). 
• J. L. Walsh: Über die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen. In: Mathematische Annalen. Band 96, 1927, S. 430–436 (MR1512331). 
• J. L. Walsh: Interpolation and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain (= American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. XX). American Mathematical Society, Providence, R.I. 1956 (MR0218588). 

Einzelnachweise

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Satz von Müntz-Szász

Der Satz von Müntz-Szász (englisch Müntz-Szász theorem) ist einer der Approximationssätze des mathematischen Gebiets der Analysis. Er geht auf Arbeiten der beiden Mathematiker Herman (Chaim) Müntz und Otto Szász aus den Jahren 1914 bzw. 1916 zurück. Der Satz behandelt, anschließend an den klassischen Approximationssatz von Weierstraß, die Frage der Bedingungen, unter denen die stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Einheitsintervall durch Linearkombinationen geeigneter Potenzfunktionen gleichmäßig approximiert werden können.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung von Walter Rudin folgend kann der Approximationssatz angegeben werden wie folgt:

Sei $\,\,C=C(I,\mathbb {C} )$ der zum Einheitsintervall $I=[0,1]\subseteq \mathbb {R}$ gehörige Funktionenraum der stetigen komplexwertigen Funktionen $f\colon I\to \mathbb {C}$, versehen mit der Maximumsnorm, und sei $(p_{n})_{n=1,2,\ldots }$ eine Folge reeller Zahlen mit $0<p_{1}<p_{2}<p_{3}<\ldots$.

Sei weiter $X\subseteq C$ der topologische Abschluss des $\mathbb {C}$-linearen Unterraums, der von den Potenzfunktionen $\,\,1,t^{p_{1}},t^{p_{2}},t^{p_{3}},\ldots \,\,\left(t\in I\right)\,\,$ erzeugt wird.

Dann gilt:

(a) Dann und nur dann ist $\,\,X=C\,\,$, wenn $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{k}}}=\infty$ gilt .

(b) Ist jedoch $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{k}}}<\infty$ und ist weiter $\,\,p\in {\mathbb {C} \setminus \{0,p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \}}\,\,$ , so ist die Potenzfunktion $\,\,t^{p}\,\,$ nicht in $X$ enthalten.

Andere Version

Der Satz von Müntz-Szász, der bei einigen Autoren oft auch nur als Satz von Müntz bezeichnet wird, gab Anlass zu einer Vielzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen. Dabei wurde und wird, wie es schon Otto Szász in 1916 tat und wie in der Folge von anderen Autoren aufgegriffen wurde, von der Voraussetzung, dass die dort auftretenden Exponenten $\,\,p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \,\,$ positive Zahlen sein sollen, in der Regel abgewichen. Stattdessen werden komplexe Exponenten $\,\,z_{1},z_{2},z_{3},\ldots \,\,$ mit positivem Realteil betrachtet, für die zwei gewisse unendliche Reihen divergieren bzw. konvergieren. Man gewinnt damit etwa die folgende Version:

Sei $\,\,C\,\,$ der oben schon gegebene Funktionenraum und sei $(z_{n})_{n=1,2,\ldots }$ eine Folge komplexer Zahlen mit $\,\,\operatorname {Re} (z_{n})>0\,(n=1,2,\ldots )$.

Sei weiter $X\subseteq C$ der topologische Abschluss des von den Potenzfunktionen $\,\,1,t^{z_{1}},t^{z_{2}},t^{z_{3}},\ldots \,\,\left(t\in I\right)\,\,$ erzeugten $\mathbb {C}$-linearen Unterraums.

Dann gilt:

(a) Im Falle, dass $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} (z_{k})}{1+|z_{k}|^{2}}}=\infty$ gilt, ist $\,\,X=C\,\,$ .

(b) Andererseits ist im Falle, dass $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {Re} (z_{k})+1}{1+|z_{k}|^{2}}}<\infty$ gilt, $\,\,X\neq C\,\,$ .

Literatur

• Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272). 
• H. Müntz: Über den Approximationssatz von Weierstrass. In: Festschrift H. A. Schwarz. Springer Verlag, Berlin 1914, S. 303–312. 
• Walter Rudin: Reelle und Komplexe Analysis. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6. 
• Arnold Schönhage: Approximationstheorie (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 1971 (MR0277960). 
• Alan R. Siegel: On the Müntz-Szász theorem for C[0,1]. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 36, 1972, S. 161–166 (MR0306777 ). 
• Otto Szász: Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen. In: Mathematische Annalen. Band 77, 1916, S. 482–496 (MR1511875). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Approximationssatz von Fisher

Der Approximationssatz von Fisher ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionentheorie und Funktionalanalysis, den der Mathematiker Stephen David Fisher in einer wissenschaftlichen Arbeit im Jahr 1968 formuliert hat. Der Satz behandelt ein von Robert Ralph Phelps im Jahre 1965 gestelltes Problem zur Approximation von gewissen stetigen Funktionen der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe der komplexen Zahlenebene .

Formulierung des Approximationssatzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

...

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3. 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Approximationssatz von Carleman

Der Approximationssatz von Carleman ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des Mathematikers Torsten Carleman aus dem Jahr 1927 zurückgeht. Er kann als Verallgemeinerung des klassischen Approximationssatzes von Weierstraß angesehen werden, wobei im Unterschied zum weierstraßschen der carlemansche Approximationssatz die Approximation von gewissen stetigen Funktionen durch ganze Funktionen statt der durch Polynomfunktionen thematisiert. Er ist eng verwandt mit dem rungeschen Approximationssatz, auf den Carleman in seinem Originalbeweis zurückgriff. Im Jahre 1955 zeigte Wilfred Kaplan, dass durch Rückgriff auf den Satz von Mergelyan ein erheblich einfacherer Beweis besteht. Der Approximationssatz von Carleman zog eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen nach sich.

Formulierung des Approximationssatzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Auf der reellen Zahlengerade $\,\mathbb {R} \,$ seien zwei beliebige stetige Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ und $\epsilon \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{>0}$ gegeben.

Dann existiert auf der komplexen Zahlenebene $\,\mathbb {C} \,$ stets eine holomorphe Funktion $g\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ derart, dass für jedes $x\in \mathbb {R}$ stets die Ungleichung

$|f(x)-g(x)|<\epsilon (x)$

erfüllt ist.

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3. 
• Torsten Carleman: Sur un théorème de Weierstrass. In: Arkiv för matematik, astronomi och fysik. 20B, No.4, 1927. 
• Stephen J. Gardiner: Harmonic Approximation (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Band 221). Cambridge University Press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-49799-X (MR0070753 ). 
• Lothar Hoischen: Eine Verschärfung eines Approximationssatzes von Carleman. In: Journal of Approximation Theory. Band 9, 1973, S. 272–277 (MR0367217). 
• Wilfred Kaplan: Approximation by entire functions. In: Michigan Mathematical Journal. Band 3, 1955, S. 43–52 (MR0070753). 
• Stephen Scheinberg: Uniform approximation by entire functions. In: Journal d'Analyse Mathématique. Band 29, 1976, S. 16–18 (MR0508100). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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Ungleichung von Carathéodory

Die Ungleichung von Carathéodory ist eines aus einer ganzen Reihe von Resultaten, die auf dem mathematischen Gebiet der Funktionentheorie von dem Mathematiker Constantin Carathéodory beigesteuert wurden. Die Ungleichung geht zurück auf eine Arbeit, die Carathéodory im Jahre 1912 vorgelegt hat. Sie beruht auf dem Lemma von Schwarz und liefert eine obere Schranke für den Betrag einer holomorphen Funktion auf einer in der komplexen Zahlenebene um dem Nullpunkt gelegenen abgeschlossenen Kreisscheibe. Die Carathéodory'sche Ungleichung gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:

Gegeben seien in der komplexen Zahlenebene eine den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthaltende offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ sowie eine holomorphe Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$.

Weiter gegeben seien eine reelle Zahl $R>0$ und dazu die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\bar {S}}(0,R)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq R\,\}$ vom Radius $R$, wobei ${\bar {S}}(0,R)\subset U$ gelten soll.

Dann gilt für $z\in \mathbb {C}$ und $r>0$ mit $0\leq |z|\leq r<R$ stets die Ungleichung

$|f(z)|\leq |f(0)|+{\frac {2r}{R-r}}\cdot \left(\max _{|z|=R}{\Re {f(z)}-\Re {f(0)}}\right)$ .

Andere Version

Die Ungleichung von Carathéodory wird in der Fachliteratur oft in einer anderen Version angegeben, die in englischsprachigen Quellen als Borel-Carathéodory inequality bzw. als Hadamard-Borel-Carathéodory inequality und in französischsprachigen Quellen als Inégalité de Borel-Carathéodory bezeichnet wird. Diese Version lässt sich angeben wie folgt:

Unter den oben angegebenen allgemeinen Voraussetzungen gilt für $z\in \mathbb {C}$ und $r>0$ mit $0\leq |z|\leq r<R$ stets die Ungleichung

$|f(z)|\leq {\frac {R+r}{R-r}}\cdot |f(0)|+{\frac {2r}{R-r}}\cdot {\sup _{|z|=R}{\Re {f(z)}}}$ .

Korollar

Aus der Ungleichung von Hadamard-Borel-Carathéodory (s. o.) gewinnt man als Korollar den folgenden Satz, der auf eine Arbeit von Jacques Hadamard aus dem Jahre 1892 zurückgeht:

Ist $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine ganze Funktion und sind dazu drei reelle Zahlen $B,K,R>0$ vorhanden, für die ein jedes $z\in \mathbb {C}$ mit $|z|\geq R$ stets die Ungleichung

$\Re {f(z)}\leq B\cdot {|z|}^{K}$

erfüllt, so ist $f$ eine Polynomfunktion von einem Grad kleiner oder gleich $K$.

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3. 
• Constantin Carathéodory: Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten. In: Mathematische Annalen. Band 72, 1912, S. 107–144 (MR1511688). 
• Jacques Hadamard: Sur les fonctions entières de la forme e^G(x). In: Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences Paris. Band 114, 1892, S. 1053–1055. 
• Fritz Rühs: Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 56). Dritte, berichtigte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976 (MR0486433). 
• Yin Chen: Inégalité de Borel-Carathéodory et lemme de Schwarz pour les multifonctions analytiques. In: Complex Variables. Theory and Application. An International Journal. Band 49, 2004, S. 747–757 (MR2098698). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Satz (Mathematik)|Carathéodory, Ungleichung von]]

KKKategorie:Ungleichung|Carathéodory, Ungleichung von]]

Lemniskatensatz von Hilbert (nicht veröffentlicht)

Zu den zahlreichen Sätzen, die der Mathematiker David Hilbert (1862–1943) auf vielen mathematischen Gebieten beigetragen hat, gehört in der der Funktionentheorie der sogenannte Lemniskatensatz von Hilbert (englisch Hilbert's lemniscate theorem). Der Satz geht auf eine von Hilbert in den Göttinger Nachrichten im Jahre 1897 publizierte Note zurück, in der beschrieben wird, wie sich geschlossene Jordankurven der komplexen Zahlenebene durch gewisse lemniskatenartige geschlossene Kurven voneinander trennen lassen.

Formulierung des Satzes

Der Hilbert'sche Lemniskatensatz lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben seien in der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$ zwei geschlossene Jordankurven $C_{1}$ und $C_{2}$, wobei $C_{1}$ ganz im Innengebiet von $C_{2}$ gelegen sein soll.

Dann existiert eine nichtkonstante komplexe Polynomfunktion $P\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit Leitkoeffizient $1$ sowie eine reelle Zahl $r>0$ derart, dass einerseits $C_{2}$ die zu $P$ und $r$ gehörige Lemniskate ganz in ihrem Innengebiet enthält und andererseits $C_{1}$ ganz im Inneren des von $L$ umschlossenen Bereichs gelegen ist.

Erläuterungen und Anmerkungen

• $|\cdot |$ ist die komplexe Betragsfunktion.
• Sind $P$ und $r$ wie oben beschrieben, so ist die dazu gehörige Lemniskate (im Sinne von Hilbert) die Niveaulinie $L=L(P,r):=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |P(z)|=r\}$.
• Hat die beschriebene Polynomfunktion $P$ den Grad $\deg(P)=n$ und sind $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ die nach dem Fundamentalsatz der Algebra existierenden (nicht notwendig verschiedenen) $n$ Nullstellen von $P$, so gilt demnach $L=\{\,z\in \mathbb {C} \colon \prod _{i=1}^{n}|z-c_{j}|=r\}$ . Das erklärt auch, dass in diesem Kontext von einer Lemniskate die Rede ist, da ja die Punktmenge $L$ aus denjenigen Punkten von $\mathbb {C}$ besteht, für die das Produkt der $n$ Abstände von den $P$-Nullstellen konstant, nämlich $=r$ ist.

Literatur

• David Hilbert: Über die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variablen in eine unendliche nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitende Reihe. In: Göttinger Nachrichten. 1897, S. 63–70 (Reprint in: Gesammelte Abhandlungen: Dritter Band. Chelsea Publishing Company, Bronx, New York, 1965, S. 3–9). 
• Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume II. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1973. 
• Béla Nagy, Vilmos Totik: Sharpening of Hilbert's lemniscate theorem. In: Journal d'Analyse Mathématique. Band 96, 2005, S. 191–223 (MR2177185). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionentheorie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bieberbach, Flachensatz von]]

Flächensatz von Bieberbach

Zu den zahlreichen Resultaten, die der Mathematiker Ludwig Bieberbach (1886–1982) auf dem mathematischen Gebiet der Funktionentheorie beigetragen hat, gehört ein Lehrsatz, der von manchen Autoren als Flächensatz von Bieberbach bezeichnet wird. Dieser Lehrsatz liefert eine mathematische Formel für den Flächeninhalt der Bildmenge einer Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene unter einer schlichten holomorphen Funktion.

Formulierung des Satzes

Der bieberbachsche Flächensatz lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben seien in der komplexen Ebene eine den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthaltende offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ und darin enthalten für eine reelle Zahl $r>0$ die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\bar {S}}(0,r)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq r\,\}$ vom Radius $r$.

Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion $w\colon U\to \mathbb {C}$ , welche für $z\in {\bar {S}}(0,r)$ stets die Taylorreihenentwicklung $w(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}z^{n}}\;(c_{n}\in \mathbb {C} \;,\;n=0,1,2,\dotsc )$ haben soll.

Dann lässt sich der Flächeninhalt $A$ der Bildmenge $w\left({\bar {S}}(0,r)\right)$ nach der Formel

$A=\pi \cdot \sum _{n=1}^{\infty }{n\cdot |c_{n}|^{2}\cdot r^{2n}}$

berechnen.

Verwandter Flächensatz

Mit dem obigen Flächensatz von Bieberbach eng verwandt ist ein weiterer als Flächensatz (englisch area theorem) bekannter Lehrsatz, welcher Einar Hille zufolge von Thomas Hakon Grönwall im Jahre 1914 gefunden wurde. Dieser Flächensatz lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben sei in der komplexen Ebene das Gebiet $G:=\mathbb {C} \setminus {\bar {S}}(0,1)$, also das Äußere des abgeschlossenen Einheitskreises.

Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion $w\colon G\to \mathbb {C}$ , welche für $z\in G$ stets die Darstellung $w(z)=z+b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{z^{n}}}\;(b_{n}\in \mathbb {C} \;,\;n=0,1,2,\dotsc )$ haben und deren Bildmenge $w(G)\,$ eine offene Umgebung von $\infty$ sein soll.

Dann gilt die Ungleichung

$\sum _{n=1}^{\infty }{n\cdot |b_{n}|^{2}}\leq 1$.

Literatur

• Ravi P. Agarwal, Kanishka Perera, Sandra Pinelas: An Introduction to Complex Analysis. Springer-Verlag, New York 2011, ISBN 978-1-4614-0194-0 (MR2809236). 
• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1965. 
• Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume II. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1973. 
• Reiner Kühnau: Der Flächensatz in einer Klasse schlichter Abbildungen. In: Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 26, 1981, S. 1119–1121 (MR0640086). 
• Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: Einführung in die Funktionentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 30). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1965 (MR0201609). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionentheorie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bieberbach, Flachensatz von]]

Chordaler Abstand

Im mathematischen Gebiet der Analysis gewinnt man den chordalen Abstand (englisch chordal distance) als Abwandlung der komplexen Betragsfunktion.

Definition

Der chordale Abstand ist die reellwertige Funktion $d\colon \,\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{\geq 0},\;(a,b)\mapsto d(a,b)$, welche folgendermaßen festgelegt ist:

Sind komplexe Zahlen $a,b$ gegeben, so ist

$d(a,b)={\frac {|a-b|}{(1+|a|^{2})^{\frac {1}{2}}\cdot (1+|b|^{2})^{\frac {1}{2}}}}$ .

Eigenschaften

• Der chordale Abstand ist eine Metrik.
• Für komplexe Zahlen $a,b$ gilt stets $d(a,b)\leq 1$ .

Literatur

• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis]]

. . . . .  Eingearbeitet in Artikel "Chordale Metrik" . . . .

. . . . .

Alternative

In vielen Lehrbüchern wird eine andere Darstellung der chordalen Metrik bevorzugt, welche sich von der obigen durch die Weglassung des Faktors $2$ unterscheidet. Hier hat man also (bei Anwendung der komplexen Betragsfunktion):

$\chi (a,b)={\frac {|a-b|}{(1+|a|^{2})^{\frac {1}{2}}\cdot (1+|b|^{2})^{\frac {1}{2}}}}\;(a,b\in \mathbb {C} )$ .

Der Unterschied besteht darin, dass man bei der Einbettung der Gaußschen Zahlenebene in die Riemannsche Zahlenkugel eine Kugel des $\mathbb {R} ^{3}$ zugrundelegt, die den Durchmesser $1$ hat und mit ihrem Südpol die $x$-$y$-Ebene im Koordinatenursprung berührt. Ihr Nordpol hat dabei die Koordinaten $x=0,y=0,z=1$. Diese reellwertige Funktion $\chi$ ist also eine beschränkte Funktion mit dem Supremum $1$. Man spricht in diesem Zusammenhang eher vom chordalen Abstand (englisch chordal distance).

Dass $\chi$ hier die Eigenschaften eine Metrik besitzt, ergibt sich aus der Tatsache, dass sie aus dem euklidischen Abstand des $\mathbb {R} ^{3}$ erwächst. Dies lässt sich jedoch auch elementar nachweisen, wie der Mathematiker Shizuo Kakutani zeigte. Dabei geht es im Wesentlichen um den Nachweis der Gültigkeit der Dreiecksungleichung. Kakutani zeigte dies unter Anwendung der folgenden beiden Ungleichungen:

(1) Für komplexe Zahlen $a,b,c$ gilt stets

$|a-b|\cdot (1+|c|^{2})\leq |a-c|\cdot |1+b{\bar {c}}|+|b-c|\cdot |1+a{\bar {c}}|$ .

(1) Für komplexe Zahlen $a,b$ gilt stets

$|1+ab|\leq (1+|a|^{2})^{\frac {1}{2}}\cdot (1+|b|^{2})^{\frac {1}{2}}$ .

Verallgemeinerung

. . . . . 

Literatur

• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1965, S. 13 ff. 
• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4, S. 20. 
• Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume 1. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1959, S. 42 ff. 
• Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter, Berlin 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 354–355. 

Einzelnachweise

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...

Basler Problem (Erg.)

Verallgemeinerungen

....

Zusammenhang mit den Fourier-Reihen

In der Theorie der Fourier-Reihen hat man die auf ganz $\mathbb {R}$ stetige reelle Funktion

$\Phi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos {ns}}{n^{2}}}\;(s\in \mathbb {R} )$ ,

wobei nach dem Majorantenkriterium die rechts auftretende Reihe absolut konvergent ist.

Für eine gegebene reelle Zahl $s$ mit $0\leq s\leq 2\pi$ gilt hierbei die Identitätsgleichung

$\Phi (s)=\left({\frac {s-\pi }{2}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}$ ,

was unmittelbar zu der Gleichung

$\Phi (0)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

führt.

Literatur

...

• Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, doi:10.1007/978-3-662-58326-5. 

Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski

Der Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski, englisch Kuratowski-Ryll Nardzewski Selection Theorem, ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analysis, der auf die beiden polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski und Czesław Ryll-Nardzewski zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen einer mengenwertigen Abbildung zwischen einem Messraum und einem topologischen Raum unter Berücksichtigung von Messbarkeitsgesichtspunkten eine Auswahlabbildung zugehört.

Formulierung des Satzes

Anknüpfend an die Darstellung von Leszek Gasiński und Nikolaos S. Papageorgiou lässt sich der genannte Auswahlsatz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein Messraum $\Omega$ und ein topologischer Raum $X$.

Weiter gegeben sei eine messbare mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ derart, dass für jedes $\omega \in \Omega$ die zugeordnete Teilmenge $F(\omega )$ in $X$ abgeschlossen ist.

Ist dabei $X$ ein polnischer Raum, so existiert stets eine zugehörige messbare Auswahlabbildung $f\colon \Omega \to X$.

Anwendung

Aufbauend auf den Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski lässt sich eine weiteres Resultat gewinnen, welches die Frage der Messbarkeit von mengenwertigen Abbildungen betrifft. Es besagt folgendes:

Gegeben seien ein Messraum $\Omega$ und ein polnischer Raum $X$ und weiter eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)}$,

welche jedem $\omega \in \Omega$ eine in $X$ abgeschlossene, nichtleere Teilmenge $F(\omega )$ zuordnet.

Dann sind die folgenden beiden Aussagen gleichwertig:

(a) $F$ ist messbar.

(b) Es gibt eine Funktionenfolge von messbaren Funktionen $f_{1},f_{2},f_{3},\ldots \;\colon \Omega \to X$, welche die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

(b1) Für $n=1,2,3,\ldots$ ist $f_{n}$ stets eine zu $F$ gehörige Auswahlabbildung.

(b2) Für jedes $\omega \in \Omega$ gilt $F(\omega )={\overline {\{f_{n}(\omega )\mid n=1,2,3,\ldots \}}}$.

Verwandter Satz

Mit dem Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski direkt verwandt ist ein anderer (bekannter) Auswahlsatz, der die gleiche Frage unter Stetigkeitsgesichtspunkten statt unter Messbarkeitsgesichtspunkten behandelt und nach seinem Entdecker, dem US-amerikanischen Mathematiker Ernest Arthur Michael, als Auswahlsatz von Michael (englisch Michael Selection Theorem) bezeichnet wird.

Anknüpfend an die Darstellung von Winfried Kaballo lässt sich dieser Satz von folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein topologischer Raum $\Omega$ und ein topologischer Vektorraum $X$.

Weiter gegeben sei eine unterhalbstetige mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ derart, dass für jedes $\omega \in \Omega$ die zugeordnete Teilmenge $F(\omega )$ in $X$ zugleich abgeschlossen und konvex ist.

Ist dabei $\Omega$ ein parakompakter Hausdorffraum und ist zugleich $X$ ein Fréchet-Raum, so existiert stets eine zugehörige stetige Auswahlabbildung $f\colon \Omega \to X$.

Folgerung

Aus dem Auswahlsatz von Michael gewinnt man auf direktem Wege ein Resultat, welches für die Frage der Existenz von Lösungen von Gleichungen bedeutsam ist. Es geht auf eine in 1952 von Robert G. Bartle und Lawrence M. Graves vorgelegte wissenschaftliche Arbeit zurück und wird auch als Satz von Bartle-Graves (englisch Bartle-Graves Theorem) genannt. An Winfried Kaballo anknüpfend kann dieser Satz wie folgt angegeben werden:

Gegeben seien zwei Banachräume $E$ und $Q$, wobei $Q$ ein mit der Quotientennorm versehener Faktorraum von $E$ sein soll.

Die zugehörige Quotientenabbildung sei $\sigma \colon E\rightarrow Q$.

Dann gilt:

Zu jeder reellen Zahl $r>1$ gibt es eine linear homogene, stetige, rechtsinverse Abbildung $R\colon Q\to E$ derart, dass für $y\in Q$ stets die Ungleichung

$\|R(y)\|\leq r\cdot \|y\|$

erfüllt ist.

Erläuterungen

• Ein topologischer Raum $\Omega$ ist vermöge seiner Borel-Algebra ${\mathcal {B}}(\Omega )$ stets auch ein Messraum.
• Für gegebene Grundmengen $\Omega$ und $X$ und eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ ist eine zu $F$ gehörige Auswahlabbildung (englisch selector, selection) oder auch Auswahlabbildung von $F$ dadurch gekennzeichnet, dass für alle $\omega \in \Omega$ die Beziehung $f(\omega )\in F(\omega )$ erfüllt ist. Eine solche Auswahlabbildung ist also nichts weiter als ein Element der Produktmenge $\prod _{\omega \in \Omega }F(\omega )$.
• Für einen Messraum $\Omega$ mit zugehöriger Σ-Algebra ${\mathcal {\Sigma }}(\Omega )$ und einen topologischen Raum $X$ wird eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)$ als messbar bezeichnet, wenn für jede in $X$ gelegene offene Teilmenge $U\subseteq X$ die zugehörige Teilmenge $F^{-}(U):=\left\{\omega \in \Omega \mid F(\omega )\cap U\neq \emptyset \right\}$ die Beziehung $F^{-}(U)\in {\mathcal {\Sigma }}(\Omega )$ erfüllt.
• Für zwei topologische Räume $\Omega$ und $X$ wird eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)$ als unterhalbstetig bezeichnet, wenn für jede in $X$ gelegene offene Teilmenge $U\subseteq X$ die zugehörige zugehörige Teilmenge $F^{-}(U)$ in $\Omega$ offen ist.
• Der Auswahlsatz von Michael beruht nicht zuletzt darauf, dass in einem parakompakten Hausdorffraum bezüglich jeder beliebigen offenen Überdeckung stets eine stetige Zerlegung der Eins existiert.
• In einer häufig zitierten anderen Version des Auswahlsatzes von Michael – so auch bei Gasiński/Papageorgiou – wird der topologische Vektorraum $X$ sogar als Banachraum vorausgesetzt.

Literatur

• Robert G. Bartle, Lawrence M. Graves: Mappings between function spaces. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 72, 1952, S. 400–413 (MR0047910). 
• J. M. Borwein, Asen L. Dontchev: On the Bartle-Graves theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 131, 2003, S. 2553–2560 (MR1974655). 
• Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1 (= Problem Books in Mathematics). Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06175-7, doi:10.1007/978-3-319-06176-4 (MR3307732). 
• Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Distributionen – lokalkonvexe Methoden – Spektraltheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37793-8, doi:10.1007/978-3-642-37794-5 (MR3672798). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis|Kuratowski und Ryll-Nardzewski, Auswahlsatz von]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kuratowski und Ryll-Nardzewski, Auswahlsatz von]]

Satz von Gelfand (Eingefügt in Artikel "Halbnorm")

In der Funktionalanalysis gehört zu den zahlreichen Resultaten, die hier von dem Mathematiker Izrail M. Gelfand geliefert wurden, ein Satz, der die Frage behandelt, wie die Halbnormen auf einem reellen normierten Raum $X$ mit der gegebenen Norm verknüpft sind. Der Satz geht auf eine Arbeit Gelfands aus dem Jahr 1936 zurück.

Formulierung des Satzes

Anknüpfend an die Darstellung in der Monographie von Kantorowitsch/Akilow lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ und darauf eine numerische Funktion $p\colon X\to {\mathbb {R} _{0}^{+}\cup \{+\infty \}}$, welche die oben genannten Eigenschaften einer Halbnorm aufweist.

Dabei sei $p$ unterhalbstetig und zudem existiere in $X$ eine Teilmenge zweiter Kategorie $K\subset X$ mit der Eigenschaft, dass für alle $x\in K$ die Ungleichung $p(x)<+\infty$ gilt.

Dann gibt es eine Konstante $M>0$ mit $p(x)\leq M\cdot \|x\|$ für alle $x\in X$.

Literatur

• Izrail M. Gelfand: Sur le lemme de la théorie des espaces linéaires. In: Sap. matem. t-wa. Band 4, 1936, S. 35–40. 
• L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1978, ISBN 3-87144-327-1 (MR0458199). 
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionalanalysis|Gelfand (Funktionalanalysis), Satz von]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Gelfand (Funktionalanalysis)]]

Satz von Hadamard (Analysis)

Zu den zahlreichen Resultaten, die der französische Mathematiker Jacques Hadamard in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beigetragen hat, gehört in der Analysis ein als Satz von Hadamard (englisch Hadamard theorem) bezeichneter Lehrsatz, der auf eine Arbeit Hadamards aus dem Jahr 1906 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen eine stetig differenzierbare Abbildung auf dem euklidischen Raum ${\mathbb {R} }^{n}$ ein Homöomorphismus ist.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung in der Monographie von Ortega / Rheinboldt folgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben sei eine stetig differenzierbare Abbildung $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ auf dem euklidischen Raum ${\mathbb {R} }^{n}$, für die in jedem Raumpunkt $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ die Jacobi-Matrix ${J_{F}}(x_{0})$ nichtsingulär sein soll.

Dabei existiere eine reelle Zahl $\gamma >0$ derart, dass bezüglich der Operatornorm für $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ stets die Ungleichung $\|{{J_{F}}(x_{0})}^{-1}\|\leq \gamma$ erfüllt ist.

Dann ist $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ist ein Homöomorphismus.

Verallgemeinerungen

Im Jahre 1920 dehnte M. P. Lévy den Hadamard'schen Satz auf reelle Hilberträume aus, woraufhin Rheinboldt im Jahre 1969 zeigte, dass er sich auch auf beliebige reelle Banachräume ausdehnen lässt.

Literatur

• J. Hadamard: Sur les transformations ponctuelles. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 34, 1906, S. 71–84 ([2]). 
• M. P. Levy: Sur les fonctions de lignes implicites. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 48, 1920, S. 13–27. 
• J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Reprint of the 1970 original (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA 2000 (MR1744713). 
• Werner C. Rheinboldt: Local mapping relations and global implicit function theorems. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 138, 1969, S. 183–198 (MR0240644). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis|Hadamard (Analysis), Satz von]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hadamard (Analysis)]]

Waringscher Satz (Analysis)

Der Waringsche Satz ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis, der dem Mathematiker Edward Waring zugerechnet wird. Der Satz ist eng verwandt mit dem Satz von Rolle.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben seien eine reelle Polynomfunktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sowie drei reelle Zahlen $a,b,c\in \mathbb {R}$.

Dabei soll gelten:

(I) $a<b$.

(II) $a$ und $b$ sind Nullstellen von $f$.

(III) Im offenen Intervall $]a,b[$ liegt keine Nullstelle von $f$.

(IV) $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist die zugehörige Polynomfunktion mit $g(x)=f'(x)+c\cdot f(x)\;(x\in \mathbb {R} )$.

Dann gilt:

$g$ besitzt im offenen Intervall $]a,b[$ eine ungerade Anzahl von Nullstellen und – insbesondere! – stets mindestens eine.

Literatur

• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds und Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 482 (MR1089881). 
• Franz Xaver Mayer: Eduard Warings Meditationes algebraicae. Inauguraldissertation (Universität Zürich). Überlingen (Bodensee) 1923 (WorldCat-Link). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Mathematik)|Waringscher]] KKKategorie:Analysis]]

Alternierende Reihe

Alternierende Reihen sind unendliche Reihen und gehören als solche in das mathematische Teilgebiet der Analysis.

Definition

Eine alternierende Reihe (englisch englisch alternating series) ist eine unendliche Reihe, deren Reihenglieder aus reellen Zahlen bestehen, die abwechselndes Vorzeichen haben.

Es handelt sich also um eine Reihe, die in der Form

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$   oder   $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$

dargestellt werden kann, wobei die $a_{k}\geq 0$ sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ bzw. $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$monoton fallend sein soll.

Darstellung von Konstanten mittels alternierender Reihen

Viele Konstanten in der Analysis haben aussagekräftige Reihendarstellungen und gewinnen ihr Interesse nicht zuletzt aus Darstellungen mittels alternierender Reihen. Hier gibt es einige herausragende Beispiele – wie etwa:

Zum natürlichen Logarithmus von 2

Hier tritt eines der immer wieder genannten Standardbeispiele für alternierende Reihen auf, nämlich die alternierende harmonische Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+-\ldots =\ln 2$,

die im Gegensatz zur (divergenten!) harmonische Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert.

Zur eulerschen Zahl

Ein anderes gängiges Beispiel ist die alternierende Reihe für den Kehrwert der eulerschen Zahl. Man hat nämlich:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+-\ldots ={\frac {1}{e}}$.

Zur Kreiszahl

Ein weiteres Standardbeispiel ist auch die Leibnizsche Reihe, welche eine Reihenentwicklung der Kreiszahl beinhaltet:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+-\ldots ={\frac {\pi }{4}}$.

Zur Kreiszahl gibt es eine ganze Anzahl weiterer alternierender Reihen wie etwa

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{2}}}=1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+-\ldots ={\frac {{\pi }^{2}}{12}}$

und

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{4}}}=1-{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}-{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+-\ldots ={\frac {{7\cdot \pi }^{4}}{720}}$

und

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(2k-1)^{3}}}=1-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}+-\ldots ={\frac {{\pi }^{3}}{32}}$.

Zur Wurzel von 2

Zwei Beispiele gibt es zur Wurzel der natürlichen Zahl $2$, die sich aus der Binomialreihe ergeben, nämlich: $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {\binom {2k}{k}}{2^{2k}(2k-1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}+-\ldots ={\sqrt {2}}-1$

und

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\binom {2k}{k}}{2^{2k}}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}+-\ldots ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

Zum goldenen Schnitt

Die goldene Zahl $\Phi$ liefert folgendes Beispiel:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{2}{\binom {2k}{k}}}}={\frac {1}{1\cdot 2}}-{\frac {1}{4\cdot 6}}+{\frac {1}{9\cdot 20}}-{\frac {1}{16\cdot 70}}+-\ldots =2\cdot {\ln(\Phi )}^{2}$

Den engen Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,\ldots )$ belegt auch die Gleichung

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{f_{k}}}=3{,}3598856662\ldots ={\sqrt {5}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{{\Phi }^{2n+1}-(-1)^{n}}}$.

Zur Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante, also der Funktionswert der riemannschen Zetafunktion für das Argument $x=3$, liefert ebenfalls Beispiele:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}={\frac {1}{1\cdot 2}}-{\frac {1}{8\cdot 6}}+{\frac {1}{27\cdot 20}}-{\frac {1}{64\cdot 70}}+-\ldots ={\frac {2}{5}}\cdot \zeta (3)$

Weiterhin gilt die folgende Reihendarstellung:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left((-1)^{k-1}\cdot {\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{km(k+m)}}}\right)=\sum _{k,m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{km(k+m)}}={\frac {5}{8}}\cdot \zeta (3)$.

Zur catalanschen Konstante

Die catalansche Konstante ist sogar als alternierende Reihe definiert, und zwar als die folgende :

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}}=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+-\ldots =G$

Zur Cahen-Konstante

Als weiteres Beispiel ist die Cahen-Konstante

$c=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{s_{k}-1}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-{\frac {1}{3263442}}+-\ldots =0{,}6434105462\ldots$

zu erwähnen, wobei die Folge $\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ per Rekursion definiert ist:

$s_{0}=2$

$s_{k+1}={s_{k}}^{2}-s_{k}+1\;(k\in \mathbb {N} _{0})$.

Eng verwandt mit der Cahen'schen Konstante ist die ebenfalls durch eine alternierende Reihe gegebene Konstante

$c^{'}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{s_{k}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}-{\frac {1}{3263443}}+-\ldots =2\cdot c-1=0{,}28682109258\ldots$.

Zur Euler-Mascheroni-Konstante

Ein besonders bemerkenswertes Beispiel liefert die Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$ durch eine Darstellung als alternierende Reihe unter Verwendung der Funktionswerte der riemannschen Zetafunktion:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}$.

Daneben sind weitere Darstellungen bekannt, wie etwa die von Formel von Vacca:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\cdot \lfloor {\frac {\ln k}{\ln 2}}\rfloor ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {2}{5}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {2}{7}}+{\frac {3}{8}}+-\ldots \$.

Zu einer Primzahlkonstanten

Bildet man aus den Kehrwerten der Primzahlen $\left(p_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\ldots \right)$ die zugehörige alternierende Reihe, so erhält man:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{p_{k}}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-+\ldots =-0{,}2696063519\ldots$.

Zu zwei von Ramanujan behandelten Konstanten

Der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan fand zwei alternierende Reihen zur Darstellung zweier Konstanten im Zusammenhang mit der Gammafunktion $\Gamma$ und der Kreiszahl $\pi$, nämlich

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {{\binom {2k}{k}}^{2}}{2^{4k}}}={\frac {{\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}^{2}}{\left(2\pi \right)^{\frac {3}{2}}}}$

und

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {{\binom {2k}{k}}^{3}}{2^{6k}}}=\left({\frac {\Gamma \left({\frac {9}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {5}{4}}\right)\cdot \Gamma \left({\frac {7}{8}}\right)}}\right)^{2}$.

Zum Integral von x hoch x

Das Integral

$\int _{0}^{1}{x^{x}}\mathrm {d} x=\lim _{t\searrow 0}\int _{t}^{1}{x^{x}}\mathrm {d} x=0{,}7834305107\ldots$

besitzt die Darstellung

$\int _{0}^{1}{x^{x}}\mathrm {d} x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{k}}}=1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{27}}-{\frac {1}{256}}+{\frac {1}{3125}}+-\ldots$.

Darstellungen von Funktionen mittels alternierender Reihen

Wie die in der Analysis auftretenden Konstanten haben auch viele reelle Funktionen Reihendarstellungen mittels alternierender Reihen. Hierfür gibt es eine Reihe von bedeutenden Beispiele – wie etwa:

Zur Logarithmusfunktion

Das obige Beispiel zum Logarithmus von $2$ lässt sich verallgemeinern. Hier ergibt sich nämlich für reelle Zahlen $x$ mit $-1<x\leq 1$ die Reihenentwicklung

$\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+-\ldots$,

aus der für nichtnegative $x$ (offenbar) alternierende Reihen hervorgehen.

Zur Kehrwertfunktion

Ein interessantes Beispiel liefert die für reelle $x$ mit $|x|<1$ gebildete geometrische Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+-\ldots ={\frac {1}{1+x}}$.

Diese bildet für den Fall $x\geq 0$ eine alternierende Reihe, die jedoch zusätzlich absolut konvergent ist. Hier ist dann die Situation gegeben, dass man die Reihensumme einfach als Summe der nur aus den positiven und der nur aus den negativen Gliedern gebildeten Teilreihen ermittelt, also als Differenz zweier Reihen aus lauter positiven Gliedern.

Zur Arkustangensfunktion

Das obige Beispiel zur Leibnizschen Reihe lässt sich verallgemeinern vermöge der (alternierenden!) Arkustangensreihe für reelle Zahlen $x$ mit $-1\leq x\leq 1$. Hier gilt nämlich:

$\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\ldots$.

Zu Sinus und Kosinus

Zu den bedeutenden alternierenden Reihen zählen ebenfalls die Taylorreihen für die reelle Sinus- und Kosinusfunktion:

$\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+-\ldots \;(x\in \mathbb {R} )$

$\cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+-\ldots \;(x\in \mathbb {R} )$

Zur riemannschen Zetafunktion und zur dirichletschen Etafunktion

In den Zusammenhang mit der oben genannten alternierenden harmonischen Reihe gehört als weiteres Beispiel die folgende alternierende Reihe, die eng mit der (schon erwähnten) riemannschen Zetafunktion verbunden ist und die als eines von vielen Beispielen einer Dirichletreihe gelten kann. Hier gewinnt man nämlich, wie G. M. Fichtenholz in seiner Differential- und Integralrechnung II darlegt, für reelle Zahlen $x\in \mathbb {R} ^{>1}$ die Darstellung:

$\eta (x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{x}}}=1-{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}-{\frac {1}{4^{x}}}+-\ldots =\left(\ 1-{\frac {1}{2^{x-1}}}\right)\cdot \zeta (x)$.

In ähnlicher Weise hat man für reelle Zahlen $x$ mit $0<x<1$ die Darstellung

$\zeta (x)={\frac {-1}{2^{1-x}-1}}\cdot \eta (x)$

und dann sogar

$\zeta (x)=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{x}}}-{\frac {n^{1-x}}{1-x}}\right)$.

Zur dirichletschen Betafunktion

Die oben genannten catalansche Konstante $G$ gehört ebenfalls zu einem funktionalen Beispiel. Es handelt sich um die dirichletsche Betafunktion, welche für reelle Zahlen $x\in \mathbb {R} ^{>0}$ als alternierende Reihe

$\beta (x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{x}}}=1-{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}-{\frac {1}{7^{x}}}+{\frac {1}{9^{x}}}+-\ldots$

dargestellt werden kann.

Zu den Bessel-Funktionen

Im Zusammenhang mit der besselschen Differentialgleichung treten die Bessel-Funktionen $n$-ter Ordnung 1. Gattung $J_{n}$ auf, welche für reelle Zahlen $x\in \mathbb {R}$ stets alternierende Reihen der Form

$J_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}\cdot {\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{n+2k}}{k!\cdot \Gamma (n+k+1)}}}={\frac {x^{n}}{2^{n}\cdot \Gamma (n+1)}}\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{2\cdot (2n+2)}}+{\frac {x^{4}}{2\cdot 4\cdot (2n+2)\cdot (2n+4)}}-+\ldots \right)$

liefern.

Beispiel einer divergenten alternierende Reihe

Ein Beispiel für eine divergente alternierende Reihen ist

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\cdot (k+1)}{k}}=2-{\frac {3}{2}}+{\frac {4}{3}}-{\frac {5}{4}}+-\ldots$,

bei dem zu beachten ist, dass die Folge $\left({\frac {k+1}{k}}\right)_{k=1,2,3,\dots ,\infty }$ zwar monoton fallend ist, jedoch den Grenzwert $1$ hat.

Literatur

• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I (= de Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 2000, ISBN 3-11-016778-6. 
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 10., überarbeitete Auflage. Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2016, ISBN 978-3-8085-5790-7. 
• Claudio Canuto, Anita Tabacco: Mathematical Analysis I (= UNITEXT – La Matematica per il 3+2. Band 84). 2. Auflage. Springer International Publishing Switzerland, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-319-12771-2, doi:10.1007/978-3-319-12772-9. }
• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band. Funktionen einer Veränderlichen. Neudruck 1948 (der 2. Auflage von 1930). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin 1948. 
• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974. 
• Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge University Press, Cambridge [u. a.] 2003, ISBN 0-521-81805-2 (MR2003519). 
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen (= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). 9., überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5. 
• Hans Grauert, Ingo Lieb: Differential- und Integralrechnung I. Funktionen einer reellen Veränderlichen (= Heidelberger Taschenbücher. Band 26). 4. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin, New York 1976 (MR0430171). }
• H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. 3. Auflage. Dover Publications, Mineola, NY 2012, ISBN 978-0-486-48452-5. 
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997). 
• Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2 (MR0671586). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Folgen und Reihen]]

Satz von Lasry

Der Satz von Lasry, auch genannt unter dem Stichwort Lasry'sche Gleichung, englisch Lasry's equality oder Lasry equality, ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Funktionalanalysis und wurde etwa um das Jahr 1973 von dem französischen Mathematiker Jean-Michel Lasry vorgelegt. Der Satz gibt eine mit der Ungleichung von Ky Fan direkt verwandte Gleichung für gewisse reelle Funktionen auf topologischen Produkträumen.

Formulierung des Satzes

Der Monographie von Jürgen Heine folgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein nichtleerer kompakter pseudometrischer Raum $X$ sowie ein halbnormierter $\mathbb {R}$-Vektorraum $V$ und darin eine nichtleere konvexe Teilmenge $Y\subseteq V$ mit $C(X,Y)$ als der zugehörigen Menge der stetigen Abbildungen .

Gegeben sei weiter eine reelle Funktion $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$.

Dabei sei einerseits für jedes $x\in X$ die untergeordnete Funktion $f(x,{\cdot })\colon Y\to \mathbb {R} \;,\;y\mapsto f(x,y)\;,\;$ konkav und nach oben beschränkt und andererseits für jedes $y\in Y$ die untergeordnete Funktion $f({\cdot },y)\colon X\to \mathbb {R} \;,\;x\mapsto f(x,y)\;,\;$ unterhalbstetig.

Dann gilt

$\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}{f(x,y)}=\sup _{\phi \in C(X,Y)}\inf _{x\in X}{f(x,{\phi (x)})}$.

Allgemeiner Hintergrund

Im Zusammenhang mit dem Satz von Lasry ist das folgende allgemeine Resultat bedeutsam:

Gegeben seien nichtleere Mengen $X$ und $Y$ mit $Y^{X}$ als der zugehörigen Menge der Abbildungen sowie eine reelle Funktion $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$.

Dabei sei für jedes $x\in X$ die untergeordnete Funktion $f(x,{\cdot })\colon Y\to \mathbb {R}$ nach oben beschränkt.

Dann gilt

$\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}{f(x,y)}=\sup _{\phi \in Y^{X}}\inf _{x\in X}{f(x,{\phi (x)})}$.

Anmerkung

Der Satz von Lasry besagt also, dass in der dort genannten Situation die entspechende Gleichung mit $C(X,Y)$ anstelle von $Y^{X}$ richtig ist.

Literatur

• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Jean-Pierre Aubin: Optima and Equilibria. An introduction to nonlinear analysis. Translated from the French by Stephen Wilson (= Graduate Texts in Mathematics. Band 140). 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-64983-2 (MR1729758). 
• Jean-Pierre Aubin: Applied Abstract Analysis. Exercises by Bernard Cornet and Hervé Moulin. Translated from the French by Carole Labrousse (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, London, Sydney, Toronto 1977, ISBN 0-471-02146-6 (MR0470034). 

Siehe auch

• Min-Max-Theorem

Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionalanalysis|Lasry, Satz von]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Lasry ]]

Satz von Ky Fan

In der Theorie der konvexen Funktionen, einem Teilgebiet der Mathematik zwischen Funktionalanalysis und numerischer Mathematik, wurde das Von Neumann'sche Minimax-Theorem (englisch Von Neumann minimax theorem) von verschiedenen Autoren und auf vielfache Weise verallgemeinert und abgewandelt. Die dabei gewonnenen Resultate nennt man Minimaxsätze (englisch minimax theorems). Einer der vielgenannten Minimaxsätze ist derjenige Lehrsatz, welcher von dem Mathematiker Ky Fan im Jahre 1953 vorgelegt wurde und den man auch als Satz von Ky Fan bezeichnet. Einen dem Ky Fan'schen sehr ähnlichen Minimaxsatz hat Heinz König im Jahre 1968 geliefert.

Formulierung des Satzes

An die Monographie von Peter Kosmol anschließend lässt sich der Ky Fan'sche Satz wie folgt formulieren:

Gegeben seien eine nichtleere Menge $X$ und ein nichtleerer kompakter topologischer Raum $Y$ sowie eine reellwertige Funktion $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$.

Die Funktion $f$ sei F-konkav bezüglich $X$ und F-konvex bezüglich $Y$.

Zudem sei $f(x_{0},{\cdot })\colon Y\to \mathbb {R} \;,\;y\mapsto f(x_{0},y)\;,\;$ für jedes $x_{0}\in X$ eine unterhalbstetige Funktion.

Dann gilt

$\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}{f(x,y)}=\inf _{y\in Y}\sup _{x\in X}{f(x,y)}$.

Von Neumann'sches Minimax-Theorem

Der Satz von Ky Fan führt direkt zu der folgenden Version des Von Neumann'schen Minimax-Theorems:

Gegeben seien nichtleere kompakte, konvexe Teilmengen $X\subseteq \mathbb {R} ^{m}\;(m\in \mathbb {N} )$ und $Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ sowie eine stetige Funktion $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$.

Für jedes $x_{0}\in X$ sei $f(x_{0},{\cdot })\colon Y\to \mathbb {R}$ ein konvexes Funktional und für jedes $y_{0}\in Y$ sei $f({\cdot },y_{0})\colon X\to \mathbb {R}$ ein konkaves Funktional.

Dann gibt es einen Sattelpunkt $({\hat {x}},{\hat {y}})$ von $f$ und es gilt

$\max _{x\in X}\min _{y\in Y}{f(x,y)}=f({\hat {x}},{\hat {y}})=\min _{y\in Y}\max _{x\in X}{f(x,y)}$.

Geläufiger als diese Version des Von Neumann'schen Minimax-Theorems ist indes eine, bei der das obige Funktional direkt abhängig ist von einer reellen quadratischen Matrix und die nach Beckenbach/Bellmann folgendermaßen zu formulieren ist:

Gegeben seien das reelle Simplex $\Delta =\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon x_{i}\geq 0\,(i=1,\ldots ,n)\ {\text{und}}\ \sum _{i=1}^{n}{x_{i}}=1\}$ sowie eine Matrix $A\in {\mathbb {R} }^{n\times n}$.

Dann gilt die Ungleichung

$\max _{x\in \Delta }\min _{y\in \Delta }{\sum _{i,j=1}^{n}\left(x_{i}\cdot a_{ij}\cdot y_{j}\right)}=\min _{y\in \Delta }\max _{x\in \Delta }{\sum _{i,j=1}^{n}\left(x_{i}\cdot a_{ij}\cdot y_{j}\right)}$.

Allgemeiner Hintergrund

Dem Minimaxsatz liegt ein allgemeiner Satz der Ordnungstheorie zugrunde:

Gegeben seien nichtleere Mengen $X$ und $Y$ sowie eine numerische Funktion $f\colon X\times Y\to {\bar {\mathbb {R} }}$.

Dann gilt

$\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}{f(x,y)}\leq \inf _{y\in Y}\sup _{x\in X}{f(x,y)}$.

Gibt es dabei ein Element $({\hat {x}},{\hat {y}})\in X\times Y$ mit $f(x,{\hat {y}})\leq {f({\hat {x}},{\hat {y}})}\leq {f({\hat {x}},y)}$ für alle $x\in X$ und alle $y\in Y$, so gilt sogar

$\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}{f(x,y)}=f({\hat {x}},{\hat {y}})=\inf _{y\in Y}\sup _{x\in X}{f(x,y)}$.

Ungleichung von Ky Fan

Im Zusammenhang mit dem obigen Minimaxsatz von Ky Fan ist eine Ungleichung erwähnenswert, die von Ky Fan im Jahre 1972 vorgestellt wurde und die sich nicht nur als gleichwertig mit dem Fixpunktsatz von Brouwer erwiesen hat, sondern überdies eine Reihe von Existenzsätzen der Nichtlinearen Funktionalanalysis nach sich zieht. Diese Ky Fan'sche Ungleichung (englisch Ky Fan's inequality) lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben seien ein hausdorffscher topologischer Vektorraum $H$ und darin eine nichtleere, kompakte, konvexe Teilmenge $X\subseteq H$ sowie eine reellwertige Funktion $f\colon X\times X\to \mathbb {R}$.

Es sei jedes Funktional $f(x_{0},{\cdot })\colon X\to \mathbb {R} \;(x_{0}\in X)$ unterhalbstetig und jedes Funktional $f({\cdot },y_{0})\colon X\to \mathbb {R} \;(y_{0}\in X)$ sei quasikonkav.

Dann gilt die Ungleichung

$\inf _{y\in X}\sup _{x\in X}{f(x,y)}\leq \sup _{x\in X}{f(x,x)}$

und dabei gibt sogar einen Raumpunkt ${\hat {y}}\in X$ mit

$\sup _{x\in X}{f(x,{\hat {y}})}=\min _{y\in X}\sup _{x\in X}{f(x,y)}\leq \sup _{x\in X}{f(x,x)}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Eine Funktion $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$ heißt F-konkav bezüglich $X$, wenn sie folgende Eigenschaft hat:

Es gibt für $x_{1}\in X\;,\;x_{2}\in X\;,\;\kappa \in [0,1]$ stets ein $x_{0}\in X$, so dass für jedes $y\in Y$ die Ungleichung $f(x_{0},y)\geq \kappa f(x_{1},y)+(1-\kappa )f(x_{2},y)$ erfüllt ist.

• Eine Funktion $f\colon X\times Y\to \mathbb {R}$ heißt F-konvex bezüglich $Y$, wenn sie folgende Eigenschaft hat:

Es gibt für $y_{1}\in Y\;,\;y_{2}\in Y\;,\;\lambda \in [0,1]$ stets ein $y_{0}\in Y$, so dass für jedes für jedes $x\in X$ die Ungleichung $f(x,y_{0})\leq \lambda f(x,y_{1})+(1-\lambda )f(x,y_{1})$ erfüllt ist.

• Die Bezeichnungen F-konkav und F-konvex benutzt Peter Kosmol, um darzustellen, dass die Funktion $f$ nach der von Ky Fan gewählten Herangehensweise Merkmale hat, die an Konvexität und Konkavität erinnern und diese dabei sogar verallgemeinern. Es ist nach dieser Herangehensweise nicht notwendig, dass der zugrunde liegende Raum ein linearer Raum ist.
• Jede stetige reellwertige Funktion ist auch unterhalbstetig.
• Ein Element $({\hat {x}},{\hat {y}})\in X\times Y$, welches die in dem obigen allgemeinen Hintergrundsatz aufgeführten Ungleichungen in Bezug auf eine numerische Funktion $f\colon X\times Y\to {\bar {\mathbb {R} }}$ erfüllt, wird auch Sattelpunkt von $f$ genannt.
• Beim Beweis des allgemeinen Hintergrundsatz erweist sich als ausschlaggebend, dass die erweiterten reellen Zahlen ${\bar {\mathbb {R} }}$ einen vollständigen Verband bilden. Der Hintergrundsatz lässt sich also in entsprechender Weise auch auf den Fall ausdehnen, dass die dortige Funktion $f$ in einen solchen abbildet.
• Die obige erste Version des Von Neumann'schen Minimax-Theorems (bzw. eine im Wesentlichen gleichwertige Fassung davon) gibt Philippe G. Ciarlet in seiner Monographie Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications als Ky Fan-Sion theorem (deutsch Satz von Ky Fan und Sion) wieder.
• Die obige zweite Version des Von Neumann'schen Minimax-Theorems folgt offenbar aus der ersten, da das Funktional $(x,y)\mapsto f(x,y)=\sum _{i,j=1}^{n}\left(x_{i}\cdot a_{ij}\cdot y_{j}\right)$ offenbar eine bilineare Abbildung ist.
• Dass die Ungleichung von Ky Fan im Jahre 1972 vorgestellt wurde, weist Jean-Pierre Aubin in seiner Monographie Optima and Equilibria aus, wobei er offenbar Bezug auf das Erscheinungsjahr des Tagungsbandes der Inequalities - III nimmt. Die Tagung selbst fand im September 1969 statt.
• Der Nachweis, dass die Ungleichung von Ky Fan den Brouwer'schen Fixpunktsatz nach sich zieht, ist leicht zu führen. An Aubins Darstellung in Optima and Equilibria anschließend setzt man dazu für eine auf der Einheitskugel $X=D^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ gegebene stetige Selbstabbildung $\phi \colon D^{n}\to D^{n}$ die reellwertige Funktion $f\colon D^{n}\times D^{n}\to \mathbb {R}$ durch $D^{n}\times D^{n}\ni (x,y)\mapsto f(x,y):={\langle y-x,y-\phi (y)\rangle }$ fest, wobei $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ das reelle Standardskalarprodukt ist. Dann ist $f$ offenbar stetig und für jedes $y_{0}\in D^{n}$ ist $f({\cdot },y_{0})\colon D^{n}\to \mathbb {R}$ eine affine Abbildung. Damit sind die der Ungleichung von Ky Fan zugrundeliegenden Voraussetzungen erfüllt und es gibt ein ${\hat {y}}\in D^{n}$ mit $\sup _{x\in X}{\langle {\hat {y}}-x,{\hat {y}}-\phi ({\hat {y}})\rangle }\leq 0$. Dies impliziert ${\langle {\hat {y}}-\phi ({\hat {y}}),{\hat {y}}-\phi ({\hat {y}})\rangle }={\|{\hat {y}}-\phi ({\hat {y}})\|}^{2}\leq 0$ und schließlich $\phi ({\hat {y}})={\hat {y}}$.

Literatur

• Jean-Pierre Aubin: Optima and Equilibria. An introduction to nonlinear analysis. Translated from the French by Stephen Wilson (= Graduate Texts in Mathematics. Band 140). Springer Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-64983-2 (MR1729758). 
• Jean-Pierre Aubin, Ivar Ekeland: Applied Nonlinear Analysis (= Pure and Applied Mathematics (New York). A Wiley-Interscience Series of Texts, Monographs, & Tracts). John Wiley & Sons, Inc., New York 1984, ISBN 0-471-05998-6 (MR0749753). 
• Edwin F. Beckenbach, Richard Bellman: Inequalities (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 30). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo 1983, ISBN 3-540-03283-5. 
• Jonathan Michael Borwein, Deming Micheal Zhuang: On Fan’s minimax theorem. In: Mathematical Programming. Band 34, 1986, S. 232–234 (MR0838482). 
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0 (MR3136903). 
• Ivar Ekeland, Roger Temam: Convex analysis and Variational Problems. Translated from the French (= Studies in Mathematics and its Applications. Band 1). North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Oxford 1976 (MR0463994). 
• Ky Fan: Minimax theorems. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. Band 39, 1953, S. 42–47 (MR0055678). 
• Rudolf A. Hirschfeld: On a minimax theorem of K. Fan. In: Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Indag. Math. Band 20, 1958, S. 470–474 (MR0099014). 
• Hansgeorg Jeggle: Nichtlineare Funktionalanalysis. Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen (= Teubner Studienbücher: Mathematik). B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1979, ISBN 3-519-02057-2 (MR0533478). 
• Jürgen Kindler: Minimaxtheoreme und das Integraldarstellungsproblem. In: Manuscripta Mathematica. Band 29, 1979, S. 277–294 (MR0545045). 
• Heinz König: Über das von Neumannsche Minimax-Theorem. In: Archiv der Mathematik. Band 19, 1968, S. 482–487 (MR0240600). 
• Heinz König, Michael Neumann: Mathematische Wirtschaftstheorie. Mit einer Einführung in die konvexe Analysis (= Mathematical Systems in Economics. Band 100). Anton Hain, Königstein 1986, ISBN 3-445-02393-X (MR0842432). 
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• J. von Neumann: Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. In: Mathematische Annalen. Band 100, 1928, S. 295–320 (MR1512486). 
• John von Neumann, Oskar Morgenstern: Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten. Unter Mitwirkung von F. Docquier. Herausgegeben von F. Sommer. Übersetzt von M. Leppig. Physica-Verlag, Würzburg 1961 (MR0127419). 
• A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: Convex Functions (= Pure and Applied Mathematics. Band 57). Academic Press, New York, San Francisco, London 1973 (MR0442824). 
• R. Tyrrell Rockafellar: Convex Analysis (= Princeton Mathematical Series. Band 28). Princeton University Press, Princeton, NJ 1970 (MR0274683). 
• Oved Shisha (Hrsg.): Inequalities - III. Proceedings of the Third Symposium on Inequalities. Held at The University of California, Los Angeles, September 1–9, 1969. Dedicated to the memory of Theodore S. Motzkin. Academic Press, New York, London 1972, S. 103–113 (MR0341029). 
• Maurice Sion: On general minimax theorems. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 8, 1958, S. 171–176 (MR0097026). 
• Anton Ştefănescu: The minimax theorem without vector space structures. In: Rev. Roumaine Math. Pures Appl. Band 44, 1999, S. 307–313 (MR1837337). 
• Josef Stoer, Christoph Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I. (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 163). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0286498). 
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (MR0226495). 

Siehe auch

• Min-Max-Theorem

Einzelnachweise

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KKKategorie:Numerische Mathematik|Ky Fan, Satz von]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Ky Fan]]

Satz von Hadamard

Der Satz von Hadamard (englisch Hadamard theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz, der auf eine Arbeit von Jacques Hadamard aus dem Jahr 1906 zurückgeht und der im mathematischen Teilgebiet der Analysis angesiedelt ist. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen eine stetig differenzierbare Abbildung auf dem euklidischen Raum ${\mathbb {R} }^{n}$ ein Homöomorphismus ist.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung in der Monographie von Ortega / Rheinboldt folgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien eine stetig differenzierbare Abbildung $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ des euklidischen Raums ${\mathbb {R} }^{n}$ und dazu eine reelle Zahl $0<\gamma <+\infty$, für die in jedem Raumpunkt $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ für die Operatornorm des Li die Bedingung $\,$ $\|{F'(x_{0})}^{-1}\|\leq \gamma$ erfüllt sein soll.

Dann gilt:

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ist ein Homöomorphismus.

Verwandtes Resultat

Verwandt ist das sogenannte Norm-Coerciveness theorem (O/R, S. 136-137):

Gegeben seien einee offene und wegzusammenhängenmde Teilmenge $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ des euklidischen Raums ${\mathbb {R} }^{n}$ im eine stetig Abbildung $F\colon D\to \mathbb {R} ^{n}$, die in jedem Punkt lokal ein Homöomorphismus ist.

Dann gilt:

$F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ist ein globaler Homöomorphismus, wenn es norm-coercive auf D ist .

Verallgemeinerung

Im Jahre 1920 gab erweiterte M. P. Lévy den Hadamard'schen Satz auf reellen Hilberträumen, worauf im Jahre 1969 Rheinboldt zeigte, dass er sich auch auf beliebige reelle Banachräume ausdehnen lässt:

Sei F eine stetige Frechet-differenzierbare Abbildung von einem BR W in einen BR V. Dabei sei für jeden Punkt y aus W F'(y) mit einer beschränkten Inversen F^-1(y) versehen, wobei stets |F^-1(y)|| <= Gamma sei.

Dann Ist F ein Homöomorphismus un sogar ein Diffeomorphismus von W auf V.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ist $X$ ein metrischer Raum.

Literatur

• J. Hadamard: Sur les transformations ponctuelles. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 34, 1906, S. 71–84 ([3]). 
• M. P. Levy: Sur les foncttions de lignes implicites. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 48, 1920, S. 13–27. 
• J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Reprint of the 1970 original (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM),, Philadelphia, PA 2000 (MR1744713). 
• Werner C. Rheinboldt: Local mapping relations and global implicit function theorems. In: Transactions of the American Mathematical Society . Band 138, 1969, S. 183–198 (MR0240644). 

Einzelnachweise

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Kantorowitsch-Ungleichung

Die Kantorowitsch-Ungleichung (englisch Kantorovich inequality) ist eine Ungleichung, die auf eine wissenschaftliche Publikation des sowjetischen Mathematikers Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch aus dem Jahre 1948 zurückgeht und sowohl dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis als auch dem der Numerischen Mathematik zugerechnet werden kann. Sie liefert eine Abschätzung für positiv definite und symmetrische Matrizen des reellen Matrizenrings ${\mathbb {R} }^{n\times n}$ und ist verwandt mit der Ungleichung von Schweitzer. Die Kantorowitsch-Ungleichung ist nicht zuletzt in der Numerischen Mathematik bedeutsam bei Konvergenzverhaltensuntersuchungen im Zusammenhang mit dem Gradientenverfahren und gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Arbeiten.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:

Gegeben sei – für eine natürliche Zahl $n>0$ – eine positiv definite und symmetrische Matrix $Q\in {\mathbb {R} }^{n\times n}$, welche als kleinsten Eigenwert die positive reelle Zahl $m$ habe und als größten die positive reelle Zahl $M$.

Dann gilt für alle $x\in {\mathbb {R} }^{n}\setminus \{0\}$ die Ungleichung

${\frac {{\langle x,x\rangle }^{2}}{{\langle x,Qx\rangle }\cdot {\langle x,Q^{-1}x\rangle }}}\geq 4{\frac {M\cdot m}{(M+m)^{2}}}$ .

Anders ausgedrückt – und über das obige hinaus – gilt, wenn

$\mathrm {cond} (Q):={\frac {M}{m}}$

gesetzt wird:

$1\leq {\frac {{\langle x,Qx\rangle }\cdot {\langle x,Q^{-1}x\rangle }}{{\langle x,x\rangle }^{2}}}\leq {\frac {{\bigl (}1+\mathrm {cond} (Q){\bigr )}^{2}}{4\cdot \mathrm {cond} (Q)}}$ ,

und dabei ist die obere Abschätzung in dem Sinne scharf, dass die Gleichung

$\sup _{x\in {\mathbb {R} }^{n}\setminus \{0\}}{\frac {{\langle x,Qx\rangle }\cdot {\langle x,Q^{-1}x\rangle }}{{\langle x,x\rangle }^{2}}}={\frac {(1+\mathrm {cond} (Q))^{2}}{4\cdot \mathrm {cond} (Q)}}$

besteht.

Allgemeinere Darstellung der Ungleichung

In der Fachliteratur zur Theorie der konvexen Funktionen wird die Kantorowitsch-Ungleichung in einen weiteren Kontext gestellt und hier auch in der allgemeineren Version angegeben:

Gegeben seien ein kompaktes Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$ sowie zwei nichtnegative konvexe Funktionen $f\;,\;g\;\colon [a,b]\to [0,{+\infty })$.

Weiterhin gegeben seien eine natürliche Zahl $n>0$ und dazu reelle Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n}\in [a,b]$ sowie positive reelle Zahlen $p_{1},\ldots ,p_{n}$ mit $p_{1}+\ldots +p_{n}=1$ und darüber hinaus eine weitere positive reelle Zahl $c$.

Unter diesen Bedingungen gilt für die zugehörigen Konvexkombinationen

$K_{f}:=p_{1}f(x_{1})+\ldots +p_{n}f(x_{n})$

und

$K_{g}:=p_{1}g(x_{1})+\ldots +p_{n}g(x_{n})$

die allgemeine Ungleichung

${\sqrt {K_{f}}}\cdot {\sqrt {K_{g}}}\leq {\frac {1}{2}}\cdot \max \left(cf(a)+{\frac {g(a)}{c}}\;,\;cf(b)+{\frac {g(b)}{c}}\right)$  .

Ist für $x\in [a,b]$ sogar stets $f(x)g(x)\geq 0$, so hat man zudem die untere Abschätzung

$1\leq {\sqrt {K_{f}}}\cdot {\sqrt {K_{g}}}$  .

Insbesondere gelten im Falle $a>0$ stets die beiden Ungleichungen

$1\leq {\bigl (}p_{1}x_{1}+\ldots +p_{n}x_{n}{\bigr )}\cdot {\bigl (}{\frac {p_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {p_{n}}{x_{n}}}{\bigr )}\leq {\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {\frac {a}{b}}}+{\sqrt {\frac {b}{a}}}\right)^{2}$  .

Literatur

• Owe Axelsson: Iterative Solution Methods. Cambridge University Press, Cambridge 1994, ISBN 0-521-44524-8 (MR1276069). 
• Wilhelm Forst, Dieter Hoffmann: Optimization — Theory and Practice (= Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology). Springer Verlag, New York, Dordrecht, Heidelberg, London 2010, ISBN 978-0-387-78976-7, doi:10.1007/978-0-387-78976-4 (MR2675748). 
• Werner Greub, Werner Rheinboldt: On a generalization of an inequality of L. V. Kantorovich. In: Proceedings of the American Mathematical Society . Band 10, 1959, S. 407–415, doi:10.2307/2032857 (MR0105028). 
• L. V. Kantorovič: Functional analysis and applied mathematics. (Russisch). In: Uspehi Mat. Nauk (N.S.). Band 3, 1948, S. 89–185 (MR0027947). 
• Peter Kosmol: Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben (= Teubner Studienbücher Mathematik). B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1989, ISBN 3-519-02085-8 (MR1002944). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: Convex Functions (= Pure and Applied Mathematics. Band 57). Academic Press, New York, San Francisco, London 1973 (MR0442824). 
• W. G. Strang: On the Kantorovich inequality. In: Proceedings of the American Mathematical Society . Band 11, 1960, S. 60, doi:10.2307/2034801 (MR0112046). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Kantorovich inequality. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

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Formel von Ascoli

Die Formel von Ascoli (englisch formula of Ascoli) ist eine mathematische Formel, die auf eine von dem italienischen Mathematiker Guido Ascoli im Jahre 1932 vorgelegte Arbeit zurückgeht und im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionalanalysis und Geometrie angesiedelt ist. Sie gibt eine Beschreibung des Abstandes zwischen einem Raumpunkt und einer gegebenen affinen Hyperebene in einem reellen normierten Raum.

Darstellung der Formel

Die Formel lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben seien ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ und sein Dualraum $X^{*}$ der reellwertigen stetigen linearen Funktionale, wobei sowohl die Norm von $X$ als auch die Operatornorm von $X^{*}$ mit ${\|\cdot \|}$ bezeichnet sein sollen.

Weiter gegeben sei eine affine Hyperebene $H\subset X$, wobei $H=\{x\in X\mid u^{*}(x)=\alpha \}$ gelten soll mit einer reellen Zahl $\alpha$ und einem Funktional $u^{*}\in {X^{*}\setminus \{0\}}$ .

Dann berechnet sich für einen beliebigen Raumpunkt $a\in X$ der Abstand $d(a,H)=\inf _{h\in H}{\|h-a\|}$ zwischen ihm und der Hyperebene nach der Formel

$d(a,H)={\frac {|u^{*}(a)-\alpha |}{\|u^{*}\|}}$.

Direkter Beweis

Anschließend an die Darstellung in der Monographie von Ivan Singer lässt sich ein direkter Beweis in folgender Weise führen:

Zunächst ist für beliebiges $h\in H$

$u^{*}(h)=\alpha$

und damit – aufgrund der Eigenschaften der Operatornorm! –

$|u^{*}(a)-\alpha |=|u^{*}(a-h)|\leq \|u^{*}\|\cdot \|a-h\|$

und daher

$\|h-a\|\geq {\frac {|u^{*}(a)-\alpha |}{\|u^{*}\|}}$.

Also gilt die Ungleichung

$d(a,H)\geq {\frac {|u^{*}(a)-\alpha |}{\|u^{*}\|}}$.

Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung stellt man in Rechnung, dass – wiederum aufgrund der Eigenschaften der Operatornorm! – die Beziehung

$0<{\|u^{*}\|}=\sup _{x\in X\;,\;\|x\|=1}{|u^{*}(x)|}$

besteht, und somit für jede reelle Zahl $r$ mit $0<r<\|u^{*}\|$ stets ein $x_{r}\in X$ mit $\|x_{r}\|=1$ und $|u^{*}(x_{r})|>\|u^{*}\|-r$ gegeben ist.

Hierfür wird

$h_{r}:=a-{\frac {u^{*}(a)-\alpha }{u^{*}(x_{r})}}\cdot x_{r}$

gesetzt. Offenbar ist $h_{r}\in H$ und dabei

$d(a,H)\leq \|h_{r}-a\|=|{\frac {u^{*}(a)-\alpha }{u^{*}(x_{r})}}|\cdot 1={\frac {|u^{*}(a)-\alpha |}{|u^{*}(x_{r})|}}<{\frac {|u^{*}(a)-\alpha |}{\|u^{*}\|-r}}$.

Durch Grenzübergang $r\to 0$ gewinnt man schließlich

$d(a,H)\leq {\frac {|u^{*}(a)-\alpha |}{\|u^{*}\|}}$.

Das beweist die Formel.

Hintergrund

Die Ascoli'sche Formel lässt sich ebenfalls aus dem sogenannten Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie (englisch duality theorem of linear approximation theory) gewinnen, der folgendes besagt:

Seien $X$, $X^{*}$ und $\|\cdot \|$ gegeben wie oben.

Seien weiter ein Untervektorraum $V\subseteq X$ gegeben sowie ein Raumpunkt $a\in X$.

Dabei sei $V^{\perp }=\{x^{*}\in X^{*}\mid \forall v\in V\colon x^{*}(v)=0\}$ das orthogonale Komplement von $V$ in $X^{*}$.

Dann gilt für den Abstand $d(a,V)=\inf _{v\in V}{\|v-a\|}$ zwischen Raumpunkt und Untervektorraum die Formel

$d(a,V)=\max _{x^{*}\in V^{\perp }{\text{ und }}\|x^{*}\|\leq 1}{x^{*}(a)}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Die Fragestellung, die der Formel von Ascoli zu Grunde liegt, ist eng verwandt mit dem in der Analytischen Geometrie im Zusammenhang mit der Hesse'schen Normalform gestellten Problem, wie man den euklidischen Abstand eines Punktes von einer Geraden im ${\mathbb {R} }^{2}$ beziehungsweise von einer Ebene im ${\mathbb {R} }^{3}$ berechnet.
• Ist oben $u^{*}(h_{0})=\alpha$ für einen Raumpunkt $h_{0}\in H$, so berechnet sich der in der Ascoli'schen Formel behandelte Abstand auch nach der Formel $d(a,H)={\frac {|u^{*}(a-h_{0})|}{\|u^{*}\|}}$.
• Einem allgemeinen Lehrsatz des Mathematikers Werner Fenchel zufolge existiert das im obigen Dualitätssatz der linearen Approximationstheorie auftretende Maximum stets.

Beispielrechnung

Zum reellen Vektorraum ${\mathbb {R} }^{3}=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\mid x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {R} \}$ soll für den Raumpunkt $a=(1,2,3)$ und den Operator $u^{*}:(x_{1},x_{2},x_{3})\mapsto x_{1}+3x_{2}+x_{3}$ sowie die zugehörige Ebene $H=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in {\mathbb {R} }^{3}\mid x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1\}$ nach wechselnder Norm $\|\cdot \|$ innerhalb $X=({\mathbb {R} }^{3},{\|\cdot \|})$ der Abstand $d(a,H)$ berechnet werden. Dabei soll diese Norm nacheinander die euklidische Norm $\|\cdot \|_{2}$, die Summennorm $\|\cdot \|_{1}$ und die Maximumsnorm $\|\cdot \|_{\max }$ sein.

Man erhält dazu die folgenden Abstände:

(a) Für $\|\cdot \|=\|\cdot \|_{2}$:

$d(a,H)={\frac {|1\cdot 1+3\cdot 2+1\cdot 3-1|}{\sqrt {1+3^{2}+1}}}={\frac {9}{\sqrt {11}}}$

(b) Für $\|\cdot \|=\|\cdot \|_{1}$:

$d(a,H)={\frac {9}{\max\{1,3,1\}}}={\frac {9}{3}}$

(c) Für $\|\cdot \|=\|\cdot \|_{\max }$:

$d(a,H)={\frac {9}{1+3+1}}={\frac {9}{5}}$

(d) Für $\|\cdot \|=\|\cdot \|_{7}$:

$d(a,H)={\frac {9}{\left(1+3^{\frac {7}{6}}+1\right)^{\frac {6}{7}}}}$

Literatur

• Guido Ascoli: Sugli spazi lineari metrici e le loro varietà lineari. In: Annali di Matematica Pura ed Applicata. Band 10, 1932, S. 33–81, 203–232 (MR1553181). 
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 16., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0428-0, S. 280–281. 
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. With stability considerations in Orlicz spaces (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 13). Walter de Gruyter & Co., Berlin 2011, ISBN 978-3-11-025020-6 (MR2760903). 
• Ivan Singer: Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Translation of the original Romanian version "Cea mai bună aproximare în spații vectoriale normate prin elemente din subspații vectoriale". Translated by Radu Georgescu (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 171). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0270044). 

Siehe auch

• Hessesche Normalform

Einzelnachweise

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Hinweise

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Konvexitätssatz von Ljapunow

Der Konvexitätssatz von Ljapunow ist ein mathematischer Begriff der Funktionalanalysis, der auf den russischen Mathematiker und Physiker zrückgeht.

Erläuterungen und Anmerkungen

• ...

Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8 (MR2380292). 

Siehe auch

• ...

Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionalanalysis]]

Stetige Konvergenz

Stetige Konvergenz (englisch continuous convergence) ist ein mathematischer Begriff, der sowohl in der Funktionalanalysis und als auch in der numerischen Mathematik und nicht zuletzt in der Approximationstheorie, der Optimierungstheorie und der Variationsrechnung Verwendung findet. Mit ihm verbunden sind die Begriffe der gleichgradigen Stetigkeit und der kompakten Konvergenz.

Definition

Gegeben seien zwei beliebige metrische Räume $X$ und $Y$ sowie abzählbar viele Funktionen $f,\;f_{1},f_{2},f_{3}\ldots \;\;\colon X\to Y$.

Man sagt dann, die Funktionenfolge $(f_{n})_{n=1,2,\ldots }$ sei stetig konvergent gegen $f$, falls folgende Bedingung erfüllt ist:

Für $x\in X$ und für jede in $X$ konvergente Folge $x_{n}\rightarrow x\ (n\to \infty \;,\;x_{n}\in X)$ gilt in $Y$ stets die Konvergenz $f_{n}(x_{n})\rightarrow f(x)\ (n\to \infty )$.

Man sagt dann auch, die Funktionenfolge der $f_{n}$ konvergiere stetig gegen $f$ oder Ähnliches.

Zusammenhang der Begrifflichkeiten

Der Zusammenhang zwischen stetiger Konvergenz, kompakter Konvergenz und gleichgradiger Stetigkeit wird durch folgenden Satz aufgezeigt:

Für abzählbar viele Funktionen $f,f_{1},f_{2},f_{3}\ldots \;\colon X\to Y$ zweier metrischer Räume $X$ und $Y$ gelte $f_{n}{\xrightarrow {\text{punktweise}}}f\ (n\to \infty )$ und die $f_{n}$ seien alle stetig.

Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(i) Die $f_{n}$ bilden eine gleichgradig stetige Funktionenfolge.

(ii) $f$ ist eine stetige Funktion und die Funktionenfolge konvergiert stetig gegen $f$.

(iii) Die Funktionenfolge konvergiert kompakt gegen $f$.

Der Satz von Dini

In den obigen Zusammenhang lässt sich nicht zuletzt der bekannte Satz von Dini bringen, der in einer erweiterten Fassung folgendermaßen dargestellt werden kann:

Gegeben seien auf einem metrischen Raum eine punktweise konvergente und monotone Funktionenfolge reellwertiger stetiger Funktionen, deren Grenzfunktion ebenfalls stetig sein soll.

Dann ist die Konvergenz dieser Funktionenfolge stetig und auf jeder kompakten Teilmenge des metrischen Raums gleichmäßig.

Stetige Konvergenz auf Banachräumen

Als weiteres Resultat aus dem obigen Satz gewinnt man ein Resultat für gewisse Folgen konvexer Funktionale auf Banachräumen:

Gegeben seien ein Banachraum $X$ und darin ein konvexes Gebiet $U\subseteq X$ sowie eine Funktionenfolge von stetigen konvexen Funktionen $f_{1},f_{2},f_{3}\ldots \;\colon U\to \mathbb {R}$, welche punktweise gegen eine Grenzfunktion $f\colon U\to \mathbb {R}$ konvergieren sollen.

Dann gilt:

(1) Die Grenzfunktion ist konvex und stetig.

(2) Die Funktionenfolge konvergiert stetig und kompakt.

Anmerkungen

• Aus stetiger Konvergenz folgt stets punktweise Konvergenz.
• Jeder Banachraum ist ein normierter Raum und als solcher unter der zugehörigen Metrik ein vollständiger Raum.

Literatur

• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. With stability considerations in Orlicz spaces (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 13). Walter de Gruyter & Co., Berlin 2011, ISBN 978-3-11-025020-6 (MR2760903). 

Einzelnachweise

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Minimallösung

Minimallösung (englisch minimal solution) ist ein mathematischer Begriff, der sowohl in der Approximationstheorie als auch in der Optimierungstheorie sowie in zugehörigen Teilgebieten der Mathematik, wie der Funktionalanalysis, der numerischen Mathematik oder der Variationsrechnung, eine bedeutende Rolle spielt.

Den Terminus einer Minimallösung findet man in der Mathematik – wenngleich in einem anderen Sinne verstanden – auch in der Zahlentheorie im Zusammenhang mit der pellschen Gleichung sowie in der Theorie der Differentialungleichungen im Sinne einer Lösung gewisser Anfangswertprobleme.

Definition

Den Begriff verwendet man in einem weiteren und einem engeren Sinne.

Der Begriff im weiteren Sinne

Gegeben seien eine beliebige Menge $X$, eine Teilmenge $C\subseteq X$ sowie eine numerische Funktion $f\colon X\to {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}$. Dann gibt es folgende Begriffsfestlegungen:

• Als Minimalwert von $f$ auf $C$ bezeichnet man das Infimum $\inf _{x\in C}{f(x)}$, wobei im Falle $C=\emptyset$ dieses Infimum $=+\infty$ gesetzt wird.
• Unter der Menge der Minimallösungen von $f$ auf $C$ versteht man die Teilmenge derjenigen Elemente von $C$, welche den Minimalwert von $f$ auf $C$ annehmen, also die Teilmenge $M(f,C):=\{c\in C\mid f(c)=\inf _{x\in C}{f(x)}\}$. Jedes dieser Elemente nennt man eine Minimallösung von $f$ auf $C$.
• Ist $X$ ein topologischer Raum und dabei $c_{0}\in C\subseteq X$, so heißt $c_{0}$ eine lokale Minimallösung von $f$ auf $C$, falls eine (offene) Umgebung $U$ von $c_{0}$ in $X$ derart existiert, dass $c_{0}$ eine Minimallösung von $f$ auf $U\cap C$ ist. Dieser Begriff ist vor allem wichtig für den Fall, dass $X$ ein metrischer oder ein normierter Raum ist.
• Unter einem Maximalwert von $f$ auf $C$, einer Maximallösung von $f$ auf $C$ und einer lokalen Maximallösung von $f$ auf $C$ versteht man die durch Dualisierung entstehenden Begriffe, wenn man die Ordnungsrelation $\leq$ von ${\bar {\mathbb {R} }}$ nach $\geq$ umkehrt.

Der Begriff im engeren Sinne

Gegeben seien ein normierter Raum $X$ (über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen oder dem Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen), der mit einer Norm $\|\cdot \|\colon X\to {\mathbb {R} }_{0}^{+}$ versehen sein soll, sowie ein fester Raumpunkt $a\in X$ und weiter eine Teilmenge $V\subseteq X$.

• Hier betrachtet man, in Bezug auf die dadurch gegebene Abstandsfunktion $d(x,y)=\|x-y\|\;(x,y\in X)$, die zu $a$ gehörige Funktion $d(a,\cdot )\colon X\to {\mathbb {R} }_{0}^{+}\subset {\bar {\mathbb {R} }}$ und wendet die oben im weiteren Sinne festgelegten Begriffsbildungen an. Ist dann eine Minimallösung von $d(a,\cdot )$ auf $V$ vorhanden, so hat man – bezüglich $V$ und $a$! – einen Punkt kürzesten Abstands, also einen solchen Raumpunkt $v_{0}\in V$, der dieses Abstandsinfimum annimmt und damit die Gleichung $\|v_{0}-a\|=\inf _{v\in V}{\|v-a\|}$ erfüllt.
• Man nennt dieses $v_{0}$ – insbesondere in Approximationstheorie – eine Minimallösung für $a$ bezüglich $V$, (wobei man hier den Zusammenhang mit der Abstandsfunktion als gegeben unterstellt).
• Statt von einer Minimallösung (im engeren Sinne) spricht man hier nicht selten auch von einer besten Approximation (beziehungsweise besten Näherung) von $a$ bezüglich $V$ oder von einem Proximum zu $a$ in $V$ oder auch von einer Bestapproximation an / von $a$ in $V$. In der Theorie der topologischen Vektorräume wird eine solche Minimallösung (im engeren Sinne) manchmal auch als Lotpunkt bezeichnet.
• Das Konzept der besten Approximation (englisch best approximation) findet man im gleichen Sinne in dem allgemeineren Zusammenhang der metrischen Räume. Ist $(X,d)$ ein solcher und sind darin ein fixierter Raumpunkt $a\in X$ sowie eine Teilmenge $V\subseteq X$ gegeben, so bezeichnet man – wie oben!– eine Minimallösung von $d(a,\cdot )$ auf $V$ als beste Approximation von $a$ bezüglich $V$ (oder ähnlich). Dies ist demnach ein Element $v_{0}\in V$, welches die Gleichung $d(a,v_{0})=\inf _{v\in V}{d(a,v)}$ erfüllt.
• Die Zahl $d(a,v_{0})$ nennt manche Autoren auch die Minimalabweichung von $a$ bezüglich $V$ (oder ähnlich).

Sätze

Die folgenden Sätze zählen zu den Resultaten, die im Zusammenhang mit Fragestellungen zu Minimallösungen oft zur Anwendung kommen.

Minimallösungen in der Allgemeinen Topologie und Analysis

Hier ist als besonders wichtiges Resultat die folgende Version des Weierstraß'schen Satzes vom Minimum zu nennen :

Gegeben seien ein topologischer Raum $X$ und darin eine nichtleere kompakte oder folgenkompakte Teilmenge $K\subseteq X$ sowie eine unterhalbstetige Funktion $f\colon K\to \mathbb {R}$.

Dann besitzt besitzt $f$ auf $K$ eine Minimallösung.

Minimallösungen in der konvexen Optimierung

Hier ist zunächst der folgende einfache Satz zu erwähnen, der den Zusammenhang zwischen lokalen und globalen Minimallösungen behandelt:

Gegeben seien ein reeller Vektorraum $X$ und darin eine konvexe Teilmenge $C\subseteq X$ sowie ein Raumpunkt $x_{0}\in X$. Weiter sei $f\colon C\to \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion, die in $x_{0}$ eine lokale Minimallösung haben möge.

Dann besitzt $f$ auch auf ganz $C$ eine Minimallösung und der zugehörige Minimalwert ist $f(x_{0})$.

Darüber hinaus eine Reihe von weiteren Ergebnissen. Hier ist nicht zuletzt der folgende Charakterisierungssatz der konvexen Optimierung zu nennen:

Gegeben seien ein reeller Vektorraum $X$ und darin eine konvexe Teilmenge $C\subseteq X$ sowie ein Raumpunkt $x_{0}\in X$. Weiter sei $f\colon C\to \mathbb {R}$ eine konvexe Funktion.

Dann ist $x_{0}$ genau dann eine Minimallösung von $f$ auf $C$, wenn für alle $x\in C$ in Hinblick auf das rechtsseitige Gâteaux-Differential die Ungleichung $\delta _{+}f(x_{0},x-x_{0})\geq 0$ erfüllt ist.

Hieraus ergibt sich als Folgerung:

Sind im euklidischen Raum ${\mathbb {R} }^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ ein konvexes Gebiet $U\subseteq {\mathbb {R} }^{n}$ gegeben und darin ein Raumpunkt $x_{0}\in U$ sowie eine konvexe differenzierbare Funktion $f\colon U\to \mathbb {R}$, so ist $x_{0}$ eine Minimallösung von $f$ auf $U$ genau dann, wenn das totale Differential ${\nabla f}(x_{0})$ der Nullvektor des ${\mathbb {R} }^{n}$ ist.

Der Charakterisierungssatz führt in reellen Prähilberträumen (und speziell in reellen Hilberträumen!) wegen der dort gegebenen reichhaltigen geometrischen Struktur zu einem grundlegenden Approximationssatz, welcher die Bedingungen beschreibt, unter denen dort beste Approximationen gewährtleistet sind. Dieser Approximationssatz ist folgendermaßen zu formulieren:

Sei $X$ ein reeller Prähilbert- oder Hilbertraum (mit $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ als innerem Produkt) und seien darin eine konvexe Teilmenge $C\subseteq X$ sowie ein Raumpunkt $x_{0}\in X$ gegeben.

Unter diesen Gegebenheiten ist ein $c_{0}\in C$ die (eindeutig bestimmte!) beste Approximation von $x_{0}$ bezüglich $C$ genau dann, wenn für alle $c\in C$ die Ungleichung ${\langle c_{0}-x_{0},c-c_{0}\rangle }\geq 0$ erfüllt ist.

Mit diesem Approximationssatz gewinnt man direkt den folgenden Projektionssatz:

Sei (wie zuvor) $X$ ein reeller Prähilbert- oder Hilbertraum und seien darin ein linearer Unterraum $U\subseteq X$ gegeben sowie ein Raumpunkt $x_{0}\in X$ .

Unter diesen Gegebenheiten ist ein $u_{0}\in U$ genau dann die beste Approximation von $x_{0}$ bezüglich $U$, wenn für alle $u\in U$ die Gleichung ${\langle u_{0}-x_{0},u\rangle }=0$ erfüllt ist. Mit anderen Worten: Ein $u_{0}\in U$ ist die beste Approximation von $x_{0}$ bezüglich $U$ genau dann, wenn der Differenzvektor $u_{0}-x_{0}$ zu allen $u\in U$ senkrecht steht.

Minimallösungen und reflexive Banachräume

Hier sind nicht zuletzt die beiden folgenden Sätze bedeutsam:

Der Satz von James

Dieser Satz geht auf den Mathematiker Robert Clarke James zurück und besagt folgendes:

Ein Banachraum $X$ ist genau dann reflexiv, wenn jedes stetige lineare Funktional auf der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{X}}}$ eine Minimallösung besitzt.

Der Satz von Schauder-Mazur

Dieser den beiden Mathematikern Juliusz Schauder und Stanisław Mazur zugerechnete Satz lässt sich wie folgt darstellen:

Ist $X$ ein reflexiver Banachraum $X$ und ist $V\subseteq X$ eine darin gelegene nichtleere, abgeschlossene, konvexe und beschränkte Teilmenge, so besitzt jede stetige konvexe Funktion $f\colon V\to \mathbb {R}$ auf $V$ eine Minimallösung.

Minimallösungen und Stabilitätfragen

Zur Stabilitätfrage im Zusammenhang mit Minimallösungen gibt es einen allgemeinen Stabilitätssatz, der folgendermaßen dargestellt werden kann:

Gegeben seien ein metrischer Raum $X$ und darin zwei Folgen von nichtleeren Teilmengen $S,S_{1},S_{2},\ldots \subseteq X$ sowie Funktionen $f,f_{1},f_{2},\ldots \colon X\to \mathbb {R}$.

Für jedes $n=1,2,\ldots$ gebe es eine Minimallösung $a_{n}$ von $f_{n}$ auf $S_{n}$.

Hierzu soll gelten:

(i) Die $f_{n}$ seien stetig konvergent gegen $f$.

(ii) $S$ liege als Teilmenge in dem im Sinne von Kuratowski verstandenen oberen Limes $\varlimsup _{n\rightarrow \infty }{S_{n}}$.

Dann ist jeder Häufungspunkt der Folge $(a_{n})_{n=1,2,\ldots }$, der in $S$ liegt, eine Minimallösung von $f$ auf $S$.

Minimallösungen (im engeren Sinne) in der Linearen Approximationstheorie

Hier kennt man einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz, der sich zusammengefasst wie folgt angeben lässt:

Sei $X$ ein strikt konvexer normierter Raum und sei darin eine abgeschlossene, lokalkompakte und konvexe Teilmenge $V\subseteq X$ gegeben. Dann gibt es für jeden Raumpunkt $x_{0}\in X$ bezüglich $V$ immer genau eine Minimallösung – also genau eine beste Approximation (oder einen Lotpunkt)! – $v_{0}\in V$. Dies gilt insbesondere dann, wenn $V$ in $X$ ein Untervektorraum endlicher Dimension ist.

Damit eng zusammenhängend ist der (von dem ungarischen Mathematiker Alfréd Haar im Jahr 1917 vorgelegte) Eindeutigkeitssatz von Haar, der folgendes besagt:

Sei $B$ ein kompakter Raum und sei hierzu $X=C(B)$ der (mit der Maximumsnorm versehene!) Funktionenraum der auf $B$ stetigen (reell- oder komplexwertigen) Funktionen.

Hier sei $V\subseteq X$ ein Untervektorraum der endlichen Dimension $n=1,2,\ldots$ und $V$ erfülle die Bedingung, dass jede nicht mit der Nullfunktion identische Funktion $v\in V$ höchstens $n-1$ Nullstellen in $B$ besitzen soll.

Dann gibt es bezüglich $V$ für jede Funktion $f\in X$ exakt eine Minimallösung $v_{f}\in V$.

Ein in der Linearen Approximationstheorie wichtiger Satz ist auch der (nach dem Mathematiker Ivan Singer benannte) Satz von Singer, der eine Charakterisierung der besten Approximationen liefert und folgendes besagt:

Es seien $(X,\|\cdot \|)$ ein reeller normierter Raum und $(X^{*},{\|\cdot \|})$ der zugehörige Dualraum der reellwertigen stetigen linearen Funktionale, wobei dessen Operatornorm ebenfalls mit ${\|\cdot \|}$ bezeichnet sein soll, und es seien weiter ein Untervektorraum $V\subseteq X$ sowie ein Raumpunkt $a\in X$ gegeben.

Dann gilt:

Ein Unterraumpunkt $v_{0}\in V$ ist eine beste Approximation von $a$ bezüglich $V$ genau dann, wenn für es ein $u\in X^{*}$ gibt, welches die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

(1) $\|u\|=1$.

(2) $u(v)=0$ für alle $v\in V$.

(3) $u(a-v_{0})=\|a-v_{0}\|$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Die obigen Infima existieren stets, da ${\bar {\mathbb {R} }}$, versehen mit der üblichen Totalordnung $\leq$, ein vollständiger Verband ist.
• Für Funktionenfolgen auf metrischen Räume ist der Begriff der stetigen Konvergenz eine Verschärfung des Begriffs der punktweisen Konvergenz.
• Ein Punkt $y\in X$ gehört dem im Sinne von Kuratowski verstandenen oberen Limes $\varlimsup _{n\rightarrow \infty }{S_{n}}$ definitionsgemäß genau dann an, wenn es dazu in $\mathbb {N}$ eine streng monoton wachsende Folge$n_{1}<n_{2}<\cdots$ sowie eine Auswahlfolge $y_{n_{k}}\in S_{n_{k}}\;(k=1,2,\ldots )$ gibt mit $\lim _{n\to \infty }y_{n_{k}}=y\ (k\to \infty )$.
• Die im Eindeutigkeitssatz von Haar auftretende Bedingung ist die sogenannte Haarsche Bedingung. Ein endlich-dimensionaler Funktionenunterraum, der in einem Funktionenraum dieser Bedingung genügt, wird als Haarscher Teilraum (englisch Haar subspace) oder Haarscher Raum bezeichnet.
• Der Eindeutigkeitssatz von Haar wird bei manchen Autoren – wegen der in Approximationstheorie hierzu erbrachten Leistungen des sowjetischen Mathematikers Andrej Nikolajewitsch Kolmogoroff – auch Satz von Kolmogoroff-Haar genannt.
• Für einen endlich-dimensionalen (!) normierten Raum $X$ sowie eine abgeschlossene Teilmenge $F\subseteq X$ besitzt jeder Raumpunkt $a\in X$ bezüglich $F$ eine Minimallösung im engeren Sinne, also in $F$ eine beste Approximation.
• Für einen normierten Raum (und speziell für einen normierten Funktionenraum) $X$ und jeden darin fest gewählten Raumpunkt $a\in X$ ist die zugehörige Funktion $d(a,\cdot )\colon X\to {\mathbb {R} }_{0}^{+}$ mit $d(a,y)=\|a-x\|\;(x\in X)$ stets ein konvexes Funktional und in jedem Falle stetig.
• Ist $X={\mathbb {R} }^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ der $n$-dimensionale euklidische Raum und sind hier eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge $C\subset X$ gegeben sowie eine stetige Funktion $f\colon C\to \mathbb {R}$, so bezeichnet man die Menge $M(f,C)\subseteq C$ gelegentlich auch als Minimalmenge. Sie ist im ${\mathbb {R} }^{n}$ stets abgeschlossen und im Falle, dass $f$ konvex ist, eine konvexe Teilmenge des euklidischen Raums.
• Neben den oben aufgeführten Sätzen gibt es eine Fülle weiterer nennenswerter Resultate. Als wichtiges Beispiel kann hier der Approximationssatz für gleichmäßig konvexe Räume gelten, der bedeutsam für die gesamte Approximationstheorie ist. Daneben wäre auch der Fundamentalsatz der Variationsrechnung zu nennen.

Literatur

• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4 (MR0165651). 
• Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen (= Teubner Studienbücher). B. G. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6 (MR0445153). 
• Klaus Floret: Weakly Compact Sets. Lectures held at S.U.N.Y., Buffalo, in Spring 1978 (= Lecture Notes in Mathematics. Band 801). Springer-Verlag, Berlin 1980, ISBN 3-540-09991-3 (MR0576235). 
• Alfréd Haar: Die Minkowskische Geometrie und die Annäherung an stetige Funktionen. In: Mathematische Annalen. Band 78, 1917, S. 294–311 ([4]). 
• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8 (MR2380292). 
• Rainer Hettich, Peter Zencke: Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung (= Teubner Studienbücher Mathematik). B. G. Teubner, Stuttgart 1982, ISBN 3-519-02063-7 (MR0653476). 
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. With stability considerations in Orlicz spaces (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 13). Walter de Gruyter & Co., Berlin 2011, ISBN 978-3-11-025020-6 (MR2760903). 
• Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume. I. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 107). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1966 (MR0194863). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272). 
• Arnold Schönhage: Approximationstheorie (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 1971 (MR0277960). 
• Ivan Singer: Best Approximation in Normed Linear Spaces by Elements of Linear Subspaces. Translation of the original Romanian version "Cea mai bună aproximare în spații vectoriale normate prin elemente din subspații vectoriale". Translated by Radu Georgescu (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 171). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0270044). 
• A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: Convex Functions (= Pure and Applied Mathematics. Band 57). Academic Press, New York, San Francisco, London 1973 (MR0442824). 
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Erster Band. A bis Eif. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0303-0 (MR1839735). 

Siehe auch

• Proximum
• Fundamentalsatz der Variationsrechnung

Einzelnachweise

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Satz von Motzkin

Der Satz von Motzkin ist ein mathematischer Lehrsatz, der auf eine Arbeit des Mathematikers Theodore Samuel Motzkin aus dem Jahr 1935 zurückgeht. Er behandelt die Frage der Charakterisierung konvexer Teilmengen des euklidischen Raums und ist angesiedelt im Übergangsfeld zwischen Analysis, Geometrie und der Theorie der topologischen Vektorräume.

Formulierung des Satzes

Der Monographie von Jürg T. Marti folgend lässt sich der Satz wie folgt formulieren:

Im $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ ist eine motzkinsche Menge stets konvex.

Verallgemeinerung

Im Jahre 1951 erhielten Frederick Arthur Ficken und Victor LaRue Klee in Verallgemeinerung des Motzkin'schen Satzes den folgenden Charakterisierungssatz für konvexe Mengen in reellen Hilberträumen:

Jede beschränkt kompakte motzkinsche Menge in einem reellen Hilbertraum ist konvex.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ist $X$ ein metrischer Raum mit der zugehörigen Abstandsfunktion $d$, so bezeichnet man eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge $T\subseteq X$ als motzkinsche Menge, falls es zu jedem Raumpunkt $x_{0}\in X$ genau einen Raumpunkt $x_{1}\in T$ gibt, der nach Maßgabe der Abstandsfunktion $d$ dem Raumpunkt $x_{0}$ am nächsten liegt. Manche Autoren nennen eine solche Menge auch eine tschebyschewsche Menge.
• In einem metrischen Raum $X$ mit der Abstandsfunktion $d$ ist eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge $T\subseteq X$ demzufolge eine motzkinsche Menge genau dann, wenn es zu jedem $x_{0}\in X$ genau ein $x_{1}\in T$ gibt mit $d(x_{1},x_{0})=\inf _{y\in T}{d(y,x_{0})}$. Ist $X$ dabei sogar ein normierter Vektorraum mit $\|\cdot \|$ als Norm und der durch $(x,y)\mapsto d(x,y)=\|x-y\|$ gegebenen Abstandsfunktion, so ist hier eine nichtleere abgeschlossene Teilmenge $T\subseteq X$ eine motzkinsche Menge genau dann, wenn es zu jedem $x_{0}\in X$ genau ein $x_{1}\in T$ gibt mit $\|x_{1}-x_{0}\|=\inf _{y\in T}{|y-x_{0}\|}$.
• Der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ wird stets als mit dem Standardskalarprodukt und der damit gegebenen geometrischen und metrischen Struktur versehen betrachtet.
• In einem normierten Vektorraum $X$ nennt man – gemäß Marti – eine Teilmenge $K\subseteq X$ beschränkt kompakt, wenn für jede natürliche Zahl $n$ die $X$-Teilmenge $\{x\in K\colon \|x\|\leq n\}$ dort eine kompakte Teilmenge ist.
• In einem strikt konvexen normierten Raum ist jede nichtleere kompakte konvexe Teilmenge eine motzkinsche Menge.
• In einem strikt konvexen reflexiven Banachraum – und folglich auch in jedem Hilbertraum – ist jede nichtleere abgeschlossene konvexe Teilmenge eine motzkinsche Menge.
• Der Satz von Motzkin lässt sich aus dem Auswahlsatz von Blaschke gewinnen.
• In seinem Lehrbuch Konvexe Mengen bewertet Kurt Leichtweiß den Satz von Motzkin – wenngleich er ihn nicht ausdrücklich unter diesem Namen darstellt – als eine bemerkenswerte, von T. S. Motzkin stammende Charakterisierung der Konvexität bei abgeschlossenen Untermengen des euklidischen Raumes.

Literatur

• Victor Klee: Convexity of Chevyshev sets. In: Mathematische Annalen. Band 142, 1961, S. 292–304 (MR0121633). 
• Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2 (MR0655598). 
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• T. S. Motzkin: Sur quelques propriétés caractéristiques des ensembles convexes. In: Atti. Reale Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. (Rom), Serie VI. Band 21, 1935, S. 562–567. 
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (MR0226495). 

Einzelnachweise

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Satz von Moskovitz-Dines

Der Satz von Moskovitz-Dines ist ein mathematischer Lehrsatz, der die Frage der Charakterisierung konvexer Teilmengen topologischer Vektorräume behandelt. Er entstammt einer Arbeit der beiden Mathematiker David Moskovitz und Lloyd Lyne Dines aus dem Jahr 1939 und ist eng verwandt mit zwei anderen Sätzen, die auf Stanisław Mazur bzw. auf Errett Bishop und Robert Ralph Phelps zurückgehen.

Formulierung des Satzes

Der Monographie von Jürg T. Marti folgend, lässt sich der Satz wie folgt formulieren:

Gegeben seien ein topologischer $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ sowie eine darin enthaltene abgeschlossene Teilmenge $T\subseteq X$, welche mindestens einen inneren Punkt besitzen soll.

Weiterhin genüge $T$ der Bedingung, dass die regulären Punkte von $T$ eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge $\partial {T}$ bilden.

Dann gilt:

$T$ ist eine konvexe Teilmenge von $X$.

Verwandte Sätze

Der Satz von Moskovitz-Dines ist (für separable Banachräume) in einem gewissen Sinne die Umkehrung eines Satzes von Stanisław Mazur aus dem Jahre 1933, der (in Anschluss an Marti) folgendermaßen darstellbar ist:

Gegeben seien ein separabler $\mathbb {R}$-Banachraum $X$ und darin eine eine abgeschlossene konvexe Teilmenge $T\subseteq X$, welche mindestens einen inneren Punkt besitzen soll.

Dann ist die Menge der regulären Punkte von $T$ eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge $\partial {T}$.

Damit erhält man folgendes Korollar:

Ist $X$ ein separabler Banachraum über $\mathbb {R}$ und $U\subseteq X$ eine darin enthaltene abgeschlossene Umgebung des Nullpunktes, so ist $U$ eine konvexe Teilmenge von $X$ genau dann, wenn die Beziehung ${\overline {{\partial }_{r}{T}}}=\partial {T}$ gilt.

In diesem Zusammenhang ist ein Satz von Bishop und Phelps (englisch Bishop-Phelps support point theorem) aus dem Jahre 1961 erwähnenswert, der (zumindest für den Fall der Banachräume) die Bedeutung der Stützpunkte im Zusammenhang mit konvexen Mengen herausarbeitet:

Ist $T$ eine abgeschlossene konvexe Teilmenge eines $\mathbb {R}$-Banachraums $X$, so die Menge der Stützpunkte von $T$ eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge $\partial {T}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ein Stützpunkt $p\in \partial {T}$ ist genau dann ein regulärer Punkt von $T$, wenn jedes seiner zugehörigen Stützfunktionale immer nur als positives Vielfaches eines jeden anderen seiner zugehörigen Stützfunktionale vorkommt.
• Die Menge der regulären Punkte von $T$ ist also eine Teilmenge des Randes $\partial {T}$ von $T$ und wird mit ${\partial }_{r}{T}$ bezeichnet.
• Moskovitz und Dines haben ihren Satz ursprünglich nur für reelle Hilberträume bewiesen. Wie Marti jedoch ausführt, lässt er sich der Beweis ohne große Modifikationen auf beliebige topologische $\mathbb {R}$-Vektorräume ausdehnen.
• Der obige Satz von Bishop und Phelps ist verwandt, wenngleich nicht identisch mit demjenigen Resultat, welches in der englischsprachigen Fachliteratur als Bishop-Phelps theorem oder als Bishop-Phelps subreflexivity theorem bekannt ist und demzufolge jeder Banachraum ein subreflexiver Raum ist. Das Konzept des subreflexiven Raums geht auf Phelps zurück und stellt eine Abschwächung des Konzepts der reflexiven Raums dar. Dabei wird ein normierter Raum $X$ als subreflexiv bezeichnet, wenn in seinem Dualraum $X^{'}$ die Menge derjenigen linearen Funktionale $x^{'}\in X^{'}$, welche ihre Operatornorm $\|x^{'}\|$ in einem Punkte der Einheitskugel $B_{X}\subset X$ annehmen, dort eine dichte Teilmenge bilden.

Literatur

• Errett Bishop, R. R. Phelps: The support functionals of a convex set. In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. VII: Convexity. Held at the University of Washington, Seattle, Wash., June 13-15, 1961. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1963, S. 27–35 (MR0151352). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• S. Mazur: Über konvexe Mengen in linearen normierten Räumen. In: Studia Mathematica. Band 4, 1933, S. 70–84. 
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 183). Springer-Verlag, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3 (MR1650235 ). 
• David Moskovitz, L. L. Dines: Convexity in a linear space with an inner product. In: Duke Mathematical Journal. Band 5, 1939, S. 520–534 (MR0000349). 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuse, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779). 

Einzelnachweise

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Fixpunktsatz von Krasnoselski

Der Fixpunktsatz von Krasnoselski (englisch Krasnoselskii’s fixed-point theorem) ist einer der zahlreichen Lehrsätze, die der sowjetische Mathematiker Mark Alexandrowitsch Krasnoselski zum mathematischen Teilgebiet der Nichtlinearen Funktionalanalysis beigesteuert hat. Der Satz geht auf eine wissenschaftliche Publikation Krasnoselskis aus dem Jahre 1962 zurück und behandelt die Frage nach den Bedingungen, unter denen für kompakte Operatoren auf Banachräumen ein Fixpunktsatz gilt. Der Satz ist verwandt mit dem Fixpunktsatz von Schauder.

Formulierung des Satzes

Der Krasnoselski’sche Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben seien ein geordneter $\mathbb {R}$-Banachraum $X$ mit Norm $\|\cdot \|$ und Ordnungskegel $K=\{x\in X\,\colon \,0\preceq x\}\subset X$.

Der Ordnungskegel $K=\{x\in X\,\colon \,0\preceq x\}$ sei eine abgeschlossene Teilmenge von $X$, die nicht aus dem Nullpunkt allein bestehen soll, und die zugehörige Relation $\preceq$ eine Halbordnungsrelation.

Weiter seien auf $K$ ein kompakter Operator $\Psi \colon K\to K$ gegeben sowie zwei verschiedene reelle Zahlen $R_{1}>0$ und $R_{2}>0$, so dass die beiden Bedingungen

(i) $\Psi (x){\not \preceq }x\,(\,\forall x\in {K\cap S_{R_{1}}(0)}\,)$.

(ii) ${x\not \preceq }\Psi (x)\,(\,\forall x\in {K\cap S_{R_{2}}(0)}\,)$.

erfüllt seien.

Dann gilt:

$\Psi$ besitzt einen Fixpunkt $x_{0}=\Psi (x_{0})\in K$, welcher zudem der Beziehung

$\min \left(R_{1}\;,\;R_{2}\right)<\|x_{0}\|<\max \left(R_{1}\;,\;R_{2}\right)$

genügt.

Erläuterungen

• Die obigen Bedingungen (i) und (ii) bedeuten, dass für $x\in K$ mit $\|x\|=R_{1}$ stets ${x-\Psi (x)}\not \in K$ gilt und für $x\in K$ mit $\|x\|=R_{2}$ stets ${\Psi (x)-x}\not \in K$.
• Falls die obigen Bedingungen (i) und (ii) erfüllt sind, spricht man (in der englischen Fachsprache) für $R_{1}<R_{2}$ von einer cone compression, für $R_{1}>R_{2}$ von einer cone expansion.

Hintergrund

Die Herleitung des Krasnoselski’schen Fixpunktsatzes nutzt an entscheidender Stelle den folgenden wichtigen Satz des US-amerikanischen Mathematikers James Dugundji aus dem Jahre 1951:

In einem Banachraum $X$ ist jede nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge $C\subseteq X$ ein Retrakt von $X$.

Folgerung

Mit dem Fixpunktsatz von Krasnoselski gelingt es, unter gewissen Umständen auf die Existenz sehr vieler Fixpunkte zu schließen. Er zieht nämlich folgendes Korollar nach sich:

Gelten oben die Bedingungen (i) und (ii) sogar für eine ganze Folge $\left(R_{1}(n)\;,\;R_{2}(n)\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ von Zahlenpaaren mit positiven reellen Zahlen $R_{1}(n)\neq R_{2}(n)\;(n\in \mathbb {N} )$ und konvergieren die beiden Zahlenfolgen $\left(R_{1}(n)\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ und $\left(R_{2}(n)\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ beide gegen $\infty$, so besitzt der kompakte Operator $\Psi \colon K\to K$ abzählbar unendlich viele Fixpunkte.

Literatur

• Herbert Amann: Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces. In: SIAM Review. Band 18, 1976, S. 620–709 (MR0415432). 
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0 (MR3136903). 
• J. Dugundji: An extension of Tietze's theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 1, 1951, S. 353–367 (MR0044116). 
• M. Krasnoselskii: Positive Lösungen von Operatorgleichungen (Russisch. Auf Englisch herausgegeben unter dem Titel „Positive Solutions of Operator Equations“ von Leo F. Boron, Noordhoff, Groningen). Staatlicher Verlag für physikalisch-mathematische Literatur, Moskau 1962 (MR0181881). 
• Eberhard Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I: Fixpunktsätze. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1976 (MR0473927). 
• Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 (MR0816732). 

Einzelnachweise

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Satz von Birkhoff–Kellogg

Der Satz von Birkhoff–Kellogg (englisch Birkhoff–Kellogg Theorem) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Nichtlinearen Funktionalanalysis, der auf eine im Jahre 1922 von den beiden Mathematikern George David Birkhoff und Oliver Dimon Kellogg vorgelegte wissenschaftliche Arbeit zurückgeht. Er behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen für gewisse Operatoren auf unendlich-dimensionalen Banachräumen das Eigenwertproblem lösbar ist. Der Satz erweist sich dabei als Analogon des klassischen Satzes von Poincaré-Brouwer in der Topologie.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:

Gegeben seien ein unendlich-dimensionaler Banachraum $X$ und darin eine beschränkte offene Teilmenge $G\subset X$, welche den Nullpunkt $0\in X$ enthalte.

Auf der abgeschlossenen Hülle ${\overline {G}}$ von $G$ sei ein kompakter (linearer oder nichtlinearer) Operator $\mathrm {K} \colon {\overline {G}}\to X$ gegeben, der die Bedingung

$\inf _{x\in \partial {G}}{\|\mathrm {K} (x)\|}>0$.

erfülle.

Dann gilt:

Das Eigenwertproblem ist für $\mathrm {K}$ lösbar. Dabei gibt es einen Randpunkt $x_{0}\in \partial {G}$ und dazu eine reelle Zahl $\lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, welche die Gleichung $\mathrm {K} (x_{0})=\lambda x_{0}$ erfüllen.

Hintergrund

Der Beweis des Birkhoff–Kellogg'schen Satzes beruht wesentlich auf einem allgemeinen Eigenwertprinzip, zu dessen Herleitung der Leray-Schauder'sche Abbildungsgrad genutzt wird, sowie dem folgenden Approximationssatz für kompakte Operatoren (englisch Approximation Theorem for Compact Operators):

Gegeben seien zwei Banachräume $X,Y$ (über $\mathbb {K}$ mit $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ ) sowie eine beschränkte nichtleere Teilmenge $M\subset X$ und hierauf ein beliebiger Operator $\Psi \colon M\to Y$.

Dann gilt:

$\Psi$ ist ein kompakter Operator genau dann, wenn es eine Folge ${\Psi }_{n}\colon M\to Y\,(n=1,2,3,\ldots )$ von Operatoren gibt derart, dass für $n=1,2,3,\ldots$ stets folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(i) ${\Psi }_{n}$ ist kompakt.

(ii) $\sup _{x\in M}{\|\Psi (x)-{\Psi }_{n}(x)\|_{Y}}\leq {\frac {1}{n}}$.

(iii) Der von der Bildmenge ${\Psi }_{n}(M)$ ( über $\mathbb {K}$ ) aufgespannte lineare Unterraum $\operatorname {span} \left({\Psi }_{n}(M)\right)$ hat endliche Dimension.

Literatur

• G. D. Birkhoff, O. D. Kellogg: Invariant points in function space. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 23, 1922, S. 96–115 (MR1501192). 
• Eberhard Zeidler: Vorlesungen über nichtlineare Funktionalanalysis I: Fixpunktsätze. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1976 (MR0473927). 
• Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 (MR0816732). 

Einzelnachweise

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Satz von Wille

Der Satz von Wille ist ein Lehrsatz, den der deutsche Mathematiker Friedrich Wille (1935–1992) zum mathematischen Teilgebiet der Analysis beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Willes aus dem Jahr 1972 zurück und behandelt ein Überdeckungsproblem für beschränkte Teilmengen im höherdimensionalen euklidischen Raum. Er ist eng verbunden mit mehreren bedeutenden Sätzen der Mathematik wie etwa mit dem Pflastersatz von Lebesgue oder dem Borsuk'schen Antipodensatz. Mit seiner Hilfe lassen sich Lösbarkeitskriterien für Nichtlineare Gleichungssysteme mit gewissen Konvexitätseigenschaften ableiten.

Formulierung des Satzes

Der Monographie von Jürg T. Marti folgend, lässt sich der Satz wie folgt angeben:

Gegeben seien im $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} ,n\geq 2)$ endlich viele nichtleere Teilmengen $T,T_{1},\ldots ,T_{m}\subset \mathbb {R} ^{n}\;(m\in \mathbb {N} )$ . Die Teilmenge $T$ sei beschränkt und die anderen Teilmengen $T_{j}$ seien abgeschlossen und konvex.

Die Teilmengen $T_{j}$ sollen die $T$-Randpunktmenge $\partial {T}={\overline {T}}\setminus T^{\circ }$ ganz überdecken, zugleich sollen aber noch Punkte in der Differenzmenge $D=T\setminus \left(\bigcup _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}\right)$ liegen.

Dann gilt:

(i) $m\geq n+1$.

(ii) In der Schnittmenge der $m$ Teilmengen $T_{j}$ liegt kein einziger Punkt: $\bigcap _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}=\emptyset$.

(iii) Es gibt unter den $m$ Teilmengen $T_{j}$ eine $n$-gliedrige Mengenfolge $T_{j_{1}},\ldots ,T_{j_{n}}$, deren Schnittmenge $\bigcap _{k=1,\ldots ,n}{T_{j_{k}}}$ nichtleer ist und die dabei einen Punkt $p$ enthält, der zugleich ein Berührpunkt der Differenzmenge $D$ ist.

Korollar

Der Satz von Wille zieht – wegen (i) !– ein Korollar nach sich, das sich folgendermaßen angeben lässt:

Wenn im $n$-dimensionalen euklidischen Raum $n$ abgeschlossene und konvexe Teilmengen die Randpunktmenge $\partial {T}$ einer gegebenen beschränkten Teilmenge $T$ überdecken, so überdecken diese $n$ Teilmengen schon die gesamte Teilmenge $T$.

Verwandtes Resultat: Ein Satz von Berge

Im Jahre 1959 lieferte der französische Mathematiker Claude Berge (1926–2002) einen verwandten Satz, der sich der Frage widmet, unter welchen Bedingungen endlich viele abgeschlossene konvexe Teilmengen im euklidischen Raum (und allgemeiner in einem gegebenen topologischen Vektorraum) eine andere gegebene konvexe Teilmenge nicht überdecken. Diesen Satz kann man in Anschluss an die Monographie von Josef Stoer und Christoph Witzgall folgendermaßen darstellen:

Gegeben sei ein topologischer Vektorraum $X$ oder es sei sogar $X=\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$.

Weiterhin gegeben seien endlich viele konvexe Teilmengen $T,T_{1},\ldots ,T_{m}\subseteq X\;(m\in \mathbb {N} )$, wobei die $T_{j}$ allesamt abgeschlossen in $X$ sein sollen.

Zudem sollen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

(a) Für $k=1,\ldots ,m$ sei stets

$T\cap \bigcap _{j=1,\ldots ,m\; \atop \;\ j\neq k}{T_{j}}\neq \emptyset$.

(b) Insgesamt sei

$T\cap \bigcap _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}=\emptyset$.

Dann gilt:

$T\nsubseteq \bigcup _{j=1,\ldots ,m}{T_{j}}$.

Literatur

• Claude Berge: Sur une propriété combinatoire des ensembles convexes. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences Paris. Band 248, 1959, S. 2698–2699 (MR0106435). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• Josef Stoer, Christoph Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I. (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 163). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0286498). 
• Friedrich Wille: Überdeckungen mit konvexen Mengen und nichtlineare Gleichungssysteme. In: Commentarii Mathematici Helvetici. Band 47, 1972, S. 273–288 (MR0317183). 

Einzelnachweise

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Satz von Mazur (Konvexität und Kompaktheit)

Der Satz von Mazur zu Konvexität und Kompaktheit ist einer von mehreren Lehrsätzen, die der polnische Mathematiker Stanisław Mazur zum mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis beigetragen hat. Der Satz geht auf eine Arbeit Mazurs aus dem Jahr 1930 zurück und behandelt eine grundlegende Kompaktheitsfrage im Zusammenhang mit konvexen Teilmengen von Banachräumen. Aus diesem Mazur'schen Satz lässt sich der Fixpunktsatz von Schauder – in der Version für Banachräume – als Folgerung gewinnen.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

Gegeben seien ein Banachraum $X$ und weiter eine darin gelegene Teilmenge $T\subseteq X$ sowie deren abgeschlossene konvexe Hülle $K={\overline {\operatorname {conv} {T}}}\supseteq T$.

Dann gilt:

Ist $T$ eine kompakte Teilmenge von $X$, so ist auch $K$ eine solche.

Verallgemeinerung

In dem Lehrbuch von Jürg T. Marti und ebenso in dem von A. P. Robertson und W. J. Robertson wird der Mazur'sche Satz noch allgemeiner formuliert. Zusammengefasst lässt sich dies wie folgt darstellen:

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer topologischer $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ sowie eine Teilmenge $T\subseteq X$.

Dann gilt:

Ist $T$ eine präkompakte Teilmenge von $X$, so sind auch deren konvexe Hülle $\operatorname {conv} {T}$, deren absolutkonvexe Hülle $\Gamma {T}$ und deren abgeschlossene absolutkonvexe Hülle ${\overline {\Gamma {T}}}$ präkompakte Teilmengen.

Weitere Verschärfung im euklidischen Raum

Im euklidischen Raum gilt sogar:

Für jede beliebige kompakte Teilmenge $T\subset \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ ist die konvexe Hülle $\operatorname {conv} {T}$ (schon selbst) kompakt.

Anmerkungen und Erläuterungen

• Die Präkompaktheit einer Teilmenge $T\subset X$ ist hier in Bezug auf die durch die Nullumgebungsbasis von $X$ induzierte uniforme Struktur zu verstehen. Eine solche Teilmenge ist demnach genau dann präkompakt, wenn zu jeder Nullumgebung $W\subseteq X$ endlich viele Punkte $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}\in X\;(m\in \mathbb {N} )$ existieren, so dass die Überdeckung $\bigcup _{j=1}^{m}{\left(x_{j}+W\right)}\supseteq T$ gegeben ist.
• In jedem metrischen Raum – also auch in jedem Banachraum – ist eine Teilmenge präkompakt genau dann, wenn ihre abgeschlossene Hülle präkompakt ist. Hier ist eine Teilmenge damit relativ kompakt, wenn sie präkompakt und ihre abgeschlossene Hülle vollständig ist. In einem Banachraum ist demnach eine Teilmenge präkompakt dann und nur dann, wenn sie relativ kompakt ist.
• Ist $T\subset \mathbb {R} ^{n}$ beschränkt, so gilt $\operatorname {conv} {\overline {T}}={\overline {\operatorname {conv} {T}}}$.

Literatur

• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4 (MR0165651). 
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264). 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR1183466). 
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• S. Mazur: Über die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kompakte Menge enthält. In: Studia Mathematica. Band 2, 1930, S. 7–9. 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779). 
• A. P. Robertson, W. J. Robertson: Topologische Vektorräume. Übersetzung aus dem Englischen durch Horst S. Holdgrün (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 164/164a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967 (MR0209926). 

Einzelnachweise

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Maximumprinzip von Bauer

Das Maximumprinzip von Bauer, auch genannt als das H. Bauersche Maximum-Prinzip (englisch H. Bauer's maximum principle), ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Teilgebieten der Analysis, der Linearen Optimierung und der Variationsrechnung angesiedelt ist. Es entstammt einer wissenschaftlichen Arbeit des deutschen Mathematikers Heinz Bauer (1928–2002) aus dem Jahre 1960 und ist verwandt sowohl mit dem weierstraßschen Satz vom Minimum und Maximum als auch mit dem Fundamentalsatz der Variationsrechnung. Wie diese behandelt das Maximumprinzip die grundlegende Frage der Existenz von Extremstellen gewisser reellwertiger Funktionale und formuliert Bedingungen, unter denen diese ihr Maximum annehmen. Darüber hinaus kann auch der Satz von Krein-Milman als Folgerung aus dem Bauer'schen Maximumprinzip verstanden werden.

Formulierung des Satzes

Das Maximumprinzip von Bauer lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer topologischer $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ und darin eine nichtleere konvexe kompakte Teilmenge $K\subset X$.

Dann gilt:

Jedes konvexe oberhalbstetige Funktional $\phi \colon K\to \mathbb {R}$ (und insbesondere jedes lineare stetige Funktional $\phi \colon X\to \mathbb {R}$) nimmt auf $K$ sein Maximum in einem der Extremalpunkte von $K$ an.

Das bedeutet: Für jedes solche $\phi$ existiert ein (nicht notwendig eindeutig bestimmter) Extremalpunkt $e_{0}\in K$ mit

$\phi (e_{0})=\sup _{x\in K}{\phi (x)}=\max _{x\in K}{\phi (x)}$.

Bedeutung für die Lineare Optimierung

Dazu bemerken Philippe Blanchard und Erwin Brüning in ihrem Springer-Lehrbuch Direkte Methoden der Variationsrechnung (1982):

Die Aussage des Satzes ist für die Bestimmung des Maximums sehr wichtig, weil dadurch die Menge der potentiellen Extremalpunkte der Funktion ganz stark eingeschränkt wird. Speziell im Falle von konvexen Polyedern, wie er in konkreten Anwendungen oft vorliegt, braucht man also die Extrema der Funktion nur noch in der endlichen Menge der Extremalpunkte des Polyeders zu suchen.

Literatur

• Bernard Beauzamy: Introduction to Banach Spaces and their Geometry. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= North-Holland Mathematics Studies. Band 68). North-Holland Publishing Company, Amsterdam [u. a.] 1982, ISBN 0-444-86416-4 (MR0670943). 
• Heinz Bauer: Minimalstellen von Funktionen und Extremalpunkte. II. In: Archiv der Mathematik. Band 11, 1960, S. 200–205 (MR0130390). 
• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5 (MR0687073). 
• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes. (= Texts and Monographs in Physics). Springer Verlag, Berlin 1992 (MR1230382). 
• Gustave Choquet: Lectures on Analysis / Volume II : Representation Theory. Edited by J. Marsden, T. Lance and S. Gelbart (= Mathematics Lecture Note Series). W. A. Benjamin, Inc., New York, Amsterdam 1969 (MR0250012). 
• D. A. Edwards: On the representation of certain functionals by measures on the Choquet boundary. In: Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier. Band 13, 1963, S. 111–121 (MR0147900). 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779). 

Einzelnachweise

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Fortsetzungssatz von Krein

Der Fortsetzungssatz von Krein (englisch Krein's extension theorem) ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Analysis, welcher auf eine von dem sowjetischen Mathematiker Mark Grigorjewitsch Krein (1907–1989) im Jahre 1937 vorgelegten Arbeit zurückgeht. Der Krein'sche Fortsetzungssatz gibt eine Antwort auf die Frage, unter welchen Bedingungen Fortsetzungen positiver linearer Funktionale auf reellen Vektorräumen möglich sind, und ist insofern verwandt mit (und dabei sogar herleitbar aus) dem Satz von Hahn-Banach. Wie dieser und andere Fortsetzungssätze der Mathematik stützt sich sein Beweis auf das Lemma von Zorn und benötigt damit die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms.

Formulierung des Satzes

Der Fortsetzungssatz von Krein kommt in zwei – miteinander jedoch eng verwandten – Formulierungen vor.

Formulierung nach Neumark

Die eine Formulierung des Fortsetzungssatzes hat der sowjetische Mathematiker Mark Neumark in seiner Monographie Normierte Algebren vorgelegt:

Gegeben seien ein lokalkonvexer topologischer $\mathbb {R}$-Vektorraum $E$ und darin ein nichtleerer konvexer Kegel $P\subseteq E$ sowie ein linearer Unterraum $S\subseteq E$.

Der Kegel $P$ möge innere Punkte enthalten und dabei soll $\left(S\cap P^{\circ }\right)\neq \emptyset$ gelten, also mindestens ein Punkt $p\in P^{\circ }$ zugleich Punkt des Unterraums $S$ sein.

Dann gilt:

Jedes auf dem Unterraum $S$ definierte positive lineare Funktional lässt sich zu einem auf dem gesamten Raum $E$ definierten positiven linearen Funktional fortsetzen.

Das heißt: Ist $f\colon S\rightarrow \mathbb {R}$ ein lineares Funktional, welches der Bedingung $f(p)\geq 0$ für alle $p\in \left(S\cap P\right)$ genügt, so existiert dazu stets ein Funktional $F\colon E\rightarrow \mathbb {R}$ mit $F(p)\geq 0$ für alle $p\in P$ und $F(x)=f(x)$ für alle $x\in S$.

Formulierung nach Hewitt/Stromberg

Eine etwas andere Formulierung des Fortsetzungssatzes von Krein findet man in der Monographie Real and Abstract Analysis der beiden der US-amerikanischen Mathematiker Edwin Hewitt und Karl Robert Stromberg:

Gegeben seien ein $\mathbb {R}$-Vektorraum $E$ und darin ein nichtleerer konvexer Kegel $P\subseteq E$ sowie ein linearer Unterraum $S\subseteq E$.

Hinsichtlich der Beziehungen zwischen dem Kegel $P$ und den Nebenklassen des Unterraums $S$ soll gelten, dass ein Punkt $x\in E$ der Bedingung $\left(\left[x+S\right]\cap P\right)\neq \emptyset$ dann und nur dann genügt, wenn für den Spiegelpunkt $-x$ die entsprechende Bedingung $\left(\left[-x+S\right]\cap P\right)\neq \emptyset$ gegeben ist.

Dann gilt:

Ein auf dem Unterraum $S$ definiertes positives lineares Funktional lässt sich stets zu einem auf dem gesamten Raum $E$ definierten positiven linearen Funktional fortsetzen.

Unmittelbare Folgerung

Aus dem Krein'schen Fortsetzungssatz zieht man als unmittelbare Folgerung den folgenden Satz:

Ist $P$ ein konvexer Kegel in einem lokalkonvexen topologischen $\mathbb {R}$-Vektorraum $E$ und ist $p_{0}\in P^{\circ }$ ein darin gelegener innerer Punkt, so gibt es stets ein positives lineares Funktional $\phi \colon E\rightarrow \mathbb {R}$ mit ${\phi }(p_{0})=1$.

Anmerkung

Hewitt und Stromberg bezeichnen den Krein'sche Fortsetzungssatz explizit als Krein's extension theorem for nonnegative linear functionals. In diesem Zusammenhang ist zu bemerken, dass man in der analytischen Fachliteratur statt von nichtnegativen linearen Funktionalen (o. ä.) nicht selten auch von positiven linearen Funktionalen (o. ä.) spricht. Gemeint sind in jedem Falle reellwertige lineare Funktionale auf dem gegebenen topologischen Vektorraum, welche die von dem konvexen Kegel induzierte Ordnungsstruktur monoton in die Ordnungsstruktur von $\mathbb {R}$ übertragen.

Literatur

• Edwin Hewitt, Karl R. Stromberg: Real and Abstract Analysis: A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable (= Graduate Texts in Mathematics. Band 25). 3. Auflage. Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1975, ISBN 0-387-90138-8 (MR0367121). 
• M. G. Krein: Über positive additive Funktionale in linearen normierten Räumen (ukrainisch). In: Comm. Soc. Math. Charkow. Band 14, 1937, S. 227–237. 
• M. G. Krein, M. A. Rutman: Linear operators leaving invariant a cone in a Banach space. In: Amer. Math. Soc. Translation. Band 1950, 1950 (MR0038008). 
• Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4. 

Einzelnachweise

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Formel von Burnside

Die Formel von Burnside ist eine Formel des mathematischen Teilgebiets der Analysis, welche auf den englischen Mathematiker William Burnside zurückgeht. Sie ist eng verwandt mit der Formel von Stirling und gibt wie diese eine Approximation der Fakultätenfunktion.

Darstellung der Formel

Die Burnside’sche Formel lässt sich angeben wie folgt:

$n!\sim {\sqrt {2\pi }}\;\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)^{\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}{\mathrm {e} }^{-\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}={\sqrt {2\pi }}\;\left({\frac {n+{\frac {1}{2}}}{\mathrm {e} }}\right)^{\left(\ n+{\frac {1}{2}}\right)}$

Güte der Annäherung

Claudi Alsina und Roger B. Nelsen verweisen in ihrer Monographie Bezaubernde Beweise (Springer, 2013) darauf, dass die Burnside’sche Formel „ungefähr doppelt so genau wie die Stirling’sche Formel“ ist und dass man ihre Herleitung „durch Näherungen für das Integral $\int _{1}^{n+{\frac {1}{2}}}{\ln(x)}\;\mathrm {d} x$ “ gewinnt.

Siehe auch

• Näherungsweise Berechnung der Gammafunktion

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin (u. a.) 2013, ISBN 978-3-642-34792-4. 
• Francis J. Murray: Formulas for Factorial N. In: Mathematics of Computation. Band 39, 1982, S. 655–661 (MR0669657). 
• W. Burnside: A rapidly convergent series for Log N! In: The Messenger of Mathematics. Band 46, 1917, S. 157–159. 

Einzelnachweise

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Überdeckungslemma von Wiener

Das Überdeckungslemma von Wiener (englisch Wiener covering lemma) ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Gebieten der Topologie, der Maßtheorie und der Harmonischen Analyse angesiedelt ist. Dieses Lemma wird dem US-amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener zugeschrieben und behandelt eine Fragestellung zu offenen Überdeckungen von kompakten Teilmengen im euklidischen Raum und in Räumen vom homogenen Typ. Es ist verwandt mit einem ähnlichen Überdeckungslemma, welches auf den italienischen Mathematiker Giuseppe Vitali zurückgeht. Beide Lemmata sind bedeutungsvoll für die Herleitung von Sätzen zur Frage der punktweisen Konvergenz von Fourier-Reihen.

Formulierung

Das Lemma lässt sich angeben wie folgt:

Sei $X$ der n-dimensionale euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ oder – allgemeiner – ein Raum vom homogenen Typ, für den $K$ die in der Quasi-Dreiecksungleichung erscheinende Konstante sein soll.

In $X$ seien eine kompakte Teilmenge $Y\neq \emptyset$ gegeben und zudem eine Familie ${\mathcal {B}}=\left(B(x_{j},r_{j})\right)_{j\in J}$ von offenen $X$-Kugeln, welche $Y$ überdecken.

Dann gilt:

Es gibt in ${\mathcal {B}}$ eine aus endlich vielen paarweise disjunkten $X$-Kugeln bestehende Teilfamilie $\left(B(x_{t},r_{t})\right)_{t\in T}\;,\;T\subset J\;,\;|T|<\infty ,$ derart, dass für $M=2K^{2}+K$ die $M$-fach vergrößerten $X$-Kugeln $\left(B(x_{t},Mr_{t})\right)_{t\in T}$ eine Überdeckung von $Y$ bilden.

Im Falle $X=\mathbb {R} ^{n}$ kann dabei $K=1$ und damit $M=3$ gewählt werden.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ein Raum vom homogenen Typ (englisch space of homogeneous type) ist eine mathematische Raumstruktur $X=(X,d,\mu )$ über einer nichtleeren Grundmenge $X$ derart, dass $(X,d)$ ein semimetrischer Raum und $(X,\mu )$ ein Maßraum ist, wobei die folgenden Zusatzbedingungen gelten:
  • Die Semimetrik $d\colon {X\times X}\to [0,\infty ]$, welche die topologische Struktur von $(X,d)$ erzeugt, hängt ab von einer Konstanten $K\geq 1$, so dass für $x,y,z\in X$ stets die Quasi-Dreiecksungleichung (englisch quasi-triangle inequality ) $d(x,y)\leq K(d(x,z)+d(z,y))$ erfüllt ist.
  • Der Maßraumstruktur von $(X,\mu )$ liegt eine σ-Algebra ${\mathcal {A}}$ über der Grundmenge $X$ zugrunde, welche die borelsche σ-Algebra von $X$ sowie alle $X$-Kugeln $B(x,r)=\{p\in X\colon d(x,p)<r\};(x\in X\;,\;r>0)$ enthält.
  • $\mu \colon {\mathcal {A}}\to [0,\infty ]$ ist ein Maß auf ${\mathcal {A}}$,
    • welches einerseits für jede $X$-Kugel $B(x,r)$ die Ungleichungen $0<\mu {\bigl (}B(x,r){\bigr )}<\infty$ erfüllt,
    • welches andererseits eine Konstante $L>0$ aufweist, so dass jede $X$-Kugel $B(x,r)$ die Verdopplungseigenschaft $\mu {\bigl (}B(x,2r){\bigr )}<L\mu {\bigl (}B(x,r){\bigr )}$ hat,
    • und welches schließlich für die Punkte $x\in X$ stets der Bedingung $\mu (\{x\})=0$ genügt.
• Im Falle $X=\mathbb {R} ^{n}$ wird in der Regel als $d$ die übliche euklidische Metrik und als $\mu$ das Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}$ als gegeben vorausgesetzt.
• Die Grundkonzeption der Räume vom homogenen Typ beruht auf Ideen, welche Kennan T. Smith und Lars Hörmander entwickelt haben und die in der heutigen Form im Wesentlichen von Ronald Raphael Coifman und Guido Weiss ausgearbeitet wurden. Eine weiter verallgemeinerte Auffassung des Konzepts gab Steven G. Krantz in seiner Monographie Explorations in Harmonic Analysis.
• Die Räume vom homogenen Typ sind nicht zu verwechseln mit den homogenen Räumen.

Das Überdeckungslemma von Vitali

Das Überdeckungslemma von Vitali (englisch Vitali covering lemma) lässt sich folgendermaßen formulieren:

Ist $\left(I_{j}\right)_{j\in J}$ eine nichtleere Familie von reellen Intervallen, die allesamt dem Intervall $\mathbb {T} =[0,2\pi )$ angehören und die dabei eine Lebesgue-messbare Menge $A\subseteq \mathbb {T}$ überdecken, so lässt sich daraus eine endliche oder unendliche Folge $\left(I_{j_{m}}\right)_{m=1,2,3,\ldots }$ von paarweise disjunkten Intervallen auswählen, welche in Bezug auf das Lebesgue-Maß die Ungleichung

$\lambda ^{1}{\Bigl (}\bigcup _{m=1,2,3,\ldots }{I_{j_{m}}}{\Bigr )}>{\frac {1}{4}}\lambda ^{1}{\Bigl (}A{\Bigr )}$

erfüllt.

Literatur

• Ronald R. Coifman, Guido L. Weiss: Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogènes: étude de certaines intégrales singulières. Étude de certaines intégrales singulières (= Lecture Notes in Mathematics. Band 242). Springer Verlag, Berlin, New York 1971 (MR0499948). 
• Ronald R. Coifman, Guido Weiss: Extensions of Hardy spaces and their use in analysis. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 83, 1977, S. 569–645 (MR0447954). 
• Donggao Deng, Yongsheng Han: Harmonic Analysis on Spaces of Homogeneous Type. With a preface by Yves Meyer. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88744-7 (MR2039503). 
• Henry Helson: Harmonic Analysis. Addison-Wesley, Reading, Mass (u. a.) 1983, ISBN 0-201-12752-0 (MR0729682). 
• Lars Hörmander: L^p estimates for (pluri-) subharmonic functions. In: Mathematica Scandinavica. Band 20, 1967, S. 65–78 (MR0234002). 
• Roberto A. Macías, Carlos Segovia: Lipschitz functions on spaces of homogeneous type. In: Advances in Mathematics. Band 33, 1979, S. 257–270 (MR0546295). 
• Yitzhak Katznelson: An Introduction to Harmonic Analysis (= Cambridge Mathematical Library). 3. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-54359-2 (MR1710388). 
• Steven G. Krantz: A Panorama of Harmonic Analysis (= Carus Mathematical Monographs. Band 27). The Mathematical Association of America, Washington, DC 1999, ISBN 0-88385-031-1 (MR1710388). 
• Steven G. Krantz: Explorations in Harmonic Analysis (= Applied and Numerical Harmonic Analysis. Band 27). Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin 2009, ISBN 978-0-8176-4668-4 (MR2508404). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• K. T. Smith: A generalization of an inequality of Hardy and Littlewood. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 8, 1956, S. 157–170 (MR0086889). 
• Norbert Wiener: The Fourier Integral and Certain of its Applications. Dover Publications, Inc., New York 1959 (MR0100201 – An unaltered republication of the 1933 edition [University Press, Cambridge]). 

Einzelnachweise

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Satz von Young (Fourier-Koeffizienten)

Der Satz von Young über Fourier-Koeffizienten ist ein klassischer Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Harmonischen Analyse. Er geht auf den englischen Mathematiker William Henry Young zurück und behandelt die Frage, welche Nullfolgen als Folgen von Fourier-Koeffizienten Lebesgue-integrierbarer reeller Funktionen auftreten. Wie der Mathematiker Jürgen Elstrodt in seinem Lehrbuch Maß- und Integrationstheorie anmerkt, gilt diese Frage als ein schwieriges Problem in der Theorie der Fourier-Reihen. Der erwähnte Satz sei einer der schönsten Sätze von Young.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren :

Ist $\left(a_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ eine konvexe Nullfolge positiver reeller Zahlen,

so ist die daraus gebildete Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}\cos {nt}{\bigr )}$ die Fourierreihe einer Lebesgue-integrierbaren geraden Funktion,

d.h., es gibt eine Lebesgue-integrierbare gerade Funktion $f\colon [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {R}$ derart,

dass für $n=1,2,3,\ldots$ stets die Gleichung $a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\bigl (}f(t)\cos {nt}{\bigr )}\mathrm {d} t$ erfüllt ist.

Erläuterungen

• In der Folgenlehre benutzt man einen Delta-Operator, welcher so wirkt, dass durch ihn einer Folge $\left(z_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ von reellen Zahlen (bzw. einer Folge von komplexen Zahlen oder allgemeiner einer Folge in einer abelschen Gruppe) die Folge der sukzessiven Differenzen zugeordnet wird. Dabei geht $\left(z_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ in die neue Folge $\left(\Delta {z_{n}}\right)_{n=1,2,3,\ldots }=\left(z_{n}-z_{n+1}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ über.
• Die zweifache Anwendung des Delta-Operators auf die Folge $\left(z_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ ergibt die weitere Folge $\left({\Delta }^{2}{z_{n}}\right)_{n=1,2,3,\ldots }=\left(z_{n}-2z_{n+1}+z_{n+2}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$.
• Man nennt eine Folge reeller Zahlen eine konvexe Folge, wenn für $n=1,2,3,\ldots$ stets die Ungleichung ${\Delta }^{2}{z_{n}}\geq 0$ erfüllt ist.
• Die genannte Konvexitätsbedingung bedeutet, dass für $n=1,2,3,\ldots$ stets die Ungleichung $z_{n+1}\leq {\frac {z_{n}+z_{n+2}}{2}}$ besteht.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u.   a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4. 
• Živorad Tomovski: Convergence and integrability for some classes of trigonometric series. In: Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne). Band 420, 2003 (MR2030824). 
• Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Volumes I and II. Reprinting of the 1968 Version of the Second Edition. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, London, New York, Melbourne 1977, ISBN 0-521-07477-0 (MR0617944). 

Einzelnachweise

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Satz von Bishop

Der Satz von Bishop ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, der auf eine Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Errett Bishop aus dem Jahr 1961 zurückgeht. Er ist eng mit dem Approximationssatz von Stone-Weierstraß verbunden, welchen er als unmittelbare Folge nach sich zieht und damit verallgemeinert. Der bishopsche Satz lässt sich mit Hilfe der Sätze von Krein-Milman, Hahn-Banach und Banach-Alaoglu herleiten.

Formulierung des Satzes

Er lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein kompakter Hausdorff-Raum $X\neq \emptyset$ und dazu die Funktionenalgebra $C=C(X,\mathbb {C} )$ der stetigen komplexwertigen Funktionen $f\colon X\to \mathbb {C}$.

Darin sei eine abgeschlossene Unteralgebra $A\subseteq C$ gegeben und weiter ein $g\in C$.

$A$ enthalte die konstanten Funktionen und darüber hinaus gelte folgende Bedingung:

Ist $E\subseteq X$ irgend eine maximale $A$-antisymmetrische Teilmenge, so gibt es stets ein $f\in A$ mit $g(x)=f(x)$ für alle $x\in E$.

Dann ist $g\in A$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Die Funktionenalgebra $C$ ist wie üblich mit der Supremumsnorm versehen.
• Abgeschlossenheit innerhalb der Funktionenalgebra $C$ ist im Sinne der aus der Supremumsnorm erwachsenden Topologie der gleichmäßigen Konvergenz zu verstehen.
• In der Funktionenalgebra $C$ ist $A\subseteq C$ genau dann eine Unteralgebra, wenn $A$ ein linearer Unterraum von $C$ ist und zudem die Eigenschaft hat, dass für je zwei $f_{1}\in A$ und $f_{2}\in A$ stets auch für die durch komplexe Multiplikation entstehende Funktion $f_{1}f_{2}\colon X\to \mathbb {C} \;,\;x\mapsto f_{1}(x)f_{2}(x)\;,\;$ in $A$ enthalten ist.
• Eine Teilmenge $E\subseteq X$ wird $A$-antisymmetrisch genannt, wenn jedes $f\in A$ mit $f(E)\subseteq {\mathbb {R} }$ stets eine konstante Funktion ist.
• Eine maximale $A$-antisymmetrische Teilmenge ist eine solche, welche von keiner anderen $A$-antisymmetrischen Teilmenge echt umfasst wird.
• Jede maximale $A$-antisymmetrische Teilmenge ist innerhalb des topologischen Raums $X$ abgeschlossen.
• Das Mengensystem aller maximalen $A$-antisymmetrischen Teilmenge bildet eine Zerlegung von $X$.
• Den Approximationssatz von Stone-Weierstraß gewinnt man aus dem Satz von Bishop, indem man berücksichtigt, dass wegen der beim Approximationssatz gemachten Voraussetzungen keine $A$-antisymmetrische Teilmenge zwei oder mehr Punkte enthalten kann.

Das Lemma von Machado

Zum Satz von Bishop und zum Approximationssatz von Stone-Weierstraß hat der brasilianische Mathematiker Silvio Machado ein Lemma geliefert, mit dem er diese Resultate auf neuem Wege hergeleitet und verallgemeinert hat. Es ergibt sich auf nichtkonstruktivem Wege, nämlich unter Anwendung des zornschen Lemmas. Das Lemma von Machado lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Hausdorffraum $X\neq \emptyset$ und dazu die Funktionenalgebra $C_{0}=C_{0}(X,\mathbb {K} )$ der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen $f\colon X\to \mathbb {K}$, wobei ${\mathbb {K} }$ der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen sein möge.

Weiterhin sei $A$ eine abgeschlossene Unteralgebra von $C_{0}$ und $f_{0}\in C_{0}$ .

Dann gilt:

Es existiert eine nichtleere abgeschlossene $A$-antisymmetrische Teilmenge $E\subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass hinsichtlich der zugehörigen Distanzfunktionen die Gleichung ${\operatorname {dist} }_{E}(f_{0},A)={\operatorname {dist} }_{X}(f_{0},A)$ erfüllt ist.

Erläuterungen und Anmerkungen

• In der Funktionenalgebra $C_{0}$ gelten hinsichtlich Norm und Topologie die gleichen Gegebenheiten wie oben.
• Man sagt von einer (stetigen) Funktion $f\colon X\to \mathbb {K}$, dass sie im Unendlichen verschwindet, wenn zu jeder beliebigen positiven Zahl $\epsilon$ eine kompakte Teilmenge $C\subseteq X$ existiert, so dass für $x\in {X\setminus C}$ stets $|f(x)|<\epsilon$ erfüllt ist.
• Für eine Teilmenge $S\subseteq X$ und eine Funktion $f\in C_{0}$ ist hierbei ${\operatorname {dist} }_{S}(f,A)=\inf _{g\in A}\|f-g\|_{S}$, wobei $\|f\|_{S}=\sup _{x\in S}|f(x)|$ bedeutet und $|\cdot |$ die Betragsfunktion ist.

Eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß

Sie besagt:

Hat die im Lemma von Machado auftretende abgeschlossene Unteralgebra $A\subseteq C_{0}$ die im Approximationssatz genannten allgemeinen Eigenschaften, so ist $A=C_{0}$.

Das heißt:.

Für jede abgeschlossene Unteralgebra $A\subseteq C_{0}$, welche die folgenden drei Eigenschaften hat, nämlich:

1. dass zu je zwei verschiedenen $x,y\in X$ ein $f\in A$ existiert mit $f(x)\neq f(y)$,

2. dass zu jedem $x\in X$ ein $g\in A$ existiert mit $g(x)\neq 0$,

3. dass – im Falle $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ – mit jedem $f\in A$ auch die zugehörige konjugiert-komplexe Funktion ${\overline {f}}\colon X\to \mathbb {K} ,x\mapsto {\overline {f(x)}},$ in $A$ enthalten ist,

gilt auch schon $A=C_{0}$.

Literatur

• Errett Bishop: A generalization of the Stone-Weierstrass theorem. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 11, 1961, S. 777–783 (MR0133676). 
• Silvio Machado: On Bishop's generalization of the Weierstrass-Stone theorem. In: Indagationes Mathematicae. Band 39, 1977, S. 218–224 (MR0448046). 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= Reihe "B. I.-Hochschultaschenbücher". Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864). 
• Thomas J. Ransford: A short elementary proof of the Bishop-Stone-Weierstrass theorem. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 96, 1984, S. 309–311 (MR0757664). 
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815). 
• Mícheál Ó Searcóid: Elements of Abstract Analysis (= Springer Undergraduate Mathematics Series. Band 15). Springer Verlag, London (u. a.) 2002, ISBN 1-85233-424-X (MR1870768). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (MR0264581). 

Einzelnachweise

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Satz von Wiener

Der Satz von Wiener (englisch Wiener’s $1/f$ theorem oder Wiener’s theorem) ist ein klassischer mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Gebieten der Harmonischen Analyse und der Funktionalanalysis angesiedelt ist. Er geht auf eine Arbeit des US-amerikanischen Mathematikers Norbert Wiener aus dem Jahre 1932 zurück und behandelt die Frage der Reihenentwicklungsfähigkeit von Kehrwerten gewisser Fourier-Reihen.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Wiener lautet wie folgt:

Der Kehrwert einer nichtverschwindenen, absolut konvergenten trigonometrischen Reihe ist stets selbst eine absolut konvergente trigonometrische Reihe.

Es gilt also mit anderen Worten:

Ist $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }$ eine Folge von komplexen Zahlen mit

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|a_{n}|<\infty$

und besitzt die durch

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{int}\;(t\in \mathbb {R} )$

definierte komplexwertige Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ keine Nullstelle, so existiert eine Folge $\left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }$ komplexer Zahlen, so dass

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|b_{n}|<\infty$

gilt und zugleich die mittels Kehrwertbildung entstehende Funktion $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} \;,\;t\mapsto g(t)={\frac {1}{f(t)}}\;(t\in \mathbb {R} )$ in der Form

$g(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{int}\;(t\in \mathbb {R} )$

darstellbar ist.

Zu Hintergrund und Beweis

Der US-amerikanische Mathematiker Sterling K. Berberian vollzieht in seinem Lehrbuch Lectures in Functional Analysis and Operator Theory den Beweis von I. M. Gel'fand aus dem Jahre 1941 nach und hebt in diesem Zusammenhang hervor, dass dieser Beweis Gel'fands einen frühen Triumph der funktionalanalytischen Betrachtungsweise („early triumph of the functional-analytic point of view“) darstelle. Daneben gibt es zahlreiche weitere Beweise, darunter auch einen elementaren Beweis von Donald Joseph Newman (1930–2007). Der Wienersche Satz ergibt sich ebenfalls als Korollar aus weiterreichenden Sätzen der Theorie der kommutativen Banachalgebren.

Literatur

• Sterling K. Berberian: Lectures in Functional Analysis and Operator Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 15). Springer Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1974, ISBN 0-387-90080-2 (MR0417727). 
• I. M. Gel'fand: Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale. In: Matematitscheskii sbornik (N.S.). Band 9 (51), 1941, S. 51–66 (MR0004727). 
• M. A. Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt/Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4 (MR1038909). 
• D. J. Newman: A simple proof of Wiener’s 1/f theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 48, 1975, S. 264–265 (MR0365002). 
• Norbert Wiener: Tauberian Theorems. In: Annals of Mathematics. Band 33 (2), 1932, S. 1–100 (MR1503035). 
• Kōsaku Yosida: Functional Analysis (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 123). 6. Auflage. Springer Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1980, ISBN 3-540-10210-8. 

Einzelnachweise

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Nepersche Ungleichung

Die Nepersche Ungleichung (englisch Napier’s inequality) ist eine Ungleichung des mathematischen Teilgebiets der Analysis, die auf den schottischen Mathematiker John Napier (1550–1617) zurückgeht. Sie liefert elementare untere und obere Abschätzungen für den reellen natürlichen Logarithmus.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

Gegeben seien zwei reelle Zahlen $a$ und $b$ und es gelte $0<a<b$.

Dann bestehen die Ungleichungen

(N) ${\frac {1}{b}}<{\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}<{\frac {1}{a}}$ .

Herleitung der neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung

Mit der neperschen Ungleichung gleichwertig ist die folgende:

(N^') ${\frac {b-a}{b}}<\ln b-\ln a<{\frac {b-a}{a}}$ .

Also erhält man die neperschen Ungleichung mittels Integralrechnung. Denn danach ist der mittlere Term von (N^') nichts weiter als der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphs der reellen Kehrwertfunktion im Intervall $[a,b]$.

Anwendung

Eine nützliche Anwendung der neperschen Ungleichung ergibt sich, wenn man darin $a=1$ sowie – für eine natürliche Zahl $n$ – noch $b=1+{\tfrac {1}{n}}$ setzt.

Dann nämlich ergibt sich wegen $b-a={\tfrac {1}{n}}$ und $\ln a=0$

${\frac {1}{1+{\frac {1}{n}}}}<{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}{\frac {1}{n}}}<{\frac {1}{1}}$

und weiter

${\frac {n}{n+1}}<n\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)<1$

und schließlich

${\frac {n}{n+1}}<\ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}<1$ .

Durch Limesbildung erhält man dann

$\lim _{n\to \infty }{\ln {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}}=1$

und es folgt aus Stetigkeitsgründen und durch Anwendung der Exponentialfunktion

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\exp(1)=e$ .

Verwandte Ungleichungen

Die nepersche Ungleichung lässt sich erheblich verschärfen. Dies zeigt etwa die Ungleichung von Hermite-Hadamard, welche die nepersche Ungleichung nach sich zieht. Denn berücksichtigt man hier die Tatsache , dass die Einschränkung der reellen Umkehrfunktion auf das Intervall $]0,\infty [$ der positiven Zahlen eine konvexe Funktion ist, so ergeben sich für $0<a<b$ sogleich die Abschätzungen

${\frac {1}{\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)}}\leq {\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}\leq {\frac {{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}}{2}}$

und damit

${\frac {2}{a+b}}\leq {\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}\leq {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right)$ .

Für den Fall, dass insbesondere $b=a+1$ ist, hat man sogar die folgenden – und für diesen Fall besseren! – Abschätzungen:

${\frac {2}{2a+1}}<\ln \left(1+{\frac {1}{a}}\right)<{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+a}}}$ .

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics (= Classroom Resource Materials Series). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2006, ISBN 0-88385-746-4 (MR2216733). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Mathematik)|Nepersche Ungleichung]]

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Ungleichung von Schur

Die Ungleichung von Schur (englisch Schur’s inequality) ist eine von mehreren klassischen Ungleichungen, die der Mathematiker Issai Schur auf dem mathematischen Gebiet der Analysis beigesteuert hat.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

Gegeben seien reelle Zahlen $r,x,y,z$ und dabei gelte $x,y,z>0$.

Dann besteht die Ungleichung

$x^{r}(x-y)(x-z)+y^{r}(y-z)(y-x)+z^{r}(z-x)(z-y)\geq 0$

und es gilt hierbei das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die drei Zahlen $x,y,z$ alle übereinstimmen.

Anwendung

In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit $r=2$) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der Dreiecksgeometrie der euklidischen Ebene herleiten:

Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck $ABC$ gegeben, dessen Seiten die Längen $a,b,c$ haben sollen, und ist hier $s$ gleich dem halben Umfang von $ABC$, so gilt stets die Ungleichung

$abcs\geq a^{3}\cdot (s-a)+b^{3}\cdot (s-b)+c^{3}\cdot (s-c)$

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836). 
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. Reprint (of the 2. edition 1952). Cambridge University Press, Cambridge 1973. 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 

Einzelnachweise

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Ungleichung von Guha

Die Ungleichung von Guha (englisch Guha’s inequality) ist eine von mehreren elementaren Ungleichungen im Umfeld der AGM-Ungleichung und lässt sich als solche dem mathematischen Gebiet der Analysis zurechnen. Sie geht auf eine wissenschaftliche Publikation von U. C. Guha aus dem Jahre 1967 zurück.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

Gegeben seien reelle Zahlen $a,p,q,x,y$ und für diese gelte $a\geq 0$ sowie $p\geq q>0$ und $x\geq y>0$.

Dann ist:

${\bigl (}px+y+a{\bigr )}\cdot {\bigl (}x+qy+a{\bigr )}\geq {\bigl (}(p+1)x+a{\bigr )}\cdot {\bigl (}(q+1)y+a{\bigr )}$

Anmerkungen

• Die Bedeutung der Ungleichung liegt darin, dass sie, wie Guha 1967 zeigte, eine einfache und zugleich geschickte Herleitung der AGM-Ungleichung für beliebig (jedoch endlich) viele nichtnegative Zahlen ermöglicht.
• Der Beweis der Ungleichung lässt sich rein algebraisch führen. Mittels algebraischer Umformungen kann man ihre Gleichwertigkeit mit der Ungleichung $\left(px-qy\right)\cdot \left(x-y\right)\geq 0$ nachweisen, welche aufgrund der getroffenen Voraussetzungen offenbar gültig ist. Sie lässt sich ebenfalls auf geometrisch-anschauliche Weise zeigen.
• Es gilt das Gleichheitszeichen genau im Falle $x=y$.

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836). 
• P. S. Bullen, D. S. Mitrinović, Petar M. Vasić (Hrsg.): Means and Their Inequalities (= Mathematics and Its Applications (East European Series). Band 31.). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht 1988, ISBN 90-277-2629-9 (MR0947142 – Translated and revised from the Serbo-Croatian). 
• U. C. Guha: Arithmetic mean – geometric mean inequality. In: Mathematical Gazette. Band 51, 1967, S. 145–146. 

Einzelnachweise

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Fakultätenreihe

Der Begriff der Fakultätenreihe (englisch factorial series) entstammt der Mathematik. Die Fakultätenreihen zählen zu den Funktionenreihen und stehen in enger Verwandtschaft mit den Dirichletreihen. Sie sind nicht zuletzt von besonderer Bedeutung beim Studium von Differenzengleichungen.

Definition

Ist eine Folge ${\mathcal {A}}=\left(a_{n}\right)_{n=0,1,2,3,\ldots }$ von reellen oder komplexen Zahlen gegeben, so ist die Funktionenreihe

${\begin{aligned}\Omega (z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!a_{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}\\&={\frac {a_{0}}{z}}+{\frac {a_{1}}{z(z+1)}}+{\frac {2a_{2}}{z(z+1)(z+2)}}+{\frac {6a_{3}}{z(z+1)(z+2)(z+3)}}+\cdots +{\frac {n!a_{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\cdots \;\;(z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \})\\\end{aligned}}$

die (zu der Folge ${\mathcal {A}}$ gehörige) Fakultätenreihe.

Dabei wird von manchen Autoren angenommen, dass das Anfangsglied $a_{0}=0$ ist. Andere Autoren lassen dagegen sogar zu, dass zu obigem $\Omega (z)$ noch ein reelle oder komplexe Konstante $c$ hinzuaddiert wird und bezeichnen die so gegebene Funktionenreihe $c+\Omega (z)$ ebenfalls als Fakultätenreihe. Alle diese Auffassungen des Begriffs der Fakultätenreihe sind im Wesentlichen gleichwertig.

Konvergenzverhalten

Über das Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen geben einige Sätze Auskunft, welche nicht zuletzt auf Mathemetiker wie Edmund Landau, Johan Ludwig Jensen, Salvatore Pincherle und Niels Erik Nørlund zurückgehen.

Der Satz von Landau

Dieser von Edmund Landau gefundene Satz bringt die Frage nach dem Konvergenzverhalten der Fakultätenreihen in Zusammenhang mit der entsprechenden Frage für die Dirichletreihen. Er besagt nämlich:

Die oben beschriebene Fakultätenreihe $\Omega (z)$ und die zugehörige Dirichletreihe

$\Psi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{z}}}$

haben innerhalb des Gebietes $\mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}$ das gleiche Konvergenzverhalten. Dabei gilt im Einzelnen:

(I) Die beiden Reihen $\Omega (z)$ und $\Psi (z)$ sind für ein und dieselben $z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}$ konvergent und divergent.

(II) Ist $\Omega (z)$ auf einer abgeschlossenen Kreisscheibe ${\overline {U_{r}(z_{0})}}\subset \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\;\;(r>0\;,\;z_{0}\neq 0,-1,-2,\ldots )$ gleichmäßig konvergent, so gilt dies auch für $\Psi (z)$ und nur dann.

Die Sätze von Jensen und Pincherle

Der Satz von Jensen behandelt die Frage nach der Beschaffenheit des Konvergenzbereichs der Fakultätenreihen. Er besagt folgendes:

Zu einer Fakultätenreihe $\Omega (z)$ gibt es stets eine – auch als Konvergenzabszisse bezeichnete – endliche oder unendliche Zahl $\lambda \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ derart, dass $\Omega (z)$ für jede komplexe Zahl des Gebietes $\{z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\colon \operatorname {Re} (z)<\lambda \}$ divergiert und für jede komplexe Zahl des Gebiets $\{z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\colon \operatorname {Re} (z)>\lambda \}$ konvergiert. Das Konvergenzgebiet einer Fakultätenreihe ist also eine nach rechts offene Halbebene, aus der (gegebenenfalls) die Null und die negativen ganzen Zahlen entfernt wurden.

Der Satz von Pincherle behandelt die entsprechende Frage in Hinblick auf die absolute Konvergenz der Fakultätenreihen und lässt sich angeben wie folgt:

Das Gebiet der absoluten Konvergenz einer Fakultätenreihe ist ebenfalls eine nach rechts offene Halbebene, aus der (gegebenenfalls) die Null und die negativen ganzen Zahlen entfernt wurden. Zu einer Fakultätenreihe $\Omega (z)$ gibt es also stets eine – auch als Abszisse der absoluten Konvergenz bezeichnete – endliche oder unendliche Zahl $\mu \in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ derart, dass $\Omega (z)$ im Gebiet $\{z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\colon \operatorname {Re} (z)>\mu \}$ absolut konvergent ist. Dabei ist $\Omega (z)$ für jede komplexe Zahl $z$ mit $\lambda <\operatorname {Re} (z)<\mu$ zwar konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die Breite des zwischen den beiden Abzissen gelegenen unendlichen Streifens ist höchstens $1$; es gilt also die Ungleichung $\lambda \leq \mu \leq \lambda +1$.

Der Satz von Nørlund

Diesen Satz hat Niels Erik Nørlund gefunden und damit in der Frage der gleichmäßigen Konvergenz von Fakultätenreihen Klarheit geschaffen. Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Die Fakultätenreihe $\Omega (z)$ konvergiere in einem Punkte $z_{0}\in {\mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}}$ . Weiterhin sei eine beliebige positive Zahl $\eta <{\frac {\pi }{2}}$ gegeben und dazu das im Punkte $z_{0}$ verankerte, nach rechts geöffnete Winkelfeld $W(z_{0},\eta )\subset \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}$, dessen beiden Schenkel durch zwei $\eta$-Radiant-Drehungen aus den beiden von $z_{0}$ ausgehenden, zur reellen Achse senkrechten Halbgeraden hervorgehen.

Dann gilt:

$\Omega (z)$ ist auf dem Winkelfeld $W(z_{0},\eta )$ stets gleichmäßig konvergent.

Analogon

Wie G. M. Fichtenholz in seiner Differential- und Integralrechnung II ausführt, sind – einem Satz von Konrad Knopp zufolge – hinsichtlich des Konvergenzverhaltens die Beziehungen zwischen einer Fakultätenreihe und ihrer Dirichletreihe ähnlich denen, welche zwischen einer Lambert-Reihe und der dieser Lambert-Reihe zugehörigen Potenzreihe bestehen.

Holomorphie

Die durch Fakultätenreihen gegebenen komplexen Funktionen weisen – in gleicher Weise wie die durch die zugehörigen Dirichletreihen gegebenen komplexen Funktionen – einige Regularitätseigenschaften auf. Dies beruht auf einer Verknüpfung des weierstraßschen Konvergenzsatzes mit dem Satz von Nørlund. Insgesamt gilt der folgende Satz:

Zu einer wie oben gegebenen Fakultätenreihe wird durch die Zuordnung $z\mapsto \Omega (z)$ auf der Konvergenzhalbebene $\{z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}\colon \operatorname {Re} (z)>\lambda \}$ eine holomorphe Funktion definiert. Diese (ebenfalls mit $\Omega (z)$ bezeichnete Funktion) hat die folgende Ableitungsfunktion:

$\Omega ^{'}(z)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n!\cdot \left({\frac {a_{0}}{n}}+{\frac {a_{1}}{n-1}}+\cdots +{\frac {a_{n-1}}{1}}\right)}{z(z+1)\cdots (z+n)}}$   .

Weitere Darstellungen

Fakultätenreihen lassen sich auch mit Hilfe der Gammafunktion und der eulerschen Betafunktion darstellen. Es gilt nämlich:

Eine wie oben gegebene Fakultätenreihe erfüllt stets die Gleichungen:

${\begin{aligned}\Omega (z)&=\Gamma (z)\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!a_{n}}{\Gamma (z+n+1)}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}\cdot \mathrm {B} (z+n+1)}\;\;(z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \})\\\end{aligned}}$

Literatur

• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974. 
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997). 
• Edmund Landau: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. In: Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Band 36, 1906, S. 151–218. 
• Edmund Landau: Bemerkung zu meinem Aufsatze: Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. In: Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. Band 39, 1909, S. 7–10. 
• L. M. Milne-Thomson: The Calculus of Finite Differences. Re-issued by arrangemant with The Macmillan Press. 2., unveränderte Auflage. Chelsea Publishing Company, New York 1981, ISBN 0-8284-0308-2, X (MR0185152). 
• Niels Nielsen: Die Gammafunktion. Band I: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. Dritter Teil: Theorie der Fakultätenreihen. Chelsea Publishing Company, Bronx, New York 1965, XVII (MR0043339). 
• Niels Erik Nörlund: Vorlesungen über Differenzenrechnung (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 13). Springer Verlag, Berlin 1924, ISBN 978-3-642-50514-0, Kap. 9, doi:10.1007/978-3-642-50824-0_10 (MR1549596). 

Einzelnachweise

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Lobatschewskische Formeln

Die lobatschewskischen Formeln sind zwei mathematische Formeln für uneigentliche Integrale im Zusammenhang mit dem Kardinalsinus, welche dem Teilgebiet der Analysis zuzurechnen sind. Gemäß der Darstellung von G. M. Fichtenholz in Band II der dreibändigen Differential- und Integralrechnung wurden sie von dem russischen Mathematiker Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792–1856) gefunden.

Darstellung der Formeln

Sie lauten:

Gegeben sei eine reelle Funktion

$f\colon [0,\infty [\to \mathbb {R}$

mit folgenden Eigenschaften:

(1) $f$ ist im Intervall $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ eigentlich oder uneigentlich Riemann-integrierbar.

(2) Die mit dem Kardinalsinus gebildete Produktfunktion $f\cdot \operatorname {si} \colon [0,\infty [\to \mathbb {R} \;,x\mapsto f(x)\cdot \operatorname {si} (x)$ ist im Intervall $[0,\infty [$ uneigentlich Riemann-integrierbar.

(3) $f$ ist eine $\pi$-periodische Funktion, erfüllt also für $x\in [0,\infty [$ stets die Gleichung $f(x+{\pi })=f(x)$ .

(4) $f$ erfüllt für $x\in [0,\pi ]$ stets die Gleichung $f({\pi }-x)=f(x)$ .

Dann gilt:

(a) $\int _{0}^{\infty }{f(x)\cdot {\frac {\sin x}{x}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{f(x)}\,\mathrm {d} x$

(b) $\int _{0}^{\infty }{f(x)\cdot {\frac {{\sin }^{2}x}{x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{f(x)}\,\mathrm {d} x$

Anwendungen

Mit Hilfe der lobatschewskischen Formeln (und unter Zuhilfenahme der üblichen Rechenmethoden der Integralrechnung) lassen sich mehrere Identitäten ableiten, unter anderem die folgenden:

(A-1) $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$

(A-2) $\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sin }^{2n+1}x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\;(n=0,1,2,3,\ldots )$

(A-3) $\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sin }^{2}x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$

(A-4) $\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan {\left(a\cdot \sin x\right)}}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\cdot \ln {\left(a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right)}\;(a>0)$

(A-5) $\int _{0}^{\infty }{\ln {|{\sin x}|}\cdot {\frac {\sin x}{x}}}\,\mathrm {d} x=-{{\frac {\pi }{2}}\cdot \ln 2}$

(A-6) $\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln {|{\cos x}|}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\pi }{2}}$

(A-7) $\int _{0}^{\infty }{\frac {{\ln }^{2}{|{\cos x}|}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\pi \cdot \ln 2}$

Hintergrund: Partialbruchzerlegungen

Wie Fichtenholz zeigt, beruhen die lobatschewskischen Formeln wesentlich auf den Partialbruchzerlegungen der beiden Funktionen $x\mapsto {\frac {1}{\sin x}}\;,\;x\mapsto {\frac {1}{{\sin }^{2}x}}\;(x\notin {\pi \cdot \mathbb {Z} })$ . Hier gilt:

${\frac {1}{\sin x}}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}\left({\frac {1}{x-n\pi }}+{\frac {1}{x+n\pi }}\right)}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}{\pi }^{2}}}}$

sowie

${\frac {1}{{\sin }^{2}x}}={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{\left[x-n\pi \right]^{2}}}+{\frac {1}{\left[x+n\pi \right]^{2}}}\right)}$ .

Lobatschewski-Integral

Verwandt mit obigen Formeln ist das sogenannte Lobatschewski-Integral. Lobatschewski fand es im Zusammenhang mit Berechnungen zu Umfängen und Flächeninhalten in der von ihm erdachten hyperbolischen Geometrie. Es ist ein uneigentliches Integral und erfüllt die folgende Gleichung:

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\ln {\cos x}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\pi }{2}}\cdot \ln {2}$ .

Hier sind nicht zuletzt auch die folgenden Beziehungen erwähnenswert:

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {\sin x}{x}}\cdot \ln {|\sin x|}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\ln {\sin x}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\pi }{2}}\cdot \ln {2}$ .

Literatur

• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974. 
• Alexander Halameisär, Helmut Seibt: Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (= Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner. Band 34). BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1978 (MR0523737). 

Einzelnachweise

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Sapogowsches Kriterium

Das sapogowsche Kriterium ist eines der Konvergenzkriterien für unendliche Reihen und gehört als solches in das mathematische Teilgebiet der Analysis. Es geht, wie G. M. Fichtenholz in Band II seiner dreibändigen Differential- und Integralrechnung ausweist, auf den sowjetischen Mathematiker Nikolai Alexandrowitsch Sapogow (1915–1983) zurück.

Formulierung

Fichtenholz folgend kann man das Kriterium folgendermaßen formulieren:

Gegeben sei eine monoton wachsende Folge ${\mathcal {A}}=\left(a_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ von positiven reellen Zahlen.

Dazu sei die Reihe

$S=\sum _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)}$

gebildet. Dann gilt:

(I) $S$ ist eine konvergente Reihe, wenn ${\mathcal {A}}$ eine beschränkte Folge ist. In diesem Falle ist auch die verwandte Reihe $\textstyle S^{*}=\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}-1\right)}$ konvergent.

(II) Ist ${\mathcal {A}}$ jedoch unbeschränkt, so ist $S$ divergent.

Verwandte Kriterien

Mit dem sapogowschen Kriterium verknüpft ist ein weiteres, welches auf Niels Henrik Abel und Ulisse Dini zurückgeht und mit dessen Hilfe Fichtenholz den Beweis des sapogowschen Kriterium führt. Dieses Kriterium tritt ebenfalls in Konrad Knopps Monographie Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen auf und wird dort als Satz von Abel und Dini bezeichnet. Der Darstellung von Knopp folgend lässt es sich folgendermaßen angeben:

Gegeben seien eine Folge $\left(d_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ positiver reeller Zahlen sowie eine beliebige reelle Zahl $\alpha$. Die der Folge zugehörige Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{d_{n}}$ sei divergent.

Dann gilt hinsichtlich der Partialsummenfolge $\left(D_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }=\left(d_{1},d_{1}+d_{2},d_{1}+d_{2}+d_{3},\ldots \right)$:

(a) Für $\alpha \leq 1$ ist die dazu neu gebildete Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d_{n}}{{D_{n}}^{\alpha }}}$ ebenfalls divergent.

(b) Für $\alpha >1$ jedoch ist $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d_{n}}{{D_{n}}^{\alpha }}}$ konvergent.

Den Satz von Abel und Dini führt Knopp wiederum auf ein Resultat zurück, welches von Alfred Pringsheim stammt und bei Knopp als Satz von Pringsheim bezeichnet wird:

Ist $\left(d_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ eine Folge positiver reeller Zahlen mit Partialsummenfolge $\left(D_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ und ist die der Folge zugehörige Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{d_{n}}$ divergent, so ist für eine beliebige reelle Zahl $\beta >0$ die verwandte Reihe

$\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {d_{m}}{D_{m}\cdot {D_{m-1}}^{\beta }}}$

stets konvergent.

Literatur

• N.H. Abel: Note sur le mémoire de Mr. L. Olivier No. 4 du second tome de ce journal, ayant pour titre „remarques sur les séries infinies et leur convergence“. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 3, 1828, S. 79–82 (MR1577677). 
• U. Dini: Sulle serie a termini positivi. In: Annali delle Università Toscane. Band 9, 1867, S. 41–76 (serie a termini positivi (Wikisource)). 
• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974. 
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997). 
• Alfred Pringsheim: Allgemeine Theorie der Divergenz und Convergenz von Reihen mit positiven Gliedern. In: Mathematische Annalen. Band 35, 1890, S. 297–394. 

Einzelnachweise

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Wallissche Ungleichungen

In der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik, bezeichnet man als wallissche Ungleichungen (englisch Wallis’s inequalities) solche Ungleichungen, welche mit der nach dem Mathematiker John Wallis benannten Produktformel zusammenhängen. Diese Ungleichungen liefern Abschätzungen, die den Zusammenhang zwischen der Doppelfakultätenfunktion und der Kreiszahl $\pi$ beleuchten. Die wallisschen Ungleichungen wurden in einer Vielzahl von Arbeiten weiterführenden Untersuchungen unterworfen.

Darstellung der Ungleichungen

Zwei der geläufigsten wallisschen Ungleichungen sind folgende:

Für jede natürliche Zahl $n>0$ gelten die Abschätzungen

${\frac {1}{\sqrt {\pi \cdot (n+{\frac {1}{2}})}}}<{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {(2n-1)\cdot (2n-3)\cdot \mathrm {} \cdots \mathrm {} \cdot 3\cdot 1}{2n\cdot (2n-2)\cdot \mathrm {} \cdots \mathrm {} \cdot 4\cdot 2}}<{\frac {1}{\sqrt {\pi \cdot n}}}$   .

Folgerungen

Aus den obigen Ungleichungen lassen sich die folgenden Ungleichungen ableiten, die, wenn von einigen kleinen Indizes abgesehen wird, schwächer als die zuvorigen beiden sind:

Für jede natürliche Zahl $n>0$ hat man

${\sqrt {\frac {\frac {5}{4}}{4n+1}}}<{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}<{\sqrt {\frac {\frac {3}{4}}{2n+1}}}$   .

Wie Robert Alexander Rankin in seiner Monographie An Introduction to Mathematical Analysis zeigt, gewinnt man die letztgenannten Ungleichungen auch auf direktem Wege mit einem Induktionsbeweis.

Verschärfungen

Ein Mathematiker namens Donat K. Kazarinoff zeigte im Jahre 1956 eine Verschärfung der oberen Abschätzung, nämlich:

Für jede natürliche Zahl $n>0$ gilt

${\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}<{\frac {1}{\sqrt {\pi \cdot (n+{\frac {1}{4}})}}}$   .

Im Jahre 2005 bewiesen die beiden Mathematiker Chen Chao-Ping und Qi Feng eine Verschärfung der unteren Abschätzung, nämlich:

Für jede natürliche Zahl $n>0$ gilt

${\frac {1}{\sqrt {\pi \cdot (n+{\frac {4}{\pi }}-1)}}}\leq {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}$   .

Zusammenhang mit dem wallisschen Produkt

Der oben angesprochene Zusammenhang zwischen der Doppelfakultätenfunktion und der Kreiszahl ergibt sich bei Berücksichtigung des folgenden Resultats, welches man in der Differential- und Integralrechnung II von G. M. Fichtenholz findet (und ebenfalls in der genannten Monographie von Rankin):

Für jede natürliche Zahl $n>0$ ist

${\Biggl [}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}{\Biggr ]}^{2}\cdot {\frac {1}{2n+1}}<{\frac {\pi }{2}}<{\Biggl [}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}{\Biggr ]}^{2}\cdot {\frac {1}{2n}}$

und folglich

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\Biggl [}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}{\Biggr ]}^{2}\cdot {\frac {1}{2n}}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\Biggl [}{\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}{\Biggr ]}^{2}\cdot {\frac {1}{2n+1}}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\frac {2^{2}\cdot 4^{2}\cdot \mathrm {} \cdots \mathrm {} \cdot (2n-2)^{2}\cdot (2n)^{2}}{1\cdot [1\cdot 3]\cdot [3\cdot 5]\cdot \mathrm {} \cdots \mathrm {} \cdot [(2n-3)\cdot (2n-1)]\cdot [(2n-1)\cdot (2n+1)]}}\right)\\\end{aligned}}$   .

Literatur

• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974. 
• Chen Chao-Ping, Qi Feng: Best upper and lower bounds in Wallis' inequality. In: Journal of the Indonesian Mathematical Society (MIHMI). Band 11, 2005, S. 137–141 (MR2168684). 
• D. K. Kazarinoff: On Wallis' formula. In: Edinburgh Mathematical Notes. 1956, no. 40, 1956, S. 19–21 (MR0082501). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Robert A. Rankin: An Introduction to Mathematical Analysis (= International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics. Band 165). Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris 1963. 

Einzelnachweise

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Satz von Lusin-Denjoy

Der Satz von Lusin-Denjoy ist einer der klassischen Sätze des mathematischen Teilgebiets der Analysis. Er geht auf zwei im Jahre 1912 in ein und derselben Fachzeitschrift nebeneinander veröffentlichte Arbeiten zurück, die von den beiden Mathematikern Nikolai Nikolajewitsch Lusin und Arnaud Denjoy eingereicht wurden. Der Satz behandelt und klärt die wichtige Frage des Konvergenzverhaltens der reellen trigonometrischen Reihen.

Formulierung des Lusin-Denjoy'schen Satzes

Er lässt sich folgendermaßen formulieren:

Sei im Körper der reellen Zahlen $X\subseteq \mathbb {R}$ eine Lebesgue-messbare Punktmenge von positivem Lebesgue-Maß $\lambda (X)$.

Sei weiter

$s(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)\right)\;(x\in X)$

eine trigonometrische Reihe auf $X$ mit aus reellen Zahlen bestehenden Koeffizientenfolgen $\left(a_{k}\right)_{k=0,1,2,3,\ldots }$ und $\left(b_{k}\right)_{k=1,2,3,\ldots }$.

Dann gilt:

Notwendig und hinreichend für die absolute Konvergenz der Reihe $s(x)$ ist, dass die beiden zugehörigen Koeffizientenreihen

$A=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}}$

und

$B=\sum _{k=1}^{\infty }{b_{k}}$

beide absolut konvergieren.

Anmerkung zum Beweis

Beim Beweis des Satzes von Lusin-Denjoy liegt, wie der italienische Mathematiker Francesco Giacomo Tricomi in seinen Vorlesungen über Orthogonalreihen hervorhebt, die eigentliche Schwierigkeit und der wesentliche Beweisschritt in dem Nachweis, dass – unter den genannten Voraussetzungen! – aus der absoluten Konvergenz der gegebenen trigonometrischen Reihe $s(x)$ notwendigerweise schon die absolute Konvergenz der beiden zugehörigen Koeffizientenreihen $A$ und $B$ folgt. Bei diesem Beweisschritt ist gemäß Tricomi ein Hilfssatz aus der reellen Maßtheorie bedeutsam, der im Wesentlichen folgendes besagt:

Ist $X\subseteq \mathbb {R}$ eine Lebesgue-messbare reelle Punktmenge von positivem Lebesgue-Maß und ist auf dieser eine Lebesgue-messbare reelle Funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$ gegeben, so gibt es zu jeder vorgegebenen positiven reellen Zahl ${\lambda }^{*}<\lambda (X)$ eine Lebesgue-messbare reelle Punktmenge $X^{*}\subseteq X$, die einerseits ein Lebesgue-Maß $\lambda (X^{*})>{\lambda }^{*}$ hat und für die andererseits die Einschränkung $f|_{X^{*}}$ eine beschränkte Funktion ist.

Unmittelbare Folgerungen

Mit dem Satz von Lusin-Denjoy gewinnt man unmittelbar die folgenden beiden Korollare:

(I) Wenn unter den genannten Voraussetzungen die trigonometrische Reihe $s(x)$ auch nur auf irgend einem Intervall $I\subseteq X$ von positiver Länge absolut konvergent ist, so ist $s(x)$ auch schon auf ganz $X$ absolut konvergent.

(II) Wenn eine trigonometrische Reihe $s(x)$ auf einer beliebigen Punktmenge $X\subseteq \mathbb {R}$ absolut konvergiert, so konvergiert $s(x)$ auch schon absolut und gleichmäßig auf jedem darin gelegenen Intervall positiver Länge.

Verwandter Satz

Eng verbunden mit dem Lusin-Denjoy'schen Satz ist der Satz von Cantor-Lebesgue, der nach den beiden Mathematikern Georg Cantor und Henri Lebesgue benannt ist. Dieser Satz greift die verwandte Frage auf, inwieweit das Konvergenzverhalten einer trigonometrischen Reihe das Konvergenzverhalten der zugehörigen Koeffizientenfolgen beeinflusst. Er besagt nämlich:</ref>

Sind die allgemeinen Voraussetzungen des Satzes von Lusin-Denjoy erfüllt und sind hier für $x\in X$ die Partialsummen von $s(x)$ durchweg Nullfolgen, so sind die beiden Koeffizientenfolgen $\left(a_{k}\right)_{k=0,1,2,3,\ldots }$ und $\left(b_{k}\right)_{k=1,2,3,\ldots }$ ebenfalls Nullfolgen. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die $s(x)$ auf $X$ konvergieren.

Literatur

• A. Denjoy: Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques. In: Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris. Band 155, 1912, S. 580–582 ([5]). 
• N. Lusin: Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques. In: Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences. Paris. Band 155, 1912, S. 135–136. 
• Francesco Giacomo Tricomi: Vorlesungen über Orthogonalreihen. Übersetzt und zum Druck bearbeitet von Prof. Dr. Friedrich Kasch, München (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 76). 2., korrigierte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970 (MR0261250). 
• Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Volumes I and II. Reprinting of the 1968 Version of the Second Edition. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge, London, New York, Melbourne 1977, ISBN 0-521-07477-0 (MR0617944). 

Einzelnachweise

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Mathieusche Ungleichungen

Die mathieuschen Ungleichungen (englisch Mathieu’s inequalities) sind zwei klassische Ungleichungen, die dem mathematischen Teilgebiet der Analysis angehören. Sie sind nach dem französischen Mathematiker Émile Léonard Mathieu benannt.

Die mathieuschen Ungleichungen liefern eine untere und einer obere Abschätzung zu gewissen Reihen positiver Zahlen, von denen die obere von Mathieu im Jahre 1890 vermutet, aber nicht bewiesen wurde. Diese obere Abschätzung kommt in der Mathematischen Physik zum Tragen, wo mit ihrer Hilfe Reihenentwicklungen zur Lösung von Randwertaufgaben bei Elastizitätsuntersuchungen hergeleitet werden können.

Der erste vollständige Beweis der von Mathieu vermuteten oberen Abschätzung wurde im Jahre 1952 durch den deutschen Mathematiker Lothar Berg geliefert. In der Folge wurden dazu zahlreiche Arbeiten verfasst, von denen die des ungarischen Mathematikers Endre Makai (1915–1987) aus dem Jahre 1957 besondere Erwähnung verdient, da hier der Autor den ersten gänzlich elementaren Beweis der mathieuschen Vermutung vorlegte.

Formulierung

Die mathieuschen Ungleichungen besagen:

Für jede reelle Zahl $x\neq 0$ gelten die Abschätzungen

${\frac {1}{x^{2}+{\frac {1}{2}}}}<\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}<{\frac {1}{x^{2}}}$   .

Beweisskizze

Der Beweis lässt sich nach Makai folgendermaßen skizzieren:

Für jedes reelle $x\neq 0$ werden zwei unendliche Folgen $\left(a_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ und $\left(b_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }$ definiert, wobei für eine natürliche Zahl $n>0$

$a_{n}={\frac {1}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}+x^{2}-{\frac {1}{4}}}}$

und

$b_{n}={\frac {1}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}+x^{2}+{\frac {1}{4}}}}$

gesetzt seien.

Mittels algebraischer Umformungen ergeben sich

$a_{n}-a_{n+1}={\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}-n^{2}}}>{\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}$

und entsprechend

$b_{n}-b_{n+1}={\frac {2n}{(n^{2}+x^{2}+{\frac {1}{2}})^{2}-n^{2}}}={\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}+x^{2}+{\frac {1}{4}}}}<{\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}$   .

Nun bildet man die beiden zugehörigen Teleskopsummen und gewinnt so die Ungleichungskette

${\begin{aligned}{\frac {1}{x^{2}+{\frac {1}{2}}}}&=b_{1}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{(b_{n}-b_{n+1})}\\&<\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}\\&<\sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n+1})}\\&=a_{1}\\&={\frac {1}{x^{2}}}\\\end{aligned}}$

und daraus die behaupteten Abschätzungen.

Anmerkung

Noch in der Abhandlung des Jahres 1949 verwies der Mathematiker Kurt Schröder darauf, dass er die Richtigkeit der oberen mathieuschen Ungleichung nicht einsehen könne.

Statt dessen bewies er die schwächere (für seine Zielsetzung aber ausreichende) Ungleichung

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{(n^{2}+x^{2})^{2}}}<{\frac {2}{3x^{2}}}$   .

Literatur

• L. Berg: Über eine Abschätzung von Mathieu. In: Mathematische Nachrichten. Band 7, 1952, S. 257–259, doi:10.1002/mana.19520070502. 
• E. Makai: On the inequality of Mathieu. In: Publicationes Mathematicae Debrecen. Band 5, 1957, S. 204–205 (MR0091361). 
• E. Mathieu: Traité de physique mathématique. VI–VII, part 2. Paris 1890, Kap. X. 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Kurt Schröder: Das Problem der eingespannten rechteckigen elastischen Platte. In: Mathematische Annalen. Band 121, 1959, S. 247–326. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Ungleichungen von Weierstraß

Die Ungleichungen von Weierstraß (englisch Weierstrass’ inequalities) gehören zu den elementaren Ungleichungen des mathematischen Gebiets der Analysis. Sie gehen auf den deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zurück.

Die weierstraßschen Ungleichungen führten zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen, welche verbesserte und allgemeinere Ungleichungen ähnlichen Typs lieferten.

Formulierung

Die Ungleichungen lauten folgendermaßen:

Gegeben seien zu einer natürliche Zahl $N>0$ im offenen reellen Intervall $(0,1)$ die $N$ reellen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{N}\in (0,1)$.

Dann gelten:

(W1a) $\prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}>1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}$

(W1b) $\prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}<{\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}$

(W2a) $\prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}>1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}$

(W2b) $\prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}<{\frac {1}{1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}$  , sofern $\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}<1$

Anmerkung

Die obigen Ungleichungen (W1a) und (W2a) beinhalten eine Verallgemeinerung der bernoullischen Ungleichung.

Literatur

• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u.a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Weierstraß, Ungleichung von]]

Weierstrass product inequality (improved)

In real analysis, the following four inequalities are joined with the name of the German mathematician Karl Weierstrass:

Given a positive integer $N$ and real numbers $a_{1},\ldots ,a_{N}\in (0,1)$, it follows that

$\prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}>1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}$

$\prod _{k=1}^{N}{(1-a_{k})}<{\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}$

$\prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}>1+\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}$

$\prod _{k=1}^{N}{(1+a_{k})}<{\frac {1}{1-\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}}}$  , given that $\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}<1.$

Reference

• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). first Auflage. Springer Verlag, Berlin 1970, ISBN 3-540-62903-3, S. 210. 

CCCategory:Inequalities]]

Ungleichung von Schweitzer

Die Ungleichung von Schweitzer (englisch Schweitzer’s inequality) ist ein Ungleichung des mathematischen Gebiets der Analysis und in gewisser Weise komplementär zur Ungleichung von Cauchy-Schwarz. Sie geht auf eine Arbeit eines Pál Schweitzer aus dem Jahre 1914 zurück, an die in der Folge eine Anzahl von weiterführenden Untersuchungen anschloss, welche weitere Ungleichungen gleichen Typs lieferten. Eng verwandt mit dieser Ungleichung ist nicht zuletzt die von dem sowjetischen Mathematikers Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch im Jahre 1948 vorgelegte Kantorowitsch-Ungleichung. Mit der schweitzerschen Ungleichung gewinnt man unter anderem gewisse obere Abschätzungen für die arithmetischen Mittelwerte von endlich vielen positiven Zahlen.

Formulierung

Die Ungleichung besagt folgendes:

Gegeben seien ein reelles Intervall $[m,M]\subset \mathbb {R} ^{>0}$ zu zwei positiven Zahlen $m\leq M$ und weiter eine natürliche Zahl $N>0$ sowie $N$ positive Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{N}\in [m,M]$.

Dann gilt:

$\left({\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}\right)\cdot \left({\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{a_{k}}}\right)\leq {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}$  .

Sind weiter ein beliebiges reelles Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ sowie eine reelle Funktion $f\colon [a,b]\to [m,M]$ gegeben und sind $f$ und ebenso die zugehörige reelle Funktion $x\mapsto {\frac {1}{f(x)}}$ integrierbar, so gilt die Integralungleichung

$\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{f(x)}\,dx\right)\cdot \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}{\frac {1}{f(x)}}\,dx\right)\leq {\frac {(m+M)^{2}}{4mM}}$  .

Verallgemeinerung

Im Band I ihres zweibändigen Lehrbuchs Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis präsentieren Georg Pólya und Gábor Szegö eine weitgehende Verallgemeinerung der schweitzerschen Ungleichung:

Gegeben seien zwei reelle Intervalle $[m_{1},M_{1}],[m_{2},M_{2}]\subset \mathbb {R} ^{>0}$ zu vier positiven Zahlen $m_{1}\leq M_{1},m_{2}\leq M_{2}$ und weiter eine natürliche Zahl $N>0$ sowie $2N$ positive Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{N}\in [m_{1},M_{1}]$ und $b_{1},\ldots ,b_{N}\in [m_{2},M_{2}]$.

Dann gilt:

$1\leq {\frac {\left(\sum _{k=1}^{N}{{a_{k}}^{2}}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{N}{{b_{k}}^{2}}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{N}{a_{k}b_{k}}\right)^{2}}}\leq \left({\frac {{\sqrt {\frac {M_{1}M_{2}}{m_{1}m_{2}}}}+{\sqrt {\frac {m_{1}m_{2}}{M_{1}M_{2}}}}}{2}}\right)^{2}$  .

Sind weiter ein beliebiges reelles Intervall $[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ sowie zwei integrierbare reelle Funktionen $f_{1}\colon [a,b]\to [m_{1},M_{1}]$ und $f_{2}\colon [a,b]\to [m_{2},M_{2}]$ gegeben, so ist

$1\leq {\frac {\left(\int _{a}^{b}{[f_{1}(x)]^{2}\,dx}\right)\cdot \left(\int _{a}^{b}{[f_{2}(x)]^{2}\,dx}\right)}{\left(\int _{a}^{b}{f_{1}(x)f_{2}(x)\,dx}\right)^{2}}}\leq \left({\frac {{\sqrt {\frac {M_{1}M_{2}}{m_{1}m_{2}}}}+{\sqrt {\frac {m_{1}m_{2}}{M_{1}M_{2}}}}}{2}}\right)^{2}$  .

Anmerkung

Manche Autoren bezeichnen die Ungleichung von Schweitzer, die oben genannte Ungleichung von Pólya-Szegö und auch weitere Ungleichungen ähnlichen Typs als zur Cauchy-Schwarz-Ungleichung komplementäre Ungleichungen (englisch complementary inequalities).

Literatur

• J. B. Diaz, F. T. Metcalf: Inequalities complementary to Cauchy's inequality for sums of real numbers. In: Oved Shisha (Hrsg.): Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19–27, 1965, Academic Press, New York, London. 1967, S. 73–77 (MR0222228). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Georg Pólya, Gábor Szegö: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis. Band I: Reihen, Integralrechnung, Funktionentheorie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 73). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin 1970 (MR0271277). 
• P. Schweitzer: Egy egyenlötlenség az aritmetikai középértékröl [Eine Ungleichung im Zusammenhang mit dem arithmetischen Mittel]. In: Math. és phys. lapok. Band 23, 1914, S. 257–261. 
• Oved Shisha (Hrsg.): Inequalities: Proceedings of a Symposium Held at Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, August 19–27, 1965. Academic Press, New York, London 1967. 

Weblinks

• Ungleichung von Schweitzer und Beweise auf cut-the-knot.org

Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Schweitzer, Ungleichung von]]

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Ungleichung von Popoviciu

Die Ungleichung von Popoviciu (englisch Popoviciu’s inequality) ist ein Lehrsatz der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die Ungleichung, welche einer Arbeit des rumänischen Mathematikers Tiberiu Popoviciu (1906–1975) aus dem Jahre 1965 entstammt, stellt eine charakteristische Eigenschaft stetiger konvexer Funktionen auf reellen Intervallen dar. Sie lässt sich als Folgerung aus dem Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya gewinnen.

Formulierung

Der Lehrsatz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein beliebiges reelles Intervall $I\subseteq \mathbb {R}$ und eine stetige reelle Funktion $f\colon I\to \mathbb {R}$.

Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig:

(B_1) $f$ ist eine konvexe Funktion.

(B_2) Je drei reelle Zahlen $x,y,z\in I$ erfüllen die Ungleichung

${\frac {f(x)+f(y)+f(z)}{3}}+f\left({\frac {x+y+z}{3}}\right)\geq {\frac {2}{3}}\cdot {\bigl [}f\left({\frac {x+y}{2}}\right)+f\left({\frac {y+z}{2}}\right)+f\left({\frac {z+x}{2}}\right){\bigr ]}$  .

Dabei ist $f$ streng konvex dann und nur dann, wenn für je drei $x,y,z\in I$, vom Fall $x=y=z$ abgesehen, die obige Ungleichung mit dem Vergleichszeichen $>$ anstelle des Vergleichszeichens $\geq$ gilt.

Zwei Ungleichungen als Anwendung

Mit Hilfe von Popovicius Ungleichung lassen sich unter anderem die folgenden beiden herleiten:

Für je drei reelle Zahlen $a,b,c>0$, welche nicht alle gleich sind, gilt stets:

(1) $27(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}>64abc(a+b+c)^{3}$  .

(2) $a^{6}+b^{6}+c^{6}+3a^{2}b^{2}c^{2}>2\left(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3}\right)$  .

Allgemeinere Ungleichungen, Integralversion

Tiberiu Popoviciu gab in der Arbeit von 1965 seine Ungleichung in einer noch allgemeineren Fassung an, welche in der Folge – insbesondere durch Petar M. Vasić und Ljubomir R. Stanković – noch erweitert wurde. Andere Autoren fanden weitere Verallgemeinerungen und Abwandlungen. Nicht zuletzt wurde die Ungleichung von Popoviciu auch in eine Integralversion übertragen.

Weitere Ungleichung von Popoviciu

Mit dem Namen von Tiberiu Popoviciu sind einige weitere Ungleichungen verbunden und insbesondere die folgende, welche eine Verallgemeinerung einer bekannten Ungleichung von János Aczél darstellt:

Gegeben seien reelle Zahlen $p,q>1{\text{ mit }}{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ sowie (zu einer gegebenen natürlichen Zahl $n\geq 2$) zwei $n$-Tupel $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ und $(b_{1},\ldots ,b_{n})$ positiver reeller Zahlen.

Weiter seien ${a_{1}}^{p}-{a_{2}}^{p}-\ldots -{a_{n}}^{p}>0$ und ${b_{1}}^{q}-{b_{2}}^{q}-\ldots -{b_{n}}^{q}>0$  .

Dann gilt:

$\left({a_{1}}^{p}-{a_{2}}^{p}-\ldots -{a_{n}}^{p}\right)^{\tfrac {1}{p}}\left({b_{1}}^{q}-{b_{2}}^{q}-\ldots -{b_{n}}^{q}\right)^{\tfrac {1}{q}}\leq a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-\ldots -a_{n}b_{n}$  .

Literatur

• Marcela V. Mihai, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis: New extensions of Popoviciu's inequality. In: Mediterranean Journal of Mathematics. Band 13, 2016, S. 3121–3133 (MR3554298). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u.a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Constantin Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach (= CMS Books in Mathematics. Band 23). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-24300-9 (MR2178902). 
• Constantin P. Niculescu: The integral version of Popoviciu's inequality. In: Journal of Mathematical Inequalities. Band 3, 2009, S. 323–328 (MR2597657). 
• T. Popoviciu: Sur quelques inégalités. In: Gaz. Mat. Fiz. Ser. A. Band 11 (64), 1959, S. 451–461 (MR0125925). 
• Tiberiu Popoviciu: Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes. In: Analele Ştiințifice Univ. “Al. I. Cuza”, Iasi, Secția Mat. [Neue Serie]. Band 11, 1965, S. 155–164 (MR0206178). 
• Shanhe Wu: Some improvements of Aczél’s inequality and Popoviciu’s inequality. In: Computers & Mathematics with Applications. Band 56, 2008, S. 1196–1205, doi:10.1016/j.camwa.2008.02.021 (MR2437287). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Ungleichung von Mulholland

Die Ungleichung von Mulholland (englisch Mulholland’s inequality) ist ein Resultat der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die Ungleichung ist verwandt mit der minkowskischen Ungleichung, welche sich im Wesentlichen aus der mulhollandschen Ungleichung als Korollar ergibt. Sie wurde von H.P. Mulholland im Jahre 1950 publiziert und gab Anlass zu einer Reihe weiterführender Untersuchungen.

Formulierung

Das Resultat lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien das reelle Intervall $I=[0,\infty )$ und eine reelle Funktion $f\colon I\to I$ mit folgenden Eigenschaften:

(1) $f(0)=0$  .

(2) $f$ ist ein stetige Bijektion und dabei eine streng monoton steigende Funktion.

(3) Die Einschränkung $f|_{(0,\infty )}$ auf das Innere des Intervalls ist eine Jensen-konvexe Funktion.

(4) Die durch die Zuordnung $t\mapsto F(t)=\ln \left(f\left(e^{t}\right)\right)$ gegebene reelle Funktion $F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ist ebenfalls Jensen-konvex.

Dann gilt für jede natürliche Zahl $N>0$ und je zwei $N$-Tupel $(a_{1},\ldots ,a_{N}),(b_{1},\ldots ,b_{N})\in I^{N}$ stets die Ungleichung

$f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(a_{i}+b_{i})}\right)\leq f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(a_{i})}\right)+f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(b_{i})}\right)$  .

Korollar

Nimmt man oben (zu einer gegebenen reellen Zahl $p\geq 1$) als Funktion $f$ die Potenzfunktion $t\mapsto f(t)=t^{p}\;(t\geq 0)$ , so erhält man eine Version der minkowskischen Ungleichung:

Für jede natürliche Zahl $N>0$ und je zwei $N$-Tupel $(a_{1},\ldots ,a_{N})$ und $(b_{1},\ldots ,b_{N})$ nichtnegativer reeller Zahlen gilt stets

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{(a_{i}+b_{i})^{p}}}}\leq {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{{a_{i}}^{p}}}}+{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{{b_{i}}^{p}}}}$  .

Literatur

• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u.a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• H. P. Mulholland: On generalizations of Minkowski's inequality in the form of a triangle inequality. In: Proceedings of the London Mathematical Society (2). Band 51, 1950, S. 294–307 (MR0033865). 
• Zhen Xiao Huang, Bicheng Yang: On a half-discrete Hilbert-type inequality similar to Mulholland's inequality. In: Journal of Inequalities and Applications. 2013, S. 2013:290 (MR3073994). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Jordansche Ungleichung (Überschneidung mit Jordan-Ungleichung!)

Die Jordansche Ungleichung (englisch Jordan’s inequality) ist eine Ungleichung der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Sie geht auf den französischen Mathematiker Camille Jordan zurück und liefert eine Abschätzung zur reellen Sinusfunktion.

Formulierung

Die Ungleichung lautet:

Für eine reelle Zahl $t$ mit $0<t\leq {\frac {\pi }{2}}$ ist stets

${\frac {\sin t}{t}}\geq {\frac {2}{\pi }}$  ,

wobei nur im Falle $t={\frac {\pi }{2}}$ Gleichheit gilt.

Folgerung

Für eine reelle Zahl $t$ mit $0<|t|\leq {\frac {\pi }{2}}$ ist stets

${\frac {2}{\pi }}\leq {\frac {\sin t}{t}}<1$   .

Verwandte Ungleichung

Ausgehend von einer Aufgabenstellung des US-amerikanischen Mathematikers Raymond Redheffer bewiesen J. P. Williams und andere:

Für eine reelle Zahl $t\;(t\neq 0)$ ist stets

${\frac {\sin t}{t}}\geq {\frac {{\pi }^{2}-t^{2}}{{\pi }^{2}+t^{2}}}$   .

Quellen und Hintergrundliteratur

• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u.a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Raymond Redheffer, J. P. Williams: Solutions of Advanced Problems: 5642. In: American Mathematical Monthly. Band 76, 1969, S. 1153–1154, doi:10.2307/2317211 (MR1535709). 

Einzelnachweise

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Ungleichung von Hilbert

Die Ungleichung von Hilbert (englisch Hilbert’s inequality) ist eine klassische Ungleichung der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Sie geht auf eine Arbeit des deutschen Mathematikers David Hilbert aus dem Jahre 1888 zurück und gibt eine obere Abschätzung zu gewissen Doppelsummen positiver reeller Zahlen. Hilberts Ungleichung wurde von zahlreichen Autoren verschärft, verallgemeinert und abgewandelt. Nicht zuletzt haben Hermann Weyl – etwa in seiner Inauguraldissertation Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems von 1908 – und inbesondere Godfrey Harold Hardy sie intensiver Untersuchung unterzogen.

Formulierung der Ungleichung

Hilberts Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben sei für eine natürliche Zahl $N>0$ ein $(N+1)$-Tupel $(a_{0},\ldots ,a_{N})$ positiver reeller Zahlen.

Dann gilt:

(H) $\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \cdot \sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}$  .

Verschärfungen

Nach H. Frazer hat die letzte Ungleichung eine Verschärfung, in der die Kreiszahl durch einen besseren Abschätzungsfaktor ersetzt wird:

(HF) $\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq (N+1)\cdot \sin \left({\frac {\pi }{N+1}}\right)\cdot \sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}$  .

D. V. Widder zeigte die folgende stärkere Ungleichung:

(HW) $\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \cdot \sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{{\frac {(i+j)!}{i!j!}}{\frac {a_{i}a_{j}}{2^{i+j+1}}}}}$  .

Verwandte Ungleichung

Fu Cheng Hsiang bewies die folgende verwandte Ungleichung:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $N>0$ und dazu zwei $(N+1)$-Tupel $(a_{0},\ldots ,a_{N})$ und $(b_{0},\ldots ,b_{N})$ von nichtnegativen reellen Zahlen.

Dann gilt:

(HHs) $\sum _{i=0}^{N}{\sum _{j=0}^{N}{\frac {a_{i}b_{j}}{2i+2j+1}}}\leq (N+1)\cdot \sin {\frac {\pi }{2(N+1)}}\cdot \left(\sum _{i=0}^{N}{{a_{i}}^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(\sum _{j=0}^{N}{{b_{j}}^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}$  .

Analoga und Erweiterungen

In Analogie und Erweiterung der obigen Ungleichungen gewinnt man entsprechende für Doppelreihen und -integrale:

Für zwei Folgen $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ und $\left(b_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }$ von nichtnegativen reellen Zahlen, die nicht beide lediglich $0$ als Folgenglied haben, und zwei positive reelle Zahlen $p,q$ mit ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ gilt stets:

(HH_1) $\sum _{i=1}^{\infty }{\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{i}b_{j}}{i+j}}}<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{\infty }{{a_{i}}^{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(\sum _{j=1}^{\infty }{{b_{j}}^{q}}\right)^{\frac {1}{q}}$  .

Für zwei reelle Funktionen $f,g\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$, die nicht beide die Nullfunktion sind, und zwei positive reelle Zahlen $p,q$ mit ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ gilt stets:

(HH_2) $\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)g(y)}{x+y}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\cdot \left(\int _{0}^{\infty }{f^{p}(x)}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(\int _{0}^{\infty }{g^{q}(x)}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{q}}$  .

Zusatz: Es ist sowohl bei (HH_1) als auch bei (HH_2) der Abschätzungsfaktor ${\tfrac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}$ der bestmögliche.

Anmerkungen

• Für $p=q=2$ spricht man in Bezug auf (HH_1) auch vom hilbertschen Doppelreihensatz (englisch Hilbert’s double series theorem).
• Hinsichtlich des allgemeinen Falls ist es heute üblich, die obigen Ungleichungen (HH_1) bzw. (HH_2) als hardy-hilbertsche Ungleichung (englisch Hardy-Hilbert’s inequality) bzw. als hardy-hilbertsche Integralungleichung (englisch Hardy-Hilbert’s integral inequality) zu bezeichnen.

Zwei weitere verwandte Ungleichungen

Im Rahmen der Bemühungen, einen möglichst einfachen Beweis des hilbertschen Doppelreihensatzes zu liefern, wurden – beginnend in den Jahren 1920 bis 1925 mit Arbeiten von G. H. Hardy und Edmund Landau – zwei verwandte Ungleichungen für Reihen und Integrale gefunden und abgeleitet, welche beide unter dem Stichwort hardysche Ungleichung (englisch Hardy’s inequality) bekannt wurden. Es handelt sich um die folgenden:

Für eine Folge $\left(a_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ nichtnegativer reeller Zahlen, die nicht alle gleich $0$ sind, und eine reelle Zahl $p>1$ gilt stets:

(H_1) $\sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+\ldots +a_{i}}{i}}\right)^{p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\cdot \sum _{i=1}^{\infty }{{a_{i}}^{p}}$  .

Für eine reelle Funktion $f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$, die nicht die Nullfunktion ist, und eine reelle Zahl $p>1$ gilt stets:

(H_2) $\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}{x}}\right)^{p}\,\mathrm {d} x<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\cdot \int _{0}^{\infty }f^{p}(x)\,\mathrm {d} x$  .

Zusatz: Sowohl bei (H_1) als auch bei (H_2) ist der Abschätzungsfaktor $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$ der bestmögliche.

Literatur

• H. Frazer: Note on Hilbert’s inequality. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 21, 1946, S. 7–9 (MR0018226). 
• G. H. Hardy: Note on a theorem of Hilbert. In: Mathematische Zeitschrift. Band 6, 1920 (MR1544414). 
• G. H. Hardy: Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms. In: Proceedings of the London Mathematical Society (2). Band 23, 1925. 
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. Reprint (of the 2. edition 1952). Cambridge University Press, Cambridge 1973. 
• David Hilbert: Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten. In: Mathematische Annalen. Band 32, 1888, S. 342–350 (MR1510517). 
• Fu Cheng Hsiang: An inequality for finite sequences. In: Mathematica Scandinavica. Band 5, 1957, S. 12–14 ([6]). 
• E. Landau: A note on a theorem concerning series of positive terms. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 1, 1926, S. 38–39. 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u.a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Waadallah Tawfeeq Sulaiman: Hardy-Hilbert's integral inequalities via homogeneous functions and some other generalizations. In: Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica. Band 11, 2007, S. 23–32 (MR2391968). 
• D. V. Widder: An Inequality Related to One of Hilbert’s. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 4, 1929, S. 194–198 (MR1575045). 
• Bicheng Yang, Qiang Chen: A new extension of Hardy-Hilbert's inequality in the whole plane. In: Journal of Function Spaces. 2016 (MR3548430 – Art. ID 9197476, 8 Seiten). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Integralungleichung von Hadamard

Die Integralungleichung von Hadamard (englisch Hadamard's integral inequality) oder auch Ungleichung von Hadamard (englisch Hadamard inequality) ist eine der klassischen Ungleichungen der Mathematik und als solche der Analysis zugehörig. Sie geht auf eine Publikation des französischen Mathematikers Jacques Salomon Hadamard aus dem Jahre 1893 zurück und gibt eine obere und untere Abschätzung für Integrale gewisser konvexer Funktionen. Die hadamardsche Integralungleichung gab Anlass zu zahlreichen Untersuchungen und Verallgemeinerungen.

Formulierung

Die Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben sei im Körper der reellen Zahlen ein kompaktes Intervall $J=[a,b]\;(a,b\in \mathbb {R} \;,a<b)$ und hierauf eine stetige Funktion $f\colon J\to \mathbb {R}$, deren Einschränkung $f|_{J^{\circ }}$ auf das Innere des Intervalls zudem Jensen-konvex sein soll.

Dann gilt:

$f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}$  .

Anmerkungen

• Manche Autoren bezeichnen die hadamardsche Integralungleichung - unter zusätzlicher Bezugnahme auf den dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen - als Ungleichung von Jensen-Hadamard (englisch Jensen-Hadamard inequality). Hierzu ist zu bemerken, dass die vordere Abschätzung der Integralungleichung sich als einfache Anwendung der stetigen Variante der jensenschen Ungleichung ergibt.
• Man nennt die Integralungleichung nicht selten auch Ungleichung von Hermite-Hadamard (englisch Hermite-Hadamard inequality), da sie im Wesentlichen – und zwar schon im Jahre 1881! – von dem französischen Mathematiker Charles Hermite gefunden (und sogar angekündigt) war. Dies blieb jedoch zunächst unbeachtet, ebenso wie die von Hermite dazu im Jahr 1883 in der Mathesis vorgelegte Publikation.
• Die Integralungleichung kann als der Startpunkt der Choquet-Theorie angesehen werden. Im Rahmen dieser Theorie lässt sich zeigen, dass unter den im Satz von Choquet beschriebenen Gegebenheiten eine analoge Integralungleichung gilt. Insbesondere ist dieses Analogon für jedes $n$-dimensional Simplex $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ und jedes auf $\Delta$ definierte borelsche Wahrscheinlichkeitsmaß gültig.

Anwendung

Indem man die Integralungleichung auf die reelle Funktion $x\mapsto f(x)={\frac {1}{1+x}}\;(x\geq 0)$ anwendet, lässt sich, wie schon Hermite in seiner Arbeit von 1883 zeigte, die folgende Ungleichung ableiten:

$x-{\frac {x^{2}}{2+x}}<\ln(1+x)<x-{\frac {x^{2}}{2+2x}}$  .

Daraus ergibt sich für alle natürlichen Zahlen $n>0$

${\frac {1}{n+{\tfrac {1}{2}}}}<\ln(n+1)-\ln n<{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)$  .

Die letztere Ungleichung führt hin zu einer Herleitung der stirlingschen Formel.

Quellen und Hintergrundliteratur

• S. S. Dragomir: Further properties of some mappings associated with Hermite-Hadamard inequalities. In: Tamkang Journal of Mathematics. Band 34, 2003, S. 45–57 (MR1960410). 
• Ivan B. Lacković, Miomir S. Stanković: On Hadamard's integral inequality for convex functions. In: Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz. No. 412–460, 1973, S. 89–92 (MR0349934). 
• J. Hadamard: Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann. In: J. Math. Pures Appl. (4^e série). Band 9, 1893, S. 171–215. 
• Ch. Hermite: Sur deux limites d’une intégrale définie. In: Mathesis. Band 3, 1883, S. 82. 
• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621). 
• Constantin Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach (= CMS Books in Mathematics. Band 23). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-24300-9 (MR2178902). 
• Constantin P. Niculescu: The Hermite-Hadamard inequality for convex functions of a vector variable. In: Mathematical Inequalities & Applications. Band 5, 2002, S. 619–623 (MR1931222). 
• Zoltán Retkes: An extension of the Hermite-Hadamard inequality. In: Acta Sci. Math. (Szeged). Band 74, 2008, S. 95–106 (MR2431093). 

Einzelnachweise

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Ungleichung von Petrović

Die Ungleichung von Petrović (englisch Petrović inequality) ist ein Resultat der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik.

Die Ungleichung wurde von dem serbischen Mathematiker Mihailo Petrović im Jahre 1932 publiziert und ist verwandt mit der Ungleichung von Jensen, aus der sie als Korollar gewonnen werden kann. Sie gibt eine einfache Abschätzung gewisser konvexer Funktionen im Körper der reellen Zahlen. Die Publikation von Petrović gab Anlass zu einer Reihe weiterer Untersuchungen.

Formulierung

Das Resultat lässt sich angeben wie folgt:

Sei $I=[0,a)$ ein reelles Intervall mit $0\leq a\leq \infty$ und sei $f\colon I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, deren Einschränkung $f|_{I^{\circ }}$ auf das Innere des Intervalls Jensen-konvex ist.

Dann gilt für jede natürliche Zahl $n\geq 1$ und je $n$ reelle Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ mit $x_{1}+\dots +x_{n}\in I$ stets die Ungleichung

$f\left(x_{1}+\dots +x_{n}\right)\geq f(x_{1})+\dots +f(x_{n})-(n-1)f(0)$  .

Beweisskizze

In Marek Kuczmas Monographie werden zwei Beweise gegeben. Der erstere der beiden benutzt Vollständige Induktion. Der wesentliche Schritt dieses Beweises ist der Nachweis, dass die obige Ungleichung für den Fall $n=2$ gilt, und erfolgt unter Anwendung der Jensen-Ungleichung.

Unter der den genannten Bedingungen kann man dabei ohne Beschränkung der Allgemeinheit $x_{1}+x_{2}>0$ annehmen und man erhält

${\begin{aligned}f(x_{1})&=f\left({\frac {x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\cdot \left(x_{1}+x_{2}\right)+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\cdot 0\right)\\\\&{\leq }{\frac {x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\cdot f\left(x_{1}+x_{2}\right)+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\cdot f(0)\\\end{aligned}}$

und in gleicher Weise auch

${\begin{aligned}f(x_{2})&{\leq }{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\cdot f\left(x_{1}+x_{2}\right)+{\frac {x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\cdot f(0)\\\end{aligned}}$

und schließlich mittels Addition der linken und der rechten Seiten dieser beiden Ungleichungen

$f(x_{1})+f(x_{2})\leq f\left(x_{1}+x_{2}\right)+f(0)$  .

Letztere Ungleichung ist jedoch gleichwertig mit der Petrović-Ungleichung für $n=2$  .

Quellen und Hintergrundliteratur

• M. Petrović: Sur une équation fonctionnelle. In: Publ. Math. Univ. Belgrade. Band 1, 1932, S. 149–156. 
• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621). 
• J. E. Pečarić: On the Petrović inequality for convex functions. In: Glasnik Matematički. Serija III. Band 18(38), 1983, S. 77–85 (MR0710389). 

• Josip Pečarić, Jurica Perić: Improvements of the Giaccardi and the Petrović inequality and related Stolarsky type means. In: Analele Universităţii din Craiova. Seria Matematică-Informatică. Band 39, 2012, S. 65–75 (MR2979954). 
• Petar M. Vasić: Sur une inégalité de M. Petrović. In: Matematichki Vesnik. Band 5(20), 1968, S. 473–478 (MR0243019). 

Einzelnachweise

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Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya

Das Majorisierungsprinzip von Hardy-Littlewood-Pólya (englisch Hardy-Littlewood-Pólya majorization principle) ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Analysis, der aus einer Arbeit der drei Mathematiker Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood und George Pólya aus dem Jahre 1929 hervorgeht. Darin werden Bedingungen behandelt, unter denen konvexe reelle Funktionen eine gewisse Ungleichung erfüllen. Diese Ungleichung wurde im Jahre 1932 ebenfalls von dem jugoslawischen Mathematiker Jovan Karamata gefunden, weswegen sie auch Ungleichung von Karamata (englisch inequality of Karamata) genannt wird. Zahlreiche Mathematiker - wie László Fuchs und Alexander Markowitsch Ostrowski - haben Verallgemeinerungen angegeben, während Ky Fan und George G. Lorentz eine „stetige Version“ davon fanden. Das Majorisierungsprinzip und die verwandten Resultate spielen eine wichtige Rolle in der Matrizentheorie, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Mathematischen Statistik.

Formulierung

Das Majorisierungsprinzip lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein reelles Intervall $I$ und darin ( für eine natürliche Zahl $n\geq 2$ ) reelle Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\in I$ , so dass die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:

${\begin{aligned}x_{1}&{\geq }\ldots \geq x_{n-1}\geq x_{n}\\y_{1}&{\geq }\ldots \geq y_{n-1}\geq y_{n}\\y_{1}&{\geq }x_{1}\\y_{1}+y_{2}&{\geq }x_{1}+x_{2}\\&{.}\\&{.}\\&{.}\\y_{1}+\dots +y_{n-1}&{\geq }x_{1}+\dots +x_{n-1}\\y_{1}+\dots +y_{n}&=x_{1}+\dots +x_{n}\\\end{aligned}}$

Sei weiterhin $f\colon I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, deren Einschränkung $f|_{I^{\circ }}$ auf das Innere des Intervalls Jensen-konvex ist.

Dann gilt:

${\begin{aligned}f(y_{1})+\dots +f(y_{n})&{\geq }f(x_{1})+\dots +f(x_{n})\\\end{aligned}}$

Folgerung

Mit dem Majorisierungsprinzip lässt sich die folgende Ungleichung gewinnen, die aus einer Arbeit von V. K. Lim aus dem Jahre 1971 hervorgeht:

Ist oben $I=[0,\infty )$ und erfüllt die reelle Funktion $f\colon I\to \mathbb {R}$ die genannten Bedingungen, so gilt für je drei reelle Zahlen $a\geq 0,b\geq 0,c\geq a+b$ stets die Ungleichung

$f(a)+f\left(b+c\right)\geq f\left(a+b\right)+f(c)$  .

Im Falle der Funktion $x\mapsto f(x)=x^{r}\;(x\geq 0)$ zu dem reellen Exponenten $r\geq 1$ spricht man hier auch von der Ungleichung von Lim (englisch Lim's inequality ).

Quellen und Hintergrundliteratur

• Edwin F. Beckenbach, Richard Bellman: Inequalities (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 30). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo 1983, ISBN 3-540-03283-5. 

• Ky Fan, G. G. Lorentz: An integral inequality. In: American Mathematical Monthly. Band 61, 1954, S. 626–631, doi:10.2307/2307678 (MR0064829). 
• Ladislas Fuchs: A new proof of an inequality of Hardy-Littlewood-Pólya. In: Mat. Tidsskr. B. Band 1947, 1947, S. 53–54 (MR0024480). 
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Some simple inequalities satisfied by convex functions. In: The Messenger of Mathematics. Band 58, 1929, S. 145–152. 
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. Reprint (of the 2. edition 1952). Cambridge University Press, Cambridge 1964. 
• J. Karamata: Sur une inégalité relative aux fonctions convexes. In: Publ. Math. Univ. Belgrade. Band 1, 1932, S. 145–148. 
• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621). 
• V. K. Lim: A note on an inequality. In: Nanta Mathematica. Band 5, 1971, S. 38–40 (MR0297949). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u.a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• Alexandre Ostrowski: J. Math. Pures Appl. (9). Band 31, 1952, S. 253–292 (MR0052475). 

Einzelnachweise

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Satz von Kakutani

In der Mathematik sind zahlreiche Resultate mit dem Namen des japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani verbunden. Dies sind unter Anderem:

• der Satz von Kakutani-Yamabe-Yujobô (Algebraische Topologie)
• die Fixpunktsatz von Kakutani (Analysis / Korrespondenzen)
• der Fixpunktsatz von Kakutani (Funktionalanalysis)
• der Darstellungssatz von Riesz-Markow-Kakutani (Maßtheorie / Funktionalanalysis)
• der Satz von Kakutani zu gleichmäßig konvexen Banachräumen (Funktionalanalysis)
• das Lemma von Kakutani (Konvexgeometrie / Funktionalanalysis)
• das Lemma von Kakutani-Rochlin (Ergodentheorie)

BBBegriffsklärung}}

Fixpunktsatz von Kakutani

Der Fixpunktsatz von Kakutani ist mathematischer Lehrsatz, der dem Gebiet der Funktionalanalysis zuzurechnen ist und auf eine Arbeit des japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani aus dem Jahr 1938 zurückgeht. Der Satz beruht auf Eigenschaften konvexer Mengen in hausdorffschen lokalkonvexen Vektorräumen und gibt eine hinreichende Bedingung für das Vorliegen gemeinsamer Fixpunkte für gewisse Gruppen von Homöomorphismen solcher Mengen. Er gab Anlass zu zahlreichen Folgeuntersuchungen und ist eng verknüpft mit anderen bedeutenden Sätzen der Funktionalanalysis wie etwa mit dem Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski. Der Fixpunktsatz von Kakutani impliziert dabei nicht zuletzt die Existenz Haarscher Maße auf kompakten Gruppen. Zu seinem Beweis wird der hausdorffsche Maximalkettensatz oder das Lemma von Zorn (und damit das Auswahlaxiom) benötigt.

Formulierung des Satzes

Der Fixpunktsatz von Kakutani lässt sich darstellen wie folgt:

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum $X$ und darin eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge $C\subset X$ zusammen mit einer Gruppe ${\mathcal {G}}$ von linearen Automorphismen $g\colon X\to X$, die $C$ invariant lassen, in der also alle Automorphismen $g\in {\mathcal {G}}$ die Teilmengenrelation $g(C)\subseteq C$ erfüllen.

Die Gruppe ${\mathcal {G}}$ sei dabei gleichmäßig gleichgradig stetig.

Dann gilt:

${\mathcal {G}}$ hat auf $C$ einen gemeinsamen Fixpunkt, d h.: es gibt ein $c_{0}\in C$ mit $g(c_{0})=c_{0}$ für alle $g\in {\mathcal {G}}$ .

Verwandtes Resultat: Der Satz von Markow

Der russische Mathematiker Markow hat schon im Jahre 1936 und vor Publikation des kakutanischen Fixpunktsatzes einen Satz vorgelegt, der diesem in Fragestellung und Aussage sehr ähnelt, wobei der markowsche Satz im Wesentlichen darin abweicht, dass er die Voraussetzung der gleichmäßig-gleichgradigen Stetigkeit durch eine Vertauschbarkeitsbedingung ersetzt:

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum $X$ und darin eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge $C\subset X$.

Weiter gegeben sei eine Familie ${\mathcal {F}}=(f_{i})_{i\in I}$ von stetigen affinen Abbildungen $f_{i}\colon C\to C$, die hinsichtlich der Hintereinanderausführung paarweise vertauschbar sein sollen.

Dann gilt:

${\mathcal {F}}$ hat auf $C$ einen gemeinsamen Fixpunkt, d h.: es gibt ein $c_{0}\in C$ mit $f_{i}(c_{0})=c_{0}$ für alle $i\in I$ .

Zusatz

Die Aussage des Satzes von Markow gilt insbesondere für den Fall, dass - bei sonst gleichen Voraussetzungen - ${\mathcal {F}}$ als abelsche Gruppe von stetigen linearen Automorphismen $f\colon X\to X$ mit $f(C)\subseteq C$ vorausgesetzt wird. Diesen abgewandelten Satz nennt man auch den Fixpunktsatz von Kakutani-Markow (englisch Kakutani-Markov fixed point theorem)

Erläuterungen

• Die gleichmäßig-gleichgradige Stetigkeit (englisch Equicontinuity) der obigen Abbildungsgruppe ${\mathcal {G}}$ ist auf die durch das $0$-Umgebungssystem von $X$ gegebene uniforme Struktur zu beziehen. In diesem Zusammenhang nennt man - in voller Allgemeinheit - eine Familie ${\mathcal {F}}=(f_{i})_{i\in I}$ von linearen Abbildungen $f_{i}\colon X\to Y$ zwischen zwei topologischen Vektorräumen $X$ und $Y$ gleichmäßig gleichgradig stetig genau dann, wenn folgendes gilt:

Zu jeder $0$-Umgebung $U_{Y}(0)\subseteq Y$ gibt es eine $0$-Umgebung $U_{X}(0)\subseteq X$ , welche der Bedingung $\bigcup _{i\in I}{f_{i}\left(U_{X}(0)\right)}\subseteq U_{Y}(0)$ genügt.

• Eine Abbildung $f\colon C\to C$ der konvexen Menge $C\subseteq X$ heißt affin, wenn für je zwei Punkte $x,y\in C$ und jede reelle Zahl $\lambda \in [0,1]$ stets die Gleichung $f\left(\lambda x+(1-\lambda )y\right)=\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$ erfüllt ist.

Literatur

• Shizuo Kakutani: On the uniqueness of Haar's measure. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 14, 1938, S. 27–31 (MR1568492). 
• Shizuo Kakutani: Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 14, 1938, S. 242–245 (MR1568507). 
• Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. An Introduction. With a Preface by Michiel Hazewinkel (= Mathematics and its Application. Band 7). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Bosto, London 1981, ISBN 90-277-1224-7 (MR0620639). 
• A. A. Markov: Quelques théorèmes sur les ensembles abeliens. In: Doklady Akad. Nauk. SSSR. Band 10, 1936, S. 311–314. 
• Barbara Przebieracz: A proof of the Mazur-Orlicz theorem via the Markov-Kakutani common fixed point theorem, and vice versa. In: Fixed Point Theory and Applications. 2015, doi:10.1186/s13663-014-0257-2 (MR3304965). 
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815). 
• Dirk Werner: A proof of the Markov-Kakutani fixed point theorem via the Hahn-Banach theorem. In: Extracta Mathematicae. Band 8, 1993, S. 37–38 (MR1270326). 
• Robert J. Zimmer: Essential Results of Functional Analysis (= Chicago Lectures in Mathematics). The University of Chicago Press, Chicago, London 1990, ISBN 0-226-98337-4 (MR1045444). 

Einzelnachweise und Hinweise

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Satz von Bernstein-Doetsch

Der Satz von Bernstein-Doetsch ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Analysis, der auf eine Arbeit der beiden Mathematiker Felix Bernstein und Gustav Doetsch aus dem Jahre 1915 zurückgeht. Der Satz gibt eine hinreichende Bedingung, unter der gewisse konvexe Funktionen des euklidischen Raums bereits stetig sind.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Bernstein-Doetsch lässt sich angeben wie folgt:

Sei $\Omega$ eine konvexe und zugleich offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$.

Sei $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ eine Jensen-konvexe Funktion, also eine reellwertige Funktion, welche der Bedingung

$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$

für alle $x,y\in \Omega$ genügen möge.

Weiter gebe es mindestens einen Punkt $x_{0}\in \Omega$ derart, dass für eine offene Umgebung $U(x_{0})\subseteq \Omega$ die Einschränkung $f|_{U(x_{0})}$ nach oben beschränkt sei.

Dann gilt:

$f$ ist in jedem Punkt von $\Omega$ stetig.

Historische Anmerkung

Johan Ludwig Jensen hat schon im Jahre 1906 ein Vorläuferresultat zum Satz von Bernstein-Doetsch geliefert, indem er nämlich zeigte, dass der entsprechende Sachverhalt für konvexe Funktionen auf offenen reellen Intervallen gilt.

Folgerungen

Der Satz von Bernstein-Doetsch zieht unmittelbar das folgende Korollar nach sich:

Eine auf einer offenen und konvexen Teilmenge des euklidischen Raums gegebene Jensen-konvexe Funktion ist entweder stetig oder in jedem Punkt unstetig.

Darüber hinaus gewinnt man mit dem Satz von Bernstein-Doetsch das folgende grundlegende Resultat, welches der polnische Mathematiker Marek Kuczma in seiner bekannten Monographie An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities als The basic theorem betitelt. Dieses besagt:

Ist $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ eine reellwertige Funktion für eine konvexe offene Teilmenge $\Omega$ des $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$, so ist $f$ sowohl Jensen-konvex als auch stetig genau dann,

wenn für je zwei Punkte $x,y\in \Omega$ und jede reelle Zahl $\lambda \in [0,1]$ stets die Ungleichung

$f\left(\lambda x+(1-\lambda )y\right)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$

erfüllt ist.

Die Sätze von Sierpiński und Fréchet

Auf den polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński geht ein Satz zurück, dessen Fragestellung der des Satzes von Bernstein-Doetsch gleicht, wenngleich dessen Beweis auf anderen Methoden beruht. Er lautet:

Gegeben seien eine konvexe offene Teilmenge $\Omega$ des $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ und darauf eine Jensen-konvexe Funktion $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$.

Dann gilt:

Ist $f$ messbar, so ist $f$ bereits stetig.

Der Satz von Sierpiński wiederum führt unmittelbar zu einem Satz, der für den Fall der Dimension $n=1$ schon von dem französischen Mathematiker Maurice Fréchet im Jahre 1913 formuliert wurde:

Jede messbare additive Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ist stetig.

Verwandtes Resultat für normierte Räume

Zum Satz von Bernstein-Doetsch gibt es ein verwandtes Resultat, welches den Fall der konvexen reellwertigen Funktionen auf normierten Räumen behandelt. Es lässt sich folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ und darin eine konvexe offene Teilmenge $\Omega \subseteq X$ sowie eine konvexe reellwertige Funktion $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$.

Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(a) $f$ ist stetig.

(b) $f$ ist oberhalbstetig.

(c) Es gibt eine nichtleere offene Teilmenge $U_{0}\subseteq \Omega$ derart, dass $f|_{U_{0}}$ nach oben beschränkt ist.

(d) Es gibt mindestens einen Punkt $x_{0}\in \Omega$, in dem $f$ stetig ist.

Ist $X$ darüber hinaus ein Banachraum, so sind sogar gleichwertig:

(a') $f$ ist stetig.

(b') $f$ ist oberhalbstetig.

(c') $f$ ist unterhalbstetig.

Literatur

• F. Bernstein und G. Doetsch: Zur Theorie der konvexen Funktionen. In: Mathematische Annalen. Band 76, 1915, S. 514–526, doi:10.1007/BF01458222 (MR1511840). 
• Maurice Fréchet: Pri la fukncia equacio f(x+y) = f(x) + f(y). In: Enseignement Math. Band 15, 1913, S. 390–393. 
• Maurice Fréchet: A propos d'un article sur l'équation fonctionelle f(x+y) = f(x) + f(y). In: Enseignement Math. Band 16, 1914, S. 136. 
• J. L. W. V. Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In: Acta Mathematica. Band 30, 1906, S. 175–193 (MR1555027). 
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621). 
• Wacław Sierpiński: Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1, 1920, S. 112–115 (->Weblink). 
• Wacław Sierpiński: Sur les fonctions convexes mesurables. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1, 1920, S. 125–128 (->Weblink). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis]]

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Satz von Edelstein

Der Satz von Edelstein ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Funktionalanalysis. Er geht auf eine Arbeit des Mathematikers Michael Edelstein aus dem Jahre 1962 zurück und behandelt eine Fixpunkteigenschaft gewisser nichtexpansiver Abbildungen. Der Satz ist verwandt mit dem banachschen Fixpunktsatz und dem Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Edelstein lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:

Sei $X$ eine nichtleere Teilmenge eines $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ oder allgemein ein nichtleerer metrischer Raum, versehen mit einer Metrik $d$ .

Weiter gegeben sei eine strikt nichtexpansive Abbildung $f\colon X\to X$ und deren Bildmenge $\Omega =f(X)$ sei kompakt in $X$.

Dann gilt:

Es gibt genau einen Punkt $x^{*}\in X$ mit $f(x^{*})=x^{*}$ .

Dabei konvergiert für jeden Punkt $x_{0}\in X$ die iterative Folge $(f^{n}(x_{0}))_{n=0,1,\dots ,\infty }$ gegen diesen Fixpunkt $x^{*}$ .

Anmerkungen zum Beweis

Einem Gedanken von M. Krein folgend, gewinnt man die Existenz eines Fixpunktes wegen der Kompaktheit der Bildmenge $\Omega$ unmittelbar durch Anwendung des Satzes vom Minimum auf das nichtnegative reelle Funktional $T\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{\geq 0}\;,\;x\mapsto T(x)=d(f(x),x)$. Damit ist nämlich gesichert, dass das $T$-Minimum in einen Punkt $x^{*}\in \Omega$ angenommen wird, welcher dann ein Fixpunkt sein muss. Denn wegen der vorausgesetzten strikten Nichtexpansivität von $f$ muss $T(x^{*})=0$ gelten, da aus $T(x^{*})>0$ sofort $f(x^{*})\neq x^{*}$ folgte und dann $T(f(x^{*}))=d(f(f(x^{*})),f(x^{*}))<d(f(x^{*}),x^{*})=T(x^{*})$, im Widerspruch zur Minimumseigenschaft von $x^{*}$.

Zudem ist durch die strikte Nichtexpansivität von $f$ offenbar auch direkt auf die Eindeutigkeit des Fixpunktes zu schließen. Denn für einen von $x^{*}$ verschiedenen Fixpunkt $x^{**}$ wäre sogleich die in sich widersprüchliche Ungleichung $d(x^{*},x^{**})=d(f(x^{*}),f(x^{**}))<d(x^{*},x^{**})$ zu folgern.

Quellen und Hintergrundliteratur

• M. Edelstein: On fixed and periodic points under contractive mappings. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 37, 1962, S. 74–79, doi:10.1112/jlms/s1-37.1.74 (MR0133102). 
• L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1978, ISBN 3-87144-327-1, S. 512 (MR0458199). 
• James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970) (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3, S. 404–407 (MR1744713). 

Einzelnachweise und Hinweise

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KKKategorie:Funktionalanalysis]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Edelstein]]

Nichtexpansive Abbildung

Der Begriff der nichtexpansiven Abbildung entstammt der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Die nichtexpansiven Abbildungen zählen zu den lipschitzstetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen. Sie sind unter anderem bedeutsam im Zusammenhang mit Fixpunktsätzen.

Definition

Eine Abbildung $f\colon X\to Y$ für zwei metrische Räume $(X,d_{X})$ und $(Y,d_{Y})$ heißt nichtexpansiv, wenn stets die folgende Ungleichung erfüllt ist:

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq d_{X}(x_{1},x_{2})\;(\forall x_{1},x_{2}\in X)$

Erfüllt eine solche Abbildung $f\colon X\to Y$ für $x_{1},x_{2}\in X$ mit $x_{1}\neq x_{2}$ sogar stets die strenge Ungleichung

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<d_{X}(x_{1},x_{2})$   ,

so nennt man $f$ strikt nichtexpansiv.

Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk

Zu den nichtexpansiven Abbildungen von metrischen Räumen in sich zählen nicht zuletzt auch die kontraktiven Abbildungen. Wie bei letzteren stellt sich auch für erstere die Frage nach der Existenz von Fixpunkten. Eine Antwort auf diese Frage liefert der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk. Er ist verwandt mit den Fixpunktsätzen von Banach und Schauder und geht auf Arbeiten von Felix Earl Browder, Dietrich Göhde und William A. Kirk aus den 1960er Jahren zurück.

Der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:

Gegeben seien ein gleichmäßig konvexer Banachraum $E$ und darin eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge $X\subseteq E$.

Sei weiterhin $f\colon X\to X$ eine nichtexpansive Abbildung, also dergestalt, dass stets die Ungleichung $\|{f(x_{1})-f(x_{2})}\|_{E}\leq \|{x_{1}-x_{2}}\|_{E}\;(\forall x_{1},x_{2}\in X)$ erfüllt sei.

Dann gilt:

Die Fixpunktmenge ${\mathrm {Fix} }(f)=\{x\in X\colon f(x)=x\}$ ist eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von $X$.

Insbesondere gibt es ein $x_{0}\in X$ mit $f(x_{0})=x_{0}$ .

Der Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk gab Anlass zu einer Anzahl von Folgeuntersuchungen, die zu verschiedenen Beweisvarianten und Verallgemeinerungen führten.

Anmerkungen

• Die nichtexpansiven Abbildungen sind genau diejenigen lipschitzstetigen Abbildungen $f$ zwischen metrischen Räumen, welche die Lipschitz-Konstante ${\mathrm {Lip} }_{f}\leq 1$ besitzen.
• Fixpunkteigenschaften gewisser strikt nichtexpansiver Abbildungen behandelt der Satz von Edelstein.

Literatur

• Felix E. Browder: Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 54, 1965, S. 1041–1044, JSTOR:73047 (MR0187120). 
• Kazimierz Goebel: An elementary proof of the fixed-point theorem of Browder and Kirk. In: Michigan Mathematical Journal. Band 16, 1969, S. 381–383, doi:10.1307/mmj/1029000322 (MR0251604). 
• Dietrich Göhde: Zum Prinzip der kontraktiven Abbildung. In: Mathematische Nachrichten. Band 30, 1965, S. 251–258, doi:10.1002/mana.19650300312 (MR0190718). 
• Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. An Introduction. With a Preface by Michiel Hazewinkel (= Mathematics and its Application. Band 7). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston, London 1981, ISBN 90-277-1224-7 (MR0620639). 
• Jacek Jachymski: Another proof of the Browder-Göhde-Kirk theorem via ordering argument. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Band 65, 2002, S. 105–107, doi:10.1017/S0004972700020104 (MR1889383). 
• W. A. Kirk: A fixed point theorem for mappings which do not increase distances. In: American Mathematical Monthly. Band 72, 1965, S. 1004–1006, JSTOR:2313345 (MR0189009). 
• James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970) (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3, S. 404–407 (MR1744713). 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser Verlag, Boston / Basel / Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779). 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 
• Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 (MR0816732). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionalanalysis]]

Lemma von Kakutani

Das Lemma von Kakutani ist mathematischer Lehrsatz, der sowohl dem Gebiet der Konvexgeometrie als auch dem der Funktionalanalysis zugerechnet werden kann. Es geht auf eine Arbeit des japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani aus dem Jahr 1937 zurück und behandelt eine Eigenschaft konvexer Mengen in reellen Vektorräumen.

Formulierung des Lemmas

Das Lemma lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien ein reeller Vektorraum $X$ und darin zwei disjunkte konvexe Teilmengen $C_{1},C_{2}\subset X$ sowie ein außerhalb dieser beiden Mengen gelegener Punkt $x\in {X\setminus (C_{1}\cup C_{2})}$.

${\Gamma }_{i}\subset X\;(i=1,2)$ sei jeweils die konvexe Hülle von $\{x\}\cup C_{i}$.

Dann gilt:

Mindestens eine der beiden Schnittmengen ${\Gamma }_{1}\cap C_{2}\;,\;{\Gamma }_{2}\cap C_{1}$ ist die leere Menge.

Folgerung: Ein Satz von Marshall Harvey Stone

Aus dem Lemma von Kakutani lässt sich mit Hilfe des zornschen Lemmas ein Satz von Marshall Harvey Stone folgern, den Frederick A. Valentine in seinem Lehrbuch Konvexe Mengen als grundlegend bezeichnet. Dieser Satz lässt sich folgendermaßen fomulieren:

In jedem reellen Vektorraum $X$ existiert zu je zwei disjunkten nichtleeren konvexen Teilmengen $C_{1},C_{2}\subset X$ stets eine Zerlegung $Z_{1}{\dot {\cup }}Z_{2}=X$ mit umfassenden konvexen Teilmengen $Z_{i}\supset C_{i}\;(i=1,2)$ .

Hinsichtlich der Namensgebung ist anzumerken, dass Kelley/Namioka den genannten Satz als Satz von Stone (englisch : Stone's theorem) bezeichnen, während aus der Darstellung von Valentine eher zu entnehmen ist, dass der Satz in gleichem Maße Kakutani zuzuweisen ist und vermutlich auch von anderen Mathematikern gezeigt wurde. Bemerkenswert an der Darstellung von Valentine ist der Umstand, dass er das Lemma von Kakutani implizit beim Beweis benutzt, jedoch nicht explizit als solches nennt.

Bezug zum Trennungssatz von Eidelheit

Von Gottfried Köthe wird der Satz von Stone als Trennungssatz genannt, denn er steht in direkter Beziehung zum Trennungssatz von Eidelheit (englisch : Eidelheit's Separation Theorem), welcher seinerseits hinführt zur Geometrischen Form des Satzes von Hahn-Banach. Der eidelheitsche Trennungssatz gab Shizuo Kakutani den Anlass zu seiner Arbeit von 1937.

Der Trennungssatz von Eidelheit lässt sich konvexgeometrisch angeben wie folgt:

Es sei $X$ ein reeller topologischer Vektorraum und darin enthalten seien zwei nichtleere konvexe Teilmengen $C_{1},C_{2}\subset X$.

$C_{1}$ besitze innere Punkte, von denen jedoch keiner zugleich ein Punkt von $C_{2}$ sei.

Dann gilt:

(1) Es gibt innerhalb $X$ eine $C_{1}$ und $C_{2}$ trennende abgeschlossene reelle Hyperebene $H\subset X$ derart, dass keiner der inneren Punkte von $C_{1}$ zugleich ein Punkt von $H$ ist.

(2) Sind hierbei sogar sowohl $C_{1}$ als auch $C_{2}$ offene Teilmengen von $X$, so liegen sie in verschiedenen offenen Halbräumen und werden in diesem Sinne durch $H$ voneinander strikt getrennt.

Bei Valentine ist sogar ein noch allgemeinere Version des Trennungssatzes zu finden.

Quellen und Hintergrundliteratur

• Marcel Berger: Geometry I. Translated from the French by M. Cole and S. Levy (= Universitext). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1987, ISBN 3-540-11658-3.  MR2724360
• Nicolas Bourbaki: Topological Vector Spaces. Chapters 1 - 5. Translated by H. G. Egglestone & S. Madan (= Elements of Mathematics). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo 1987, ISBN 3-540-13627-4, S. II.36 ff.  MR0910295
• Shizuo Kakutani: Ein Beweis des Satzes von M. Eidelheit über konvexe Mengen. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 13, 1937, S. 93–94 ([7]).  MR1568455
• John L. Kelley, Isaac Namioka et al.: Linear Topological Spaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 36). 2. Auflage. Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1976.  MR0394084
• Marshall Harvey Stone: Convexity. Vervielfältigte Vorlesungsausarbeitung von Harley Flanders. University of Chicago, Chicago 1946. 
• Gottfried Köthe: Topologische lineare Räume I (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 107). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1966, S. 36 ff.  MR0194863
• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 183). Springer Verlag, New York 1998, ISBN 0-387-98431-3.  MR1650235
• Marshall Harvey Stone: Convexity. Vervielfältigte Vorlesungsausarbeitung von Harley Flanders. University of Chicago, Chicago 1946. 
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil (= B. I.-Hochschultaschenbücher. 402/402a). Springer Verlag, Mannheim 1968.  MR0226495

Einzelnachweise

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Satz von Vitali-Carathéodory

Der Satz von Vitali-Carathéodory ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen dem Gebiet der Analysis und dem Gebiet der Maßtheorie angesiedelt ist und den der bekannte Analytiker Walter Rudin den beiden Mathematikern Giuseppe Vitali und Constantin Carathéodory zurechnet. Er zählt – zusammen mit dem Satz von Lusin – zu den Sätzen über Stetigkeitseigenschaften messbarer reellwertiger Funktionen auf gewissen Maßräumen über lokalkompakten Hausdorff-Räumen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein lokalkompakter Hausdorff-Raum $X$, versehen mit der borelschen σ-Algebra ${\mathcal {B}}(X)$ sowie einem von innen wie von außen regulären Borel-Maß

$\mu \colon {\mathcal {B}}(X)\rightarrow [0,\infty ]$.

Weiter gegeben sei eine $\mu$-integrierbare reellwertige Funktion

$f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$.

Dann gilt:

Zu jeder reellen Zahl $\epsilon >0$ gibt es ein Paar reellwertiger Funktionen

$u,v\colon X\rightarrow \mathbb {R}$

mit folgenden Eigenschaften:

(1) $u$ ist oberhalbstetig und beschränkt nach oben.

(2) $v$ ist unterhalbstetig und beschränkt nach unten.

(3) $u(x)\leq f(x)\leq v(x)\;\;(\forall x\in X)$ .

(4) ${\int _{X}}(v-u)\;\mathrm {d} \mu \;<\epsilon$ .

Quellen und Hintergrundliteratur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (= Springer-Lehrbuch - Grundwissen Mathematik). 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg (u.   a.) 2011, ISBN 978-3-642-17904-4. 
• Walter Rudin: Reelle und Komplexe Analysis. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6. 

Einzelnachweise

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Satz von Kuiper

Der Satz von Kuiper ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen dem Gebiet der Funktionalanalysis und dem Gebiet der Topologie angesiedelt ist und der auf eine Arbeit des niederländischen Mathematikers Nicolaas Hendrik Kuiper aus dem Jahre 1965 zurückgeht. Kuiper behandelt hier Homotopieeigenschaften der Gruppe der invertierbaren beschränkten linearen Operatoren eines unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraums $H$ und bestätigt mit seinem Satz eine von Michael Atiyah, Albert Solomonowitsch Schwarz und Richard Sheldon Palais aufgestellte Vermutung.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Kuiper lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein unendlich-dimensionaler separabler $\mathbb {K}$-Hilbertraum $H$, wobei $\mathbb {K} =\mathbb {R}$, der Körper der reellen Zahlen, oder $\mathbb {K} =\mathbb {C}$, der Körper der komplexen Zahlen, oder $\mathbb {K} =\mathbb {H}$, der Schiefkörper der Quaternionen, sei.

Hier seien ${\mathfrak {L}}(H)$, versehen mit der Operatornorm, der topologische Ring der beschränkten linearen Operatoren auf $H$ sowie ${\mathfrak {LG}}(H)\subset {\mathfrak {L}}(H)$ die darin enthaltene topologische Gruppe der invertierbaren beschränkten linearen $H$-Operatoren und schließlich ${\mathfrak {U}}(H)\subset {\mathfrak {LG}}(H)$ die ebenfalls darin enthaltene Untergruppe der unitären $H$-Operatoren.

Dann gilt:

(1) ${\mathfrak {LG}}(H)$ ist als topologischer Teilraum von ${\mathfrak {L}}(H)$ ein zusammenziehbarer Raum.

(2) ${\mathfrak {U}}(H)$ ist ein Retrakt von ${\mathfrak {LG}}(H)$ und daher ebenfalls zusammenziehbar.

Anmerkungen

• Man nennt die Gruppe ${\mathfrak {LG}}(H)$ manchmal auch die Lineare Gruppe (englisch linear group) von $H$. Kuiper nennt sie in seiner Originalarbeit die Allgemeine Lineare Gruppe (englisch general linear group) von $H$.
• ${\mathfrak {LG}}(H)$ist innerhalb ${\mathfrak {L}}(H)$ eine offene Teilmenge.
• Aus der Topologie ist bekannt, dass ein zusammenziehbarer Raum stets wegzusammenhängend und dass jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raumes seinerseits ein zusammenziehbarer Raum ist.
• Lässt man an die Stelle des unendlich-dimensionalen separablen Hilbertraum $H$ gewisse klassische Banachräume $X$ treten, so gilt für ${\mathfrak {LG}}(X)$ die obige Teilaussage (1) zur Zusammenziehbarkeit immer noch, wie etwa Dietmar Arlt für $X=c_{0}$ zeigen konnte.
• Wie jedoch Adrien Douady gezeigt hat, lassen sich direkte Summen zweier klassischer Banachräume konstruieren, so dass für diese die Teilaussage (1) keine Gültigkeit mehr hat.
• Hinsichtlich der Bedeutung des Kuiper'schen Satzes lässt sich auf eine Anmerkung bei Hirzebruch/Scharlau verweisen, wonach der Satz von Wichtigkeit für die Beziehungen zwischen algebraischer Topologie und Funktionalanalysis ist.

Literatur

• D. Arlt: Zusammenziehbarkeit der allgemeinen linearen Gruppe des Raumes c₀ der Nullfolgen. In: Inventiones Mathematicae. Band 1, 1966, S. 36–44, doi:10.1007/BF01389697 (MR0198259). 
• Bernhelm Booß: Topologie und Analysis. Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel (= Hochschultext). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1977, ISBN 3-540-08451-7 (MR0478242). 
• Adrien Douady: Un espace de Banach dont le groupe linéaire n’est pas connexe. In: Indagationes Mathematicae. Band 68, 1965, S. 787–789 (MR0187056). 
• Nicolaas H. Kuiper: The homotopy type of the unitary group of Hilbert space. In: Topology. Band 3, 1965, S. 19–30 (MR0179792). 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4 (MR0463864). 
• Dieter Lutz: Topologische Gruppen. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1976, ISBN 3-411-01502-0. 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, Boston / Basel / Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970 (MR0264581). 

Einzelnachweise und Anmerkungen

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Satz von Kato

Der Satz von Kato ist ein mathematischer Lehrsatz, der dem Gebiet der Funktionalanalysis angehört und auf den japanischen Mathematiker Tosio Kato zurückgeht. Der Satz behandelt eine Eigenschaft der stetigen linearen Abbildungen zwischen Banachräumen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien zwei Banachräume $E,F$ und eine stetige lineare Abbildung $A\colon E\to F$.

Der Bildraum $A(E)\subseteq F$ besitze endliche Kodimension.

Dann gilt:

$A(E)$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $F$.

Verallgemeinerung

Der Satz von Kato ist eine direkte Folgerung aus einem allgemeineren Satz, der lautet wie folgt:

Gibt es unter den obigen Voraussetzungen einen abgeschlossenen Unterraum $G\subseteq F$ derart, dass einerseits $A(E)\cap G=\{0\}$ und andererseits die direkte Summe $A(E)\oplus G$ ein abgeschlossener Unterraum von $F$ ist, so muss bereits $A(E)$ selbst ein abgeschlossener Unterraum von $F$ sein.

Andere Fassung

Der Satz von Kato ist in der Fachliteratur auch in einer anderen Fassung zu finden, welche zwischen der oben dargebotenen Version und der obigen Verallgemeinerung angesiedelt ist. Diese Fassung lautet wie folgt:

Es sei $A$ ein stetiger linearer Endomorphismus auf dem Banachraum $E$ und weiter $G$ ein abgeschlossener Unterraum von $E$ derart, dass einerseits $A(E)\cap G=\{0\}$ und andererseits die direkte Summe $A(E)\oplus G$ ein abgeschlossener Unterraum von $E$ ist.

Dann ist der Bildraum $A(E)$ bereits selbst ein abgeschlossener Unterraum von $E$.

Verwandtes Resultat: Der Satz von Riesz über kompakte Operatoren

Die Bedeutung der im Satz von Kato aufgeworfenen Frage nach dem Zusammenhang zwischen Abgeschlossenheit und Kodimensionalität der Bildräume stetiger linearer Abbildungen zeigt sich auch bei der Untersuchung der kompakten Operatoren auf Banachräumen. Hierzu gilt ein klassischer Satz des ungarischen Mathematikers F. Riesz:

Es sei $A$ ein kompakter Operator auf dem Banachraum $E$.

Dann hat der zugehörige Operator $T=Id-A$ die folgenden Eigenschaften:

(1) Der Nullraum von $T$ ist endlich-dimensional.

(2) Der Bildraum von $T$ ist abgeschlossen.

(3) Der Faktorraum $E/T(E)$ ist endlich-dimensional.

Anmerkungen

1. In der obigen anderen Fassung spielt der Satz von Kato etwa in der Spektraltheorie eine bedeutende Rolle.
2. Im englischsprachigen Raum wird der Satz von Kato manchmal auch als closed range theorem of T. Kato bezeichnet.

Quellen und Literatur

• Harro Heuser: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung (= Mathematische Leitfäden). 4., durchgesehene Auflage. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8.  MR2380292
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= B. I.-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4.  MR0463864
• Hans-Dieter Wacker: Über die Verallgemeinerung eines Satzes von Kato. In: Mathematische Zeitschrift. Band 190, 1985, S. 55–61, doi:10.1007/BF01159163.  MR0793348

Einzelnachweise

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Regel der Mittelzahlen

Die Regel der Mittelzahlen, französisch regle des nombres moyens, ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, welcher dem französischen Mathematiker Nicolas Chuquet zugerechnet wird. Der Satz beinhaltet zwei elementare Ungleichungen der Bruchrechnung über die Beziehung der so genannten Mediante zu ihren Ausgangsbrüchen.

Formulierung der Regel

Hat man auf der Zahlengeraden zwei Brüche mit positiven Nennern und bildet man dazu eine dritten Bruch, dessen Zähler gleich der Summe der Zähler und dessen Nenner gleich der Summe der Nenner der beiden gegebenen Brüche ist, so liegt dieser dritte Bruch stets zwischen den beiden gegebenen Brüchen. Formelhaft ausgedrückt:

Für vier reelle Zahlen $a,b,x,y$ mit $b,y>0$ folgen aus der Ungleichung ${\frac {a}{b}}<{\frac {x}{y}}$ stets die Ungleichungen ${\frac {a}{b}}<{\frac {a+x}{b+y}}<{\frac {x}{y}}$.

Entsprechendes gilt auch, wenn anstelle des Kleinerzeichens das Kleiner-gleich-Zeichen vorliegt.

Beispiel

Für $a=-2,b=3,x=-1,y=2$ gilt ${\frac {-2}{3}}=-0{,}{\bar {6}}<-0{,}5={\frac {-1}{2}}$ und daher

${\frac {-2}{3}}<{\frac {(-2)+(-1)}{3+2}}=-0{,}6<{\frac {-1}{2}}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Man nennt den oben auftretenden mittleren Bruch ${\frac {a+x}{b+y}}$ die Mediante der beiden Ausgangsbrüche ${\frac {a}{b}}$ und ${\frac {x}{y}}$.
• Beginnend mit den beiden Brüchen ${\frac {0}{1}}$ und ${\frac {1}{1}}$ gelangt man durch sukzessive Bildung von Medianten zu einer typischen Farey-Folge.
• Wie im Lexikon bedeutender Mathematiker ausdrücklich hervorgehoben wird, hat Nicolas Chuquet die Regel der Mittelzahlen als eigene Entdeckung beansprucht.

Quellen

• Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics (= The Saunders Series). 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia et al. 1983, ISBN 0-03-062064-3, S. 214 (MR0684360). 
• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds und Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 103–104 (MR1089881 ). 
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band. Inp bis Mon. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0436-3. 

Einzelnachweise

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Lemma von McShane

Das Lemma von McShane, englisch McShane lemma, ist ein Lehrsatz, welcher zwischen den mathematischen Teilgebieten der Allgemeinen Topologie und der Funktionalanalysis angesiedelt ist. Das Lemma geht auf den US-amerikanischen Mathematiker Edward James McShane zurück und behandelt die Frage der Fortsetzung lipschitzstetiger reellwertiger Funktionen auf Teilräumen metrischer Räume.

Formulierung des Lemmas

Das Lemma besagt folgendes:

Sei $X$ ein metrischer Raum, sei $A\subseteq X$ ein darin gelegener Teilraum und sei

$f\colon A\rightarrow \mathbb {R}$

eine lipschitzstetige reellwertige Funktion auf $A$ mit der Lipschitzkonstanten $L>0$ .

Dann gilt:

$f$ hat eine eine lipschitzstetige Fortsetzung

$F\colon X\rightarrow \mathbb {R}$

mit derselben Lipschitzkonstanten $L$ .

Verwandter Satz

Ein verwandter Satz ist der Satz von Kirszbraun, der die gleiche Fragestellung im Rahmen der euklidischen bzw. Hilberträume behandelt und dabei zu dem gleichen Ergebnis kommt, wenn auch unter anderen Voraussetzungen. Keines der beiden Resultate schließt das jeweils andere direkt in sich ein und beide stehen nebeneinander. Allerdings überschneiden sie sich, wenn $X=\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ sowie eine Teilmenge $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine lipschitzstetige Abbildung $f\colon A\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit $m=1$ zugrundegelegt werden.

Literatur

• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0 (MR3136903). 
• E. J. McShane: Extension of range of functions. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 40, 1934, S. 837–842, doi:10.1090/S0002-9904-1934-05978-0 (MR1562984). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Fundamentalsatz der Variationsrechnung

Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung (englisch Fundamental Theorem of the Calculus of Variations) ist ein grundlegender Satz des mathematischen Teilgebiets der Variationsrechnung und eng verwandt mit dem weierstraßschen Satz vom Minimum. Er behandelt die in der Variationsrechnung zentrale Frage, unter welchen Bedingungen reellwertige Funktionale ein Minimum annehmen.

Formulierung des Fundamentalsatzes

Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung lässt sich formulieren wie folgt:

Sei $X$ ein reflexiver Banachraum über $\mathbb {R}$ und sei darin $M\subset X$ eine nichtleere, schwach abgeschlossene und zugleich beschränkte Teilmenge.

Sei weiter $\phi \colon M\to \mathbb {R}$ ein schwach unterhalbstetiges Funktional.

Dann nimmt das Funktional $\phi$ auf $M$ ein Minimum an.

Mit anderen Worten:

Es existiert ein Element $x_{0}\in M$ mit

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$.

Beweis

Der Darstellung von Fučík, Nečas und Souček folgend lässt sich der Beweis wie folgt führen:

Nach dem Satz von Eberlein–Šmulian impliziert die Reflexivität des Banachraums $X$, dass darin jede beschränkte Folge eine schwach-konvergente Teilfolge besitzt.

Also gibt es unter den genannten Bedingungen in $M$ eine Folge von Elementen $x_{n}\in M\;(n\in \mathbb {N} )$, die einerseits in $\mathbb {R}$ den Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }\phi (x_{n})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}$

bildet und die andererseits in $M$ schwach gegen ein Element $x_{0}\in M$ konvergiert.

Dieses Element $x_{0}$ ist die gesuchte Minimumstelle für $\phi$.

Denn in Verbindung mit der Halbstetigkeit von $\phi$ ergibt sich die folgende Ungleichungskette:

$\inf _{x\in M}{\phi (x)}\leq \phi (x_{0})\leq \liminf _{n\to \infty }{\phi (x_{n})}=\lim _{n\rightarrow \infty }\phi (x_{n})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}$

Das bedeutet jedoch

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$

und der Satz ist bewiesen.

Folgerungen aus dem Fundamentalsatz

An den Fundamentalsatz lassen sich zwei direkte Folgerungen anschließen:

(I)

(a) Die Bedingungen des Fundamentalsatzes sind erfüllt, wenn dort $M$ eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge des reflexiven $\mathbb {R}$-Banachraums $X$ und das Funktional $\phi$ stetig und konvex ist.

Das heißt: In diesem Falle hat $\phi$ eine Minimumstelle $x_{0}\in M$.

(b) Ist dann $\phi$ darüber hinaus noch strikt konvex, so ist die Minimumstelle $x_{0}\in M$ sogar eindeutig bestimmt.

(II)

(a) Ist $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ ein schwach unterhalbstetiges und zugleich koerzitives Funktional des reflexiven $\mathbb {R}$-Banachraums $X$, so gilt die Behauptung des Fundamentalsatzes ebenfalls.

Das bedeutet:

Es ist dann

$\inf _{x\in M}{\phi (x)}>{-\infty }$

sowie

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$

für mindestens ein $x_{0}\in X$

(b) Im Falle, dass $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ koerzitiv, stetig und konvex bzw. strikt konvex ist, ist die Folgerung (I) in entsprechender Weise gültig.

Anmerkung zum Beweis der Folgerungen

1. Wegen der schwachen Abgeschlossenheit von $M$ ist das Funktional $\phi$ genau dann schwach unterhalbstetig, wenn für jede reelle Zahl $a$ die Urbildmenge ${\phi }^{-1}(]\infty ,a])$ des zugehörigen Intervalls $(-\infty ,a]$ schwach abgeschlossen ist.
2. Ein stetiges und konvexes Funktional auf einer konvexen Teilmenge eines Banachraums ist stets schwach unterhalbstetig.

Andere Version des Fundamentalsatzes

Eine etwas andere, jedoch verwandte Version des Fundamentalsatzes ist die folgende:

Sei $M$ ein nichtleerer Hausdorff-Raum und sei weiter

$\phi \colon M\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ ein unterhalbstetiges Funktional.

Weiterhin gebe es eine reelle Zahl $r$ mit:

(i) $M_{\phi \;,\;r}\colon =\{x\in M\mid \phi (x)\leq r\}\neq \emptyset$

(ii) $M_{\phi \;,\;r}$ ist folgenkompakt.

Dann gilt:

Es existiert ein Element $x_{0}\in M$ mit

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$.

Abgrenzung: Das Fundamentallemma der Variationsrechnung

In der Variationsrechnung spielt auch das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung (englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit dem hier genannten Stichwort verknüpft, fällt jedoch mit dem oben dargestellten Fundamentalsatz der Variationsrechnung nicht zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois-Reymond zugerechnet wird.

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage:

Sei $I=[a\;,\;b]\subset \mathbb {R}$ ein kompaktes reelles Intervall und sei $g\colon I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Es gelte für jede stetig differenzierbare Funktion $h\colon I\to \mathbb {R}$ mit $h(a)=h(b)=0$:

$\int _{a}^{b}{g(t)\;h(t)}\;\mathrm {d} t=0$

Dann ist $g$ die Nullfunktion.

Eine andere, aber insgesamt etwas weiter reichende Version des Fundamentallemmas, welche auch mehrdimensionale Integration einbezieht, lautet wie folgt:

Sei $\Omega$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{N}\;(N\in \mathbb {N} )$ und sei $g:\Omega \to \mathbb {R}$ eine lokal integrierbare Funktion.

Es gelte für jede unendlich oft differenzierbare Funktion $h\colon \Omega \to \mathbb {R}$ mit kompaktem Träger:

$\int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x=0$

Dann gilt $g=0$ fast überall.

Siehe auch

• Maximumprinzip von Bauer
• Minimallösung
• Satz vom Minimum und Maximum

Literatur

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5 (MR0687073). 
• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Variational Methods in Mathematical Physics. A unified approach. Translated from the German by Gillian M. Hayes. (= Texts and Monographs in Physics). Verlag=Springer Verlag, Berlin 1992 (MR1230382). 
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0 (MR3136903). 
• Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček: Einführung in die Variationsrechnung. Erweiterte Ausgabe des Vorlesungsskripts Úvod do variačního počtu (= Teubner-Texte zur Mathematik). Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1977. 

Einzelnachweise

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Satz von Minty-Browder

Der Satz von Minty-Browder oder auch Satz von Browder und Minty, englisch Minty-Browder theorem, ist ein mathematischer Lehrsatz der Nichtlinearen Funktionalanalysis, welcher auf Arbeiten der beiden Mathematiker George Minty und Felix Browder aus den Jahren 1962 und 1963 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage der Bedingungen, unter denen ein monotoner Operator auf einem reflexiven separablen Banachraum über dem Körper der reellen Zahlen surjektiv ist. Er wird auch als Hauptsatz der Theorie monotoner Operatoren bezeichnet und gilt als nichtlineares Analogon zum Satz von Lax-Milgram. Der Satz findet vielfache Anwendung bei der Lösung nichtlinearer Randwertaufgaben der Variationsrechnung. Der Beweis des Satzes lässt sich mit Hilfe der Galerkin-Methode führen.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung von Růžička bzw. Ciarlet folgend lässt sich der Satz von Minty-Browder angeben wie folgt:

Sei $X$ ein separabler reflexiver Banachraum über $\mathbb {R}$ .

Sei dazu $A\colon X\to X^{'}=L(X,\mathbb {R} )$ ein Operator von dem Banachraum in seinen Dualraum.

Der Operator $A$ besitze folgende Eigenschaften:

(a) $A$ ist monoton.

(b) $A$ ist koerziv.

(c) $A$ ist hemistetig.

Dann gilt:

(1) $A$ ist surjektiv.

(2) Ist $A$ zudem noch strikt monoton, so ist $A$ sogar eine Bijektion.

Erläuterungen zur Terminologie

Hinsichtlich der oben genannten Eigenschaften des Operators $A\colon X\to X^{'}$ sind folgende Termini wesentlich:

• $A$ ist monoton genau dann, wenn für $u,v\in X$ stets gilt:

$\langle A(u)-A(v)\;,\;u-v\rangle \geq 0$

• Der Operator $A$ ist strikt monoton genau dann, wenn für $u,v\in X$ mit $u\neq v$ stets gilt:

$\langle A(u)-A(v)\;,\;u-v\rangle >0$

• Der Operator $A$ ist koerziv genau dann, wenn gilt:

$\lim _{\|x\|\to {\infty }}{\frac {\langle A(x)\;,\;x\rangle }{\|x\|}}={\infty }$.

• Der Operator $A$ ist hemistetig genau dann, wenn für $u,v,w\in X$ stets gilt:

Die auf dem Intervall $[0\;,\;1]$ definierte reellwertige Funktion $t\mapsto \langle A(u+tv)\;,\;w\rangle$ ist stetig.

Siehe auch

• Satz von Lax-Milgram

Quellen und Hintergrundliteratur

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5.  MR0687073
• Felix E. Browder: Nonlinear elliptic boundary value problems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 69, 1963, S. 862–874 ([8]).  MR0156116
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0.  MR3136903
• George J. Minty: On a "monotonicity" method for the solution of non-linear equations in Banach spaces. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Band 50, 1963, S. 1038–1041 ([9]).  MR0162159
• George J. Minty: Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space. In: Duke Mathematical Journal. Band 29, 1962, S. 341–346 ([10]).  MR0169064
• Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. Eine Einführung. Springer Verlag]], Berlin, Heidelberg (u. a.) 2004, ISBN 3-540-20066-(?!). 

Einzelnachweise

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Maximalitätssatz von Wermer

Der Maximalitätssatz von Wermer , auch Wermers Maximalitätssatz genannt, englisch Wermer's maximality theorem,ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher zwischen Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist. Der Satz geht zurück auf den Mathematiker John Wermer und behandelt Maximalitätseigenschaften einer speziellen banachschen Funktionenalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen.

Formulierung des Satzes

Der Maximalitätssatz von Wermer lässt sich angeben wie folgt:

Sei $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq 1\}\subseteq \mathbb {C}$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im Körper der komplexen Zahlen, deren topologischer Rand die Einheitssphäre $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}$ ist.

Sei weiter ${\mathcal {C}}={\mathcal {C}}(S^{1}\;,\;\mathbb {C} )$ die $\mathbb {C}$-Banachalgebra der auf der Einheitssphäre definierten stetigen komplexwertigen Funktionen, versehen mit den üblichen punktweise definierten Operationen und der Maximumsnorm.

Sei schließlich ${\mathcal {A}}$ die Teilmenge derjenigen Funktionen $f\in {\mathcal {C}}$, welche eine stetige Fortsetzung auf $\mathbb {D}$ derart besitzen, dass diese Fortsetzungsfunktion im Inneren ${\mathbb {D} }^{\circ }=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}$ von $\mathbb {D}$ sogar holomorph ist.

Dann gilt:

${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {C}}$ bildet eine abgeschlossene Teilalgebra von ${\mathcal {C}}$ und ist als solche maximal, wird also von keiner anderen in ${\mathcal {C}}$ enthaltenen abgeschlossenen Teilalgebra echt umfasst .

Quellen

• Paul J. Cohen: A note on constructive methods in Banach algebras. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 12, 1961, S. 159–163, doi:10.2307/2034144.  MR0124515
• Edmund Landau, Dieter Gaier: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. 3., erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u.   a.) 1986, ISBN 3-540-16886-9.  MR0869998
• G. Lumer: On Wermer's maximality theorem. In: Inventiones Mathematicae. Band 8, 1969, S. 236–237 ([11]).  MR0251542
• Walter Rudin: Analyticity, and the maximum modulus principle. In: Duke Mathematical Journal. Band 20, 1953, S. 449–457, doi:10.1215/S0012-7094-53-02045-6.  MR0056076
• John Wermer: On algebras of continuous functions. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 4, 1953, S. 866–869, doi:10.2307/2031819.  MR0058877

Einzelnachweise

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Dreikreisesatz von Hadamard

Der Dreikreisesatz von Hadamard, auch hadamardscher Dreikreisesatz genannt, englisch Hadamard’s three-circle theorem, ist ein Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie. Der Satz geht zurück auf den französischen Mathematiker Jacques Hadamard (1865–1963). Er kann als Folgerung aus dem Maximumprinzip der Funktionentheorie gezogen werden und zieht insbesondere den Satz von Liouville nach sich.

Formulierung des Satzes

Der Dreikreisesatz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien ein Gebiet $G\subseteq \mathbb {C}$ sowie eine darauf definierte holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C} \;;\;z\mapsto f(z)$ , welche nicht die Nullfunktion sei.

Gegeben seien weiter zwei reelle Zahlen $a,b\;(0<a<b)$ und dazu ein in $G$ enthaltener Kreisring $A=\{z\in \mathbb {C} \colon a\leq |z|\leq b\}$.

Dann gilt für die zugehörige reellwertige Funktion

$M\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{>0}\;;\;r\mapsto M(r):=\max _{|z|=r}\;{|f(z)|}$

stets die Ungleichung

$M(r)\leq {M(a)}^{\frac {\ln(b)-\ln(r)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot {M(b)}^{\frac {\ln(r)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}$ .

Mit anderen Worten:

Die reellwertige Funktion $r\mapsto \ln {\bigl (}M(r){\bigr )}$ ist eine in $\ln(r)$ konvexe Funktion und erfüllt daher stets die Ungleichung

$\ln {\bigl (}(M(r){\bigr )}\leq {{\frac {\ln(b)-\ln(r)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot \ln {\bigl (}(M(a){\bigr )}+{{\frac {\ln(r)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}\cdot \ln {\bigl (}(M(b){\bigr )}}\;(a\leq r\leq b)}$.

Anwendung: Der Satz von Jentzsch

Wie Edmund Landau zeigte, lässt sich durch Anwendung des Dreikreisesatzes ein anderes bekanntes Resultat der Funktionentheorie herleiten, nämlich der Satz von Jentzsch. Dieser geht zurück auf Inauguraldissertation von Robert Jentzsch aus dem Jahre 1914. Der Satz wurde von Jentzsch dann auch in den Acta Mathematica des Jahres 1916 veröffentlicht und gab Anlass zu vielen weiterführenden funktionentheoretischen Untersuchuchungen. Er lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei eine in $\mathbb {C}$ um den Entwicklungspunkt $z_{0}=0$ entwickelte Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}z^{n}}=a_{0}+a_{1}z^{1}+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{n}z^{n}+a_{n+1}z^{n+1}\ldots$

mit endlichem Konvergenzradius $r<\infty$ und Konvergenzkreis $D=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<r\}$ .

Die zughörige komplexwertige Funktion $f\colon \,D\to \mathbb {C} ,\;z\mapsto f(z)$

sei nicht konstant und es gelte $a_{0}\neq 0$ .

Weiter seien

$s_{k}(z)=\sum _{n=0}^{k}{a_{n}z^{n}}=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{k}z^{k}\;(k\in \mathbb {N} _{0})$

die zugehörigen Abschnittsfunktionen .

Dann gilt:

In jeder beliebig kleinen offenen Umgebung eines jeden Randpunktes des Konvergenzkreises haben stets unendlich viele Abschnittsfunktionen je mindestens eine Nullstelle.

Quellen

Monographien

• Robert B. Burckel: An introduction to classical complex analysis. Vol. 1. Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1979, ISBN 3-7643-0989-X. MR0555733
• G. M. Golusin: Geometrische Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 31). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1957. MR0089896
• Adolf Hurwitz , Richard Courant: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 3). 4., vermehrte und verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u.   a.) 1964.  MR0173749
• Edmund Landau , Dieter Gaier: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. 3., erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u.   a.) 1986, ISBN 3-540-16886-9.  MR0869998
• Rolf Nevanlinna: Eindeutige analytische Funktionen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 46). Springer-Verlag, Berlin (u. a.), ISBN 3-540-06233-5. 
• Walter Rudin: Reelle und komplexe Analysis. 2. verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, Wien 1999, ISBN 3-486-24789-1.  MR1736644
• Fritz Rühs: Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 56). 3., berichtigte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976.  MR0486433
• E. C. Titchmarsh: The Theory of Functions. Oxford University Press, Oxford, London (u. a.) 1978. 

Originalarbeiten

• Aryeh Dvoretzky: On the theorem of Jentzsch. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. Band 35, 1949, S. 246–252.  MR0029995
• Robert Jentzsch: Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen. In: Acta Mathematica. Band 41, 1916, S. 219–251 ([12]).  MR1555151
• Raphael M. Robinson: Hadamard's three circles theorem. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 50, 1944, S. 795–802 ([13]).  MR0011120

Einzelnachweise und Fußnoten

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Cantorsches Produkt

Als cantorsches Produkt bezeichnet man in der Analysis ein unendliches Produkt, dessen Glieder aus rationalen Zahlen der Form $1+{\tfrac {1}{q}}$ bestehen, wobei die darin auftretenden Nenner stets natürliche Zahlen sind und zudem immer so beschaffen, dass der Nenner $q_{n+1}$ des $n+1$-ten Gliedes $(n\in \mathbb {N} )$ stets mindestens so groß ist wie das Quadrat des zum vorangehenden $n$-ten Glied gehörigen Nenners $q_{n}$

Die cantorschen Produkte wurden von Georg Cantor in einer Arbeit aus dem Jahre 1869 eingeführt. Wie Cantor darin zeigte, lässt sich jede beliebige reelle Zahl ${\alpha }_{0}>1$ in Form eines cantorschen Produkts darstellen. Grundlegend für Cantors Darlegungen ist dabei die auf Leonhard Euler zurückgehende eulersche Produktgleichung

${\frac {1}{1-x}}=\prod _{n=0}^{\infty }{(1+x^{2^{n}})}$,

welche für alle reellen (und darüber hinaus sogar für alle komplexen) Zahlen $x$ des Betrags $|x|<1$ Gültigkeit hat.

Cantors Satz

Cantors Satz über die cantorschen Produkte lässt sich zusammengefasst wie folgt darstellen:

Sei ${\alpha }_{0}>1$ eine reelle Zahl. Dann gilt:

(I) Zu ${\alpha }_{0}$ lässt sich eine und nur eine Zahlenfolge $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ natürlicher Zahlen so bestimmen, dass ${\alpha }_{0}$ eine Produktdarstellung der Form

${\alpha }_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\tfrac {1}{q_{n}}}\right)$

hat, wobei in dieser Zahlenfolge für jeden Index $n$ die Ungleichung $q_{n+1}\geq {q_{n}}^{2}$ erfüllt ist und zudem nur endlich viele Folgenelemente $q_{n}=1$ sind.

(II) Jedes cantorsche Produkt, also jedes unendliche Produkt der in (I) beschriebenen Form, ist konvergent.

(III) ${\alpha }_{0}$ ist genau dann eine rationale Zahl, wenn in der cantorschen Produktdarstellung gemäß (I) ab einem Index $N$ für alle nachfolgenden Indizes $n\geq N$ stets die Identität $q_{n+1}={q_{n}}^{2}$ besteht.

Algorithmus zur Bestimmung der cantorschen Produktdarstellung

Die Zahlenfolge $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ lässt sich ausgehend von ${\alpha }_{0}>1$ wie folgt induktiv festlegen:

$q_{0}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{0}}{{\alpha }_{0}-1}}\right\rfloor$ und ${\alpha }_{n}={\frac {{\alpha }_{n-1}}{1+{\frac {1}{q_{n-1}}}}}\;\;\;q_{n}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{n}}{{\alpha }_{n}-1}}\right\rfloor$ für $n\in \mathbb {N}$

Beispiele

• Formel von Engel:

Für $q\in \mathbb {N}$ gilt stets

${\sqrt {\frac {q+1}{q-1}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{(1+{\frac {1}{q_{n}}})}$

mit $q_{0}=q\in \mathbb {N}$ und $q_{n+1}=2\cdot {{q_{n}}^{2}}-1$ $(n=0,1,2,3\ldots )$.

Insbesondere gilt für $q=3$:

${\sqrt {2}}={(1+{\frac {1}{3}})}\cdot {(1+{\frac {1}{17}})}\cdot {(1+{\frac {1}{577}})}\cdot {(1+{\frac {1}{665857}})}\cdot \cdots$

• Weitere Beispiele von Cantor:

${\sqrt {3}}={(1+{\frac {1}{2}})}\cdot {(1+{\frac {1}{7}})}\cdot {(1+{\frac {1}{97}})}\cdot {(1+{\frac {1}{18817}})}\cdot \cdots$

${\sqrt {5}}={(1+{\frac {1}{1}})}\cdot {(1+{\frac {1}{9}})}\cdot {(1+{\frac {1}{161}})}\cdot {(1+{\frac {1}{51841}})}\cdot \cdots$

${\sqrt {15}}={(1+{\frac {1}{1}})}\cdot {(1+{\frac {1}{2}})}\cdot {(1+{\frac {1}{4}})}\cdot {(1+{\frac {1}{31}})}\cdot {(1+{\frac {1}{1921}})}\cdot \cdots$

Anmerkung

• Im ersten Band des Lexikons der Mathematik werden auch endliche Produkte, welche ansonsten die beiden oben genannten Nebenbedingungen erfüllen, als cantorsche Produkte behandelt. Zudem wird für alle $n$ $q_{n}\geq 2$ gefordert.
• Perron erwähnt zu den cantorschen Produkten in den Irrationalzahlen, dass diese sehr rasch konvergieren. Aus ihnen kann man daher mit nur wenigen Rechenschritten sehr gute Näherungsbrüche für alle reellen Zahlen > 1 gewinnen.
• Auf Euler gehen zwei weitere bemerkenswerte eulersche Produktdarstellungen zurück, nämlich die folgenden beiden, die in der modernen Funktionentheorie auf dem Wege über Thetafunktionen hergeleitet werden:

Für jede komplexe Zahl $z$ des Betrages $|z|<1$ gilt:

$\prod _{n=1}^{\infty }{(1-z^{n})}=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{(-1)^{n}\cdot z^{\frac {3n^{2}+n}{2}}}$

sowie

$\prod _{n=1}^{\infty }{(1-z^{n})^{3}}=\sum _{n={1}}^{\infty }{(-1)^{n-1}\cdot (2n-1)\cdot z^{\frac {n^{2}-n}{2}}}$ .

Literatur

• Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (= Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. Band 4). John Wiley & Sons, New York 1987, ISBN 0-471-83138-7. 
• Georg Cantor: Zwei Sätze über eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Producte. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. Band 14, 1869, S. 152–158 (gdz.sub.uni-goettingen.de). 
• Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Nachdruck der Ausgabe Berlin 1932. Springer Verlag, Berlin / New York 1980, ISBN 3-540-09849-6 (MR0616083). 
• Oskar Perron: Irrationalzahlen (= Göschens Lehrbücherei: Gruppe 1, Reine und angewandte Mathematik. Band 1). 4. durchgesehene und ergänzte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1960 (MR0115985). 
• Adolf Hurwitz: Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktion. Herausgegeben und ergänzt durch einen Abschnitt über Geometrische Funktionentheorie von R. Courant. Mit einem Anhang von H. Röhrl (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 3). 4., vermehrte und verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964. 
• Guido Walz [Red.]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Band 1. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0303-0. 

Einzelnachweise und Anmerkungen

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KKKategorie:Analysis]]

Satz von Olivier

Der Satz von Olivier ist ein mathematischer Lehrsatz der Analysis, welcher auf eine Arbeit des Mathematikers Louis Olivier im zweiten Band des crelleschen Journals aus dem Jahre 1827 zurückgeht. Der Satz gibt eine notwendige Bedingung für die Konvergenz von Reihen, deren Glieder eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen bilden, und liefert dabei eine Verschärfung des bekannten Nullfolgenkriteriums. Als direkte Anwendung des Satzes ergibt sich unter anderem die Divergenz der harmonischen Reihe.

Formulierung

Der Satz von Olivier lässt sich wie folgt formulieren:

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen und die zugehörige Reihe $a_{1}+a_{2}+\ldots$ sei konvergent, also

$\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}<\infty$.

Dann gilt

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=0$,

das heißt, die Zahlenfolge $(n\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge.

Beweis nach Konrad Knopp

Der Ansatz zum Beweis des Satzes von Olivier ergibt sich aus dem Cauchy-Kriterium für Reihen.

Ist nämlich ein beliebiges $\varepsilon >0$ vorgegeben, so setzt man zunächst ${\varepsilon }_{0}={\frac {\varepsilon }{2}}$ und findet dazu eine untere Schranke $N=N({\varepsilon }_{0})$ , so dass für beliebige $n\;,\;p\in \mathbb {N}$ mit $n\;,\;p\geq N$ stets die Ungleichung

$a_{p+1}+a_{p+2}+\ldots +a_{p+n}<{\varepsilon }_{0}$

gilt.

Damit ist wegen der vorausgesetzten Monotonieeigenschaft der Zahlenfolge zunächst

$n\cdot a_{p+n}<{\varepsilon }_{0}$

und folglich

$2n\cdot a_{p+n}<\varepsilon$

gegeben.

Das aber bedeutet insbesondere, dass man für $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq N$ stets

$2n\cdot a_{N+n}<\varepsilon$

und damit

$(N+n)\cdot a_{N+n}<\varepsilon$

hat.

Als untere Schranke zu $\varepsilon$ wählt man nun $N(\varepsilon )=2N$   .

Damit ergibt sich nämlich für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 2N$ wegen $n-N\geq N$ und $n=N+(n-N)$ die Ungleichung

$n\cdot a_{n}=(N+(n-N))\cdot a_{N+(n-N)}<\varepsilon$   .

Folglich ist $(n\cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Anmerkung

• Für

$a_{n}={\frac {1}{n}}\;\;(n\in \mathbb {N} )$

hat man

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=1$   ,

was mit dem Satz von Olivier die Divergenz der harmonischen Reihe impliziert.

• Anhand der abelschen Reihe, welche

$a_{n}={\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}\;\;(n\in \mathbb {N} \;,\;n\geq 2)$

als allgemeines Glied hat , sieht man, dass der Satz von Olivier lediglich eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung formuliert. Denn der abelschen Reihe liegt zwar eine monoton fallende Gliederfolge zugrunde und dabei ist

$\lim _{n\to \infty }{n\cdot a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln(n)}}=0$   ,

aber dennoch folgt mit dem Verdichtungskriterium von Cauchy

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}=\infty$   .

Literatur

• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg / New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997). 
• Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2 (MR0671586). 
• Louis Olivier: Remarques sur les séries infinies et leur convergence. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 2, 1827, S. 31–44 (uni-goettingen.de). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Folgen und Reihen]]

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Ungleichung von Beppo Levi

Die Ungleichung von Beppo Levi ist ein Resultat der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Ungleichung geht auf den italienischen Mathematiker Beppo Levi (1875–1961) zurück und ist eng mit dem berühmten Projektionssatz verknüpft.

Formulierung

Gegeben sei ein Prä-Hilbertraum ${\mathcal {H}}$, versehen mit der aus dem zugrundeliegenden Skalarprodukt herrührenden Norm $\|\cdot \|$. Weiter seien ein Untervektorraum ${\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {H}}$ und drei Vektoren $x\in {\mathcal {H}}$ sowie $y_{1},y_{2}\in {\mathcal {M}}$ gegeben. Ist nun

$d=\inf _{y\in {\mathcal {M}}}\|x-y\|$

der Abstand von $x$ zu ${\mathcal {M}}$, so gilt:

$\|y_{1}-y_{2}\|\leq {\sqrt {{\|x-y_{1}\|}^{2}-d^{2}}}+{\sqrt {{\|x-y_{2}\|}^{2}-d^{2}}}$.

Anmerkungen

• Der Beweis der Ungleichung beruht auf ähnlichen Schlüssen wie die des Beweises der Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung.
• Die Ungleichung gilt insbesondere für jeden Hilbertraum ${\mathcal {H}}$. Sie liefert im Beweis des Projektionssatzes das entscheidende Argument, wonach für einen Unterhilbertraum der zugehörige Projektionsoperator stets existiert.
• Im Falle ${\mathcal {M}}={\mathcal {H}}$ ist $d=0$ und man erhält die Dreiecksungleichung.

Literatur

• Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4 (MR1038909). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionalanalysis]] KKKategorie:Ungleichung|Levi, Ungleichung von]]

Zum Vollständigkeitsaxiom bzw. zum Supremumsaxiom bzw. zum Intervallschachtelungsaxiom gleichwertige Axiome (wurde mal unter Reelle Zahl gelöscht)

Anstelle der drei genannten Axiome kann man auch verschiedene andere Axiome setzen und Olmsted: S. 194–195. </ref>:

• das Intervallschachtelungsaxiom (zweite Version):

  Jede Intervallschachtelung in $\mathbb {R}$ besitzt einen Kern.

• das Infimumsaxiom:

  Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ besitzt ein Infimum.

• das Heine-Borel-Axiom:

  Wird ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall von $\mathbb {R}$ durch beliebige viele offene Mengen von $\mathbb {R}$ überdeckt, so gibt es unter diesen offenen Mengen stets endlich viele, welche das Intervall überdecken.

• das Bolzano-Weierstraß-Axiom:

  Jede unendliche, beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

• das Monotonieaxiom:

  Jede monotone, beschränkte Folge in $\mathbb {R}$ konvergiert.

• das Zusammenhangsaxiom:

  Die reellen Zahlen bilden in der üblichen Topologie einen zusammenhängenden topologischen Raum.

• das Zwischenwertaxiom:

  Eine auf einem Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion nimmt in ihrem Wertebereich stets jeden Zwischenwert an.

• das Beschränktheitsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion hat stets einen nach oben beschränkten Wertebereich.

• das Maximumsaxiom:

  Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall von $\mathbb {R}$ definierte stetige reelle Funktion besitzt stets eine Maximumsstelle.

Durch die so gewonnenen äquivalenten Axiomensysteme ist der Körper der reellen Zahlen jeweils (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt, denn je zwei vollständige angeordnete Körper sind isomorph .

Quellen

• John M. H. Olmsted: The Real Number System. Appleton-Century-Crofts, New York 1962. 
• Der kleine Duden "Mathematik". 2. Auflage. Dudenverlag, Mannheim [u. a.] 1996, ISBN 3-411-05352-6. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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